[經(jīng)濟學]北大應用多元統(tǒng)計分析課件第三章-文庫吧
2024-12-08 12:41 本頁面
【正文】 么 ? 定義 設 X(α) ～ Np(0,Σ) (α＝ 1,…, n)相 互獨立，則稱隨機矩陣 的分布為 Wishart分布 (威沙特分布 )，記 為 W～ Wp(n,Σ). 顯然 p=1時 , 即 XXXXWn???? ?? 1)()(???)(~ 2122)(nXWn???????北大 數(shù)學學院 14 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗 167。 幾個重要統(tǒng)計量的分布 Wishart分布 (威沙特分布 ) 一般地 ,設 X(α)～ Np(μ,Σ) (α＝ 1,…, n) 相互獨立 ,記 則稱 W＝ X39。X服從非中心參數(shù)為 Δ的非中心Wishart分布 ,記為 W～ Wp(n,Σ,Δ). 其中 北大 數(shù)學學院 15 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗 167。 幾個重要統(tǒng)計量的分布 Wishart分布 (威沙特分布 ) 當 X(α)～ Np(μα ,Σ) (α＝ 1,…, n) 相互獨立時，非中心參數(shù) 這里 其中 p為隨機矩陣 W的階數(shù) ,n為自由度 ,一元統(tǒng)計中的 σ2對應 p元統(tǒng)計中的協(xié)差陣 Σ. 北大 數(shù)學學院 16 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗 167。 幾個重要統(tǒng)計量的分布 Wishart分布 的性質 性質 1 設 X(α)～ Np(μ,Σ) (α＝ 1,…, n)相互獨立，則樣本離差陣 A服從 Wishart分布，即 證明 根據(jù)第二章 167。 而 Zα～ Np(0,Σ)(α=1,…, n1)相互獨立 ,由定義 A～ Wp(n1,Σ). ),1(~))(( )(1)( ?????? ??nWXXXXA pn?????? ZZAn?? ???11北大 數(shù)學學院 17 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗 167。 幾個重要統(tǒng)計量的分布 Wishart分布 的性質 由于 Wishart分布是 χ2分布的推廣 ,它具有 χ2分布的一些性質 . 性質 2 關于自由度 n具有可加性： 設 Wi ～ Wp(ni,Σ) (i＝ 1,…, k)相互獨立，則 性質 3 設 p階隨機陣 W～ Wp(n,Σ), C是 m p常數(shù)陣 ,則 m階隨機陣 CWC′也服從 Wishart分布 ,即 CWC′～ Wm(n,CΣC′). .),(~ 11kkipi nnnnWW ???????其中北大 數(shù)學學院 18 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗 167。 幾個重要統(tǒng)計量的分布 Wishart分布 的性質 證明 其中 Zα～ Np(0,Σ)(α=1,…, n)相互獨立 . 令 Yα=CZα,則 Yα～ Nm(0,CΣC′). 故 ).,(~),(~1CCnWCCWCCnWYY mmn????????故???CCWCZCZYYnn??????? ????d11 ??????由定義 : ),(~因1d??? ??nWZZW pn???北大 數(shù)學學院 19 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗 167。 幾個重要統(tǒng)計量的分布 Wishart分布 的性質 ① aW～ Wp(n,aΣ) (a＞ 0， 為常數(shù) ). 在性質 3 中只須取 C＝ a1/2 Ip， 即得此結論 . 特例： ② 設 l′＝ (l1,…, lp)， 則 l180。Wl＝ ξ～ W1 (n,l180。Σl), 即 ξ～ σ2χ2(n) (其中 σ2＝ l180。Σl). 在性質 3中只須取 C＝ l180。,即得此結論 . 思考 :試問隨機陣 W的對角元素 Wii的分布？ 北大 數(shù)學學院 20 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗 167。 幾個重要統(tǒng)計量的分布 Wishart分布 的性質 性質 4 分塊 Wishart矩陣的分布 :設 X(α) ～ Np(0,Σ) (α＝ 1,…, n)相互獨立，其中 又已知隨機矩陣 則 (習題 34) rpr?????????????22211211),(W~222112111)()( ??????????? ??nrp rWW WWXXW pn???北大 數(shù)學學院 21 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗 167。 幾個重要統(tǒng)計量的分布 Wishart分布 的性質 性質 5 設隨機矩陣 W～ Wp(n,Σ)， 則 E(W)＝ nΣ. 證明 :由定義 ,知 ),(~1d??? ??nWZZW pn???其中 Zα～ Np(0,Σ)(α=1,…, n)相互獨立 .則 .)(D)(E)(E1 1????? ? ?? ?nZZZWn n? ????北大 數(shù)學學院 22 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗 167。 幾個重要統(tǒng)計量的分布 Hotelling T 2分布 一元統(tǒng)計中 , 若 X～ N(0,1),?～ χ2(n) ,X與 ? 相互獨立 ,則隨機變量 下面把 的分布推廣到 p元總體 . 設總體 X～ Np(0,Σ)， 隨機陣 W ～ Wp(n,Σ),我們來討論 T2＝ nX39。W 1 X的分布 . XXnnXt 122 ???? ??).(~ ntnXt??北大 數(shù)學學院 23 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗 167。 幾個重要統(tǒng)計量的分布 Hotelling T 2分布 定義
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