【正文】 “利率為 8%” ——指：年利率為 8%，一年計(jì)息一次。 式中 : F——本利和 P——本金 I——利息 “利率為 8%，半年計(jì)息一次” ——指：年利率為8%，每年計(jì)息兩次，或半年計(jì)息一次，每次計(jì)息的利率為 4%。 ①單利計(jì)息指僅用本金計(jì)算利息，利息不再生息。 單利計(jì)息時(shí)的利息計(jì)算式為： 單利和復(fù)利 單利計(jì)算的一個(gè)特點(diǎn)就是僅以本金為基數(shù)，在貸款期末一次計(jì)算利息。 利息的計(jì)算有單利計(jì)息和復(fù)利計(jì)息之分。 n個(gè)計(jì)息周期后的本利和為： F = P ( 1 + n i ) n個(gè)計(jì)息周期后的利息為： I = F – P = P n i ②復(fù)利計(jì)息。是用本金和前期累計(jì)利息總額之和進(jìn)行計(jì)息。 即除最初的本金要計(jì)算利息外，每一計(jì)息周期的 利息都要并入本金，再生利息。 復(fù)利計(jì)算的本利和公式為： 復(fù)利 第一年初：有本金 :P 第一年末：有本利和 :F=P+Pi=P(1+i) 第二年初：有本金 :P(1+i) 第二年末：有本利和 :F=P(1+i)＋ P(1+i) i＝ P(1+i)2 第三年初：有本金 :P(1+i)2 第三年末：有本利和 :F＝ P(1+i)3 第 n年初：有本金 :P(1+i)n1 第 n年末：有本利和 : F＝ P(1+i)n ①通常，商業(yè)銀行的貸款是按復(fù)利計(jì)息的。 ②復(fù)利計(jì)息比較符合資金在社會(huì)再生產(chǎn)過程中運(yùn)動(dòng)的實(shí)際狀況，在工程經(jīng)濟(jì)分析中，一般采用復(fù)利計(jì)息。 例 33某企業(yè)以 6%的年利率向銀行貸款 1000萬元，貸款期 5年，以復(fù)利計(jì)算。問 5年后企業(yè)支付多少利息 ? 解： 從例中可以看到， ①當(dāng)單利計(jì)算和復(fù)利計(jì)算的利率相等時(shí)，資金的 復(fù)利值大于單利值 ，且時(shí)間越長，差別越大。 復(fù)利法： I=F – P =1000 (1+6%)5 – 1000 = 單利法： I= F – P = P i n =1000 5 6%=300萬元 ③復(fù)利計(jì)息有間斷復(fù)利和連續(xù)復(fù)利之分。如果計(jì)息周期為一定的時(shí)間區(qū)間（如年、季、月），并按復(fù)利計(jì)息，稱為 間斷復(fù)利 ；如果計(jì)息周期無限縮短，則稱為 連續(xù)復(fù)利 。從理論上講，資金是在不停地運(yùn)動(dòng)，每時(shí)每刻都通過生產(chǎn)和流通在增殖，但是在實(shí)際商業(yè)活動(dòng)中，計(jì)息周期不可能無限縮短，因而都采用較為簡單的間斷復(fù)利計(jì)息。 ②由于利息是貨幣時(shí)間價(jià)值的體現(xiàn)，而時(shí)間是連續(xù)不斷的，所以利息也是不斷地發(fā)生的。從這個(gè)意義上來說， 復(fù)利計(jì)算方法比單利計(jì)算更能反映貨幣的時(shí)間價(jià)值 。因此在工程經(jīng)濟(jì)分析中，絕大多數(shù)情況是采用復(fù)利計(jì)算 11])/1[(lim]1)/1[(lim/????????????rrrmmmmemrmri（！?。┠昀⑹嵌嗌?？無限大時(shí)，復(fù)利計(jì)算的當(dāng)，計(jì)息期為？？假定：年利率為mmr三、資金等值原理 1. 資金等值原理： 某一時(shí)點(diǎn)的資金，可按一定的利率換算至另一時(shí)點(diǎn)（復(fù)利方法），換算后其絕對(duì)值雖然不等，但其價(jià)值是相等的。 這一原理叫做資金等值原理。這一過程叫做等值換算 或 資金等值是指不同時(shí)點(diǎn)發(fā)生的絕對(duì)值不等的資金可能具有相等的價(jià)值 。 說明： ①資金等值有三個(gè)要素：金額；金額發(fā)生的時(shí)間；折現(xiàn)率。 缺一不可。 ②這里的等值，如兩方案的現(xiàn)金流是等值的 是指具有相同的時(shí)間價(jià)值，目的是對(duì)方案進(jìn)行經(jīng)濟(jì)分析。并不表示兩個(gè)投資方案相同、或可以相互替換。 理解等值概念時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)： A 等值僅是一種尺度，即為在同一利率下評(píng)價(jià)不同現(xiàn)金流量方案的一種度量。 B 等值并不意味著具有相等的用途。方案有相同的現(xiàn)金流量等值并不意味著方案本身是相等的。事實(shí)上，各方案之間都存在著差別，這些差別是由于它們的現(xiàn)金流量發(fā)生在不同的時(shí)點(diǎn)上引起的，這種差別是難于用觀察的方法進(jìn)行評(píng)價(jià)的，而必須通過對(duì)方案的綜合評(píng)價(jià)來實(shí)現(xiàn)。 ③舉例 例如：現(xiàn)在的 100元與一年后的 l06元，數(shù)量上并不相等，但如果將這筆 100元的資金存入銀行，且年利率為 6%時(shí)，一年后的本金和利息之和為 :F=100(1+6%)=106 即，在年利率為 6%的條件下，現(xiàn)在的 100元與一年之后的106元，則兩者是等值的。 資金等值計(jì)算： 利用等值的概念，可以把在一個(gè)時(shí)點(diǎn)發(fā)生的資金金額換算成另一時(shí)點(diǎn)的等值金額，這一過程叫資金等值計(jì)算 。 ——時(shí)值、 折現(xiàn) 或 貼現(xiàn) 、 現(xiàn)值 、 終值 等 需要說明的是，“現(xiàn)值”并非專指一筆資金“現(xiàn)在”的價(jià)值，它是一個(gè)相對(duì)的概念。一般地說，將 t+k時(shí)點(diǎn)上發(fā)生的資金折現(xiàn)到第 t 時(shí)點(diǎn)，所得的等值金額就是第 t+k時(shí)點(diǎn)上資金金額的現(xiàn)值。 進(jìn)行資金等值計(jì)算中使用的反映資金時(shí)間價(jià)值的參數(shù)叫折現(xiàn)率。 終值： Future value （ worth） 現(xiàn)值： Present value。 current value 時(shí)值： Time value 折現(xiàn) 或 貼現(xiàn) :Discount 貼現(xiàn)價(jià)值 Discounted value 把將來某一時(shí)點(diǎn)的資金金額換算成現(xiàn)在時(shí)點(diǎn)的等值金額稱為“折現(xiàn)”或“貼現(xiàn)”。 將來時(shí)點(diǎn)上的資金折現(xiàn)后的資金金額稱為“ 現(xiàn)值” 。 與現(xiàn)值等價(jià)的將來某時(shí)點(diǎn)的資金金額稱為 “終值”或“將來值” 。 四、名義利率與實(shí)際利率 在實(shí)際工作中，所給定的利率雖然還是 年利率 。 由于計(jì)息周期可能是比年還短的時(shí)間單位，比如計(jì)息周期可以是半年、一個(gè)季度、一個(gè)月、一周或者為一天等等，因此一年內(nèi)的計(jì)息次數(shù)就相應(yīng)為 2次、 4次、 12次、 52次、或 365次等等。 這樣，一年內(nèi)計(jì)算利息的次數(shù)不止一次了，在復(fù)利條件下每計(jì)息一次，都要產(chǎn)生一部分新的利息，因而實(shí)際的利率也就不同了（ 因計(jì)息次數(shù)而變化 ）。 假如按月計(jì)算利息，且其月利率為 1%，通常稱為“年利率12%，每月計(jì)息一次”。 這個(gè)年利率 12%稱為“名義利率”。也就是說 ,名義利率等于每一計(jì)息周期的利率與每年的計(jì)息周期數(shù)的乘積。 但是，按復(fù)利計(jì)算，上述“年利率 12%，每月計(jì)息一次”的實(shí)際年利率則不等于名義利率，應(yīng)比 12%略大些。為 %。 設(shè)名義利率為 r， 一年中計(jì)息次數(shù)為 m， 則一個(gè)計(jì)息周期的利率應(yīng)為 r／ m， 求一年后本利和、年利率？ 單利方法 ：一年后本利和 F=P(1+i期 m) 利息 P i期 m 年利率： P i期 m / P = i期 m = r 復(fù)利方法 ：一年后本利和 F=P(1+i期 ) m 利息 P(1+i期 ) m P 年利率： i = [ P(1+i期 ) m —P]/ P = (1+i期 ) m 1 所以，名義利率與實(shí)際利率的換算公式為 : i = (1+i期 ) m –1= (1+r/m) m –1 當(dāng) m＝ l時(shí)，名義利率等于實(shí)際利率； 當(dāng) m＞ 1時(shí)，實(shí)際利率大于名義利率。 當(dāng) m → ∞ 時(shí)，即按連續(xù)復(fù)利計(jì)算時(shí)， i與 r的關(guān)系為： 11])/1[(lim]1)/1[(lim / ???????? ???? rrrmmmm emrmri 總結(jié)： 1)1(1)/1( ?????? mm imri 期期miimrm ???? )11(mrm ii ???? 11期名義利率 ：非有效利率。是指按單利方法計(jì)算的年利息與本金之比。 實(shí)際利率： 有效利率。是指按復(fù)利方法計(jì)算的年利息與本金之比。 不同計(jì)息周期情況下的實(shí)際利率的計(jì)算比較 計(jì)息周期 一年內(nèi)計(jì)息周期數(shù) (m) 年名義利率 (r)% 期利率 (r/m)% 年實(shí)際利率 (i)% 年 1 (已知 ) 半年 2 (已知 ) 季度 4 (已知 ) 月 12 (已知 ) 周 52 (已知 ) 日 365 (已知 ) 連續(xù)計(jì)息 ∞ (已知 ) → 0 從表中可知，復(fù)利計(jì)息周期越短，年名義利率與年實(shí)際利率差別越大，年實(shí)際利率越高。 例 36 一家商業(yè)銀行對(duì)未回收的所有賬目均按每月 %利率收息。銀行要求每月復(fù)利，試問其名義利率和實(shí)際利率各為多少 ? 解： 例 37 某公司向國際經(jīng)濟(jì)合作發(fā)展組織貸款 2022萬美元，已知貸款條件為年貸款利率 %，半年復(fù)利一次，貸款期為 10年，試問到期應(yīng)還款多少 ? 解 : 一些西方國家的政府借貸法規(guī)條款需要在借貸合同中闡明規(guī)定的年百分比率（ APR）。 APR只是一個(gè)名義利率，并不考慮在一年中可能發(fā)生的復(fù)利次數(shù)情況；借貸者應(yīng)該特別加以注意，以免造成實(shí)際額外的償還負(fù)擔(dān)。 第三節(jié) 資金時(shí)間價(jià)值的普通復(fù)利公式 現(xiàn)金流量的方式： ： 一般指，一筆資金在某一時(shí)點(diǎn)一次性流入或流出 ——整付； ： 一般指，一筆資金在某一時(shí)期內(nèi)的各個(gè)時(shí)點(diǎn)上，分次性流入或流出 ——分付。 有定期等額流入或流出，也有定期不等額流入或流出等等 分為：等額分付（年金）、變額分付（等差、等比）等。