[經(jīng)濟(jì)學(xué)]北大應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析課件第三章-文庫(kù)吧
2024-12-08 12:41 本頁(yè)面
【正文】 么 ? 定義 設(shè) X(α) ～ Np(0,Σ) (α＝ 1,…, n)相 互獨(dú)立，則稱隨機(jī)矩陣 的分布為 Wishart分布 (威沙特分布 )，記 為 W～ Wp(n,Σ). 顯然 p=1時(shí) , 即 XXXXWn???? ?? 1)()(???)(~ 2122)(nXWn???????北大 數(shù)學(xué)學(xué)院 14 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 167。 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布 Wishart分布 (威沙特分布 ) 一般地 ,設(shè) X(α)～ Np(μ,Σ) (α＝ 1,…, n) 相互獨(dú)立 ,記 則稱 W＝ X39。X服從非中心參數(shù)為 Δ的非中心Wishart分布 ,記為 W～ Wp(n,Σ,Δ). 其中 北大 數(shù)學(xué)學(xué)院 15 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 167。 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布 Wishart分布 (威沙特分布 ) 當(dāng) X(α)～ Np(μα ,Σ) (α＝ 1,…, n) 相互獨(dú)立時(shí)，非中心參數(shù) 這里 其中 p為隨機(jī)矩陣 W的階數(shù) ,n為自由度 ,一元統(tǒng)計(jì)中的 σ2對(duì)應(yīng) p元統(tǒng)計(jì)中的協(xié)差陣 Σ. 北大 數(shù)學(xué)學(xué)院 16 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 167。 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布 Wishart分布 的性質(zhì) 性質(zhì) 1 設(shè) X(α)～ Np(μ,Σ) (α＝ 1,…, n)相互獨(dú)立，則樣本離差陣 A服從 Wishart分布，即 證明 根據(jù)第二章 167。 而 Zα～ Np(0,Σ)(α=1,…, n1)相互獨(dú)立 ,由定義 A～ Wp(n1,Σ). ),1(~))(( )(1)( ?????? ??nWXXXXA pn?????? ZZAn?? ???11北大 數(shù)學(xué)學(xué)院 17 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 167。 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布 Wishart分布 的性質(zhì) 由于 Wishart分布是 χ2分布的推廣 ,它具有 χ2分布的一些性質(zhì) . 性質(zhì) 2 關(guān)于自由度 n具有可加性： 設(shè) Wi ～ Wp(ni,Σ) (i＝ 1,…, k)相互獨(dú)立，則 性質(zhì) 3 設(shè) p階隨機(jī)陣 W～ Wp(n,Σ), C是 m p常數(shù)陣 ,則 m階隨機(jī)陣 CWC′也服從 Wishart分布 ,即 CWC′～ Wm(n,CΣC′). .),(~ 11kkipi nnnnWW ???????其中北大 數(shù)學(xué)學(xué)院 18 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 167。 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布 Wishart分布 的性質(zhì) 證明 其中 Zα～ Np(0,Σ)(α=1,…, n)相互獨(dú)立 . 令 Yα=CZα,則 Yα～ Nm(0,CΣC′). 故 ).,(~),(~1CCnWCCWCCnWYY mmn????????故???CCWCZCZYYnn??????? ????d11 ??????由定義 : ),(~因1d??? ??nWZZW pn???北大 數(shù)學(xué)學(xué)院 19 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 167。 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布 Wishart分布 的性質(zhì) ① aW～ Wp(n,aΣ) (a＞ 0， 為常數(shù) ). 在性質(zhì) 3 中只須取 C＝ a1/2 Ip， 即得此結(jié)論 . 特例： ② 設(shè) l′＝ (l1,…, lp)， 則 l180。Wl＝ ξ～ W1 (n,l180。Σl), 即 ξ～ σ2χ2(n) (其中 σ2＝ l180。Σl). 在性質(zhì) 3中只須取 C＝ l180。,即得此結(jié)論 . 思考 :試問隨機(jī)陣 W的對(duì)角元素 Wii的分布？ 北大 數(shù)學(xué)學(xué)院 20 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 167。 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布 Wishart分布 的性質(zhì) 性質(zhì) 4 分塊 Wishart矩陣的分布 :設(shè) X(α) ～ Np(0,Σ) (α＝ 1,…, n)相互獨(dú)立，其中 又已知隨機(jī)矩陣 則 (習(xí)題 34) rpr?????????????22211211),(W~222112111)()( ??????????? ??nrp rWW WWXXW pn???北大 數(shù)學(xué)學(xué)院 21 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 167。 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布 Wishart分布 的性質(zhì) 性質(zhì) 5 設(shè)隨機(jī)矩陣 W～ Wp(n,Σ)， 則 E(W)＝ nΣ. 證明 :由定義 ,知 ),(~1d??? ??nWZZW pn???其中 Zα～ Np(0,Σ)(α=1,…, n)相互獨(dú)立 .則 .)(D)(E)(E1 1????? ? ?? ?nZZZWn n? ????北大 數(shù)學(xué)學(xué)院 22 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 167。 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布 Hotelling T 2分布 一元統(tǒng)計(jì)中 , 若 X～ N(0,1),?～ χ2(n) ,X與 ? 相互獨(dú)立 ,則隨機(jī)變量 下面把 的分布推廣到 p元總體 . 設(shè)總體 X～ Np(0,Σ)， 隨機(jī)陣 W ～ Wp(n,Σ),我們來(lái)討論 T2＝ nX39。W 1 X的分布 . XXnnXt 122 ???? ??).(~ ntnXt??北大 數(shù)學(xué)學(xué)院 23 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 167。 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布 Hotelling T 2分布 定義
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