【正文】 … , xn 都是函數(shù) ?n+1(x) 的零點(diǎn) , 從而 ?n+1(x) 可表示為 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnt f t L t K x t?? ?? ? ?( 1 )1()( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !nn n nfR x f x L x xn? ???? ? ? ?1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nR x f x L x K x x? ?? ? ?其中 K(x)是 待定函數(shù) 。 對(duì)于 任意固定的 x?[a,b], x?xk ,構(gòu)造自變量 t 的輔助函數(shù) 上頁(yè) 下頁(yè) 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnt f t L t K x t?? ?? ? ? 由式 ?n+1(xk)=0 和式 Ln(xk)=yk ( k=0,1,…,n ),以及 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nR x f x L x K x x? ?? ? ?可知： x0 , x1, ? , xn 和 x 是 ?(t) 在區(qū)間 [a,b]上的 n+2個(gè)互異零點(diǎn) , 因此根據(jù)羅爾 (Rolle) 定理 , 至少存在一點(diǎn) ? =?(x) ?(a,b),使 ( 1 ) ( ) 0n??? ?( 1 ) ()() ( 1 ) !nfKx n ??? ?即 ( 1 )1()( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !nn n nfR x f x L x xn? ???? ? ? ?所以 上頁(yè) 下頁(yè) 一般來(lái)說 ,外推比內(nèi)插效果差 ,在估計(jì)誤差時(shí)下列不等式很有用。 ),(,)()!1()(01 baxxxnMxR niinn ???? ???或),(,)(m ax)!1()(01 baxxxnMxR niibxann ???? ?????。其中： )(m a x )1(1 xfM nbxan ???? ?????????niinnn xxnfxLxfxR0)1()()!1( )()()()( ?上頁(yè) 下頁(yè) )4(,)(,)2( 210 ?????? fyfyfy))(()4)(2()42)(()4)(()(2 ???????????? xxxxxL))(24())(2(?????? xx 2 ??? xx,1)( xxf ? ，節(jié)點(diǎn) 4,2 210 ??? xxx )( xf求的拋物插值多項(xiàng)式 ,且計(jì)算 f (3)的近似值并估計(jì)誤差 。 例 3 設(shè) 解 插值多項(xiàng)式為 上頁(yè) 下頁(yè) ,6)( 4xxf ????? 83|)2(||)(|m ax]4,2[3??????????fxfMx213| ( 3 ) | | ( 3 ) ( 3 ) | | ( 3 2 )( 3 2 .5 )( 3 4 ) |680 .0 3 1 2 5R f L? ? ? ? ? ? ??因?yàn)? 故 |)4)()(2(|8361|)4)()(2(|!3|)(| 33?????????xxxxxxMxR3 2 )3()3( 2 ?? Lf于是 另 見書 p29的例 1. 上頁(yè) 下頁(yè) 用二次插值計(jì)算 ,并估計(jì)誤差 . 例 4 給定函數(shù)表 x 10 11 12 13 lnx 解 取節(jié)點(diǎn) x0=10,x1=11,x2=12,作二次插值有 30 258 )1210)(1110( ))(( ??? ???39 789 )1211)(1011( ))(( ??? ??? 48 490 )1112)(1012( ))(( ??? ???4 2 0 4 2 ??L2() 上頁(yè) 下頁(yè) 在區(qū)間 [10,12]上 lnx 的三階導(dǎo)數(shù)的上限 M3=, 可得誤差估計(jì)式 0 0 0 0 |))()((|!3)( 32 ????? MR實(shí)際上 ,=, |R2()|=. 上頁(yè) 下頁(yè) 均差及其基本性質(zhì) 定義 1 稱 101010)()(],[xxxfxfxxf???為 f (x)在 x0、 x1點(diǎn)的 一階均差 .一階均差的均差 (差商 ) 202110210],[],[],[xxxxfxxfxxxf???稱為函數(shù) f (x)在 x0、 x1 、 x2 點(diǎn)的 二階均差 . 英 16421727 均差與牛頓插值公式 上頁(yè) 下頁(yè) 一般地， n1階均差的均差 nnnnnn xxxxxfxxxfxxxf??? ???01112010],[],[],[ ??? 稱為 f (x)在 x0 , x1 , …, xn點(diǎn)的 n 階均差 。 差商的計(jì)算步驟與結(jié)果可列成 均差表 ，如下 一般 f(xi) 稱為 f(x) 在 xi點(diǎn)的 零階均差 ，記作 f[xi]。 上頁(yè) 下頁(yè) xk 函數(shù)值 一階均差 二階均差 三階均差 ... x0 x1 x2 x3 ... f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) ... f [ x0 , x1] f [ x1 , x2] f [ x2 , x3] ... f [x0, x1, x2] f [x1, x2, x3] ... f [x0, x1, x2 , x3] ... ... 表 51（均差表） 上頁(yè) 下頁(yè) 給出節(jié)點(diǎn) x0,x1,… ,xn和函數(shù)值 ?(x0),?(x1),… ,?(xn),可按如下的差商表順序逐次計(jì)算各階差商值 . xi ?(xi) 一階 差商 二階差商 三階差商 … n階差商 x0 x1 x2 x3 ? xn ?(x0) ?(x1) ?(x2) ?(x3) ? ?(xn) ?[x0,x1] ?[x1,x2] ?[x2,x3] ? ?[xn1,xn] ?[x0,x1,x2] ?[x1,x2,x3] ? ?[xn2,xn1,xn] ?[x0,x1,x2,x3] ? ?[xn3,xn2,x2,x3] … … … … … … ? ?[x0,x1,…,xn] 上頁(yè) 下頁(yè) ?? ?? ?????nk nkkkkkkkn xxxxxxxxxfxxxf0 11010 )())(()()(],[???這一性質(zhì)可以用數(shù)學(xué)歸納法證明， 它表明均差與節(jié)點(diǎn)的排列次序無(wú)關(guān) ，即 f[x0 , x1 , x2 , ..., xn]= f[x1 , x0 , x2 , ..., xn]=… = f[x1 , x2 , ..., xn , x0 ] 性質(zhì) 1 均差可以表示為函數(shù)值的線性組合，即 稱之為 均差的對(duì)稱性（也稱為對(duì)稱性質(zhì)） 。 上頁(yè) 下頁(yè) 性質(zhì) 2 由性質(zhì) 1立刻得到 或 11202010],[],[],[???????nnnnnnn xxxxxfxxxfxxxf ???01021102110],[],[],[],[xxxxxfxxxfxxxxfxxxfnnnnn?????????上頁(yè) 下頁(yè) 性質(zhì) 3 n次多項(xiàng)式 f(x)的 k階 差商 ,當(dāng) k?n時(shí)是一個(gè) nk次多 項(xiàng)式 。當(dāng) kn時(shí)恒等于 0. 性質(zhì) 4 若 f(x)在 [a,b]上存在 n階導(dǎo)數(shù) , 且節(jié)點(diǎn) x0 , x1 ,…, xn∈ [a,b] ,則至少存在一點(diǎn) ??[a, b] 滿足下式 !)(],[ )(10 nfxxxf nn???例 1 f (x)=－ 6x8+7x5－ 10, 求 f [1,2, …,9] 及 f [1,2, …,10]. 解 f (8)(x)=－ 68 !, f [1,2, …,9]= 6, f (9)(x)=0, f [1,2, …,10]=0. 上頁(yè) 下頁(yè) 牛頓插值多項(xiàng)式 設(shè) x是 [a， b]上一點(diǎn)，由一階均差定義得 )](,[)()( 000 xxxxfxfxf ???同理，由二階均差定義 )](,[],[],[ 110100 xxxxxfxxfxxf ???如此繼續(xù)下去，可得一系列等式 000)()(],[xxxfxfxxf???110010],[],[],[xxxxfxxfxxxf???得 得 上頁(yè) 下頁(yè) 0 1 0 1 0[ , , , ] [ , , , ] [ , , , ]( )n n n nf x x x f x x x f x x x x x? ? ? ?)](,[)()( 000 xxxxfxfxf ???)](,[],[],[ 110100 xxxxxfxxfxxf ???)](,[],[],[ 221021010 xxxxxxfxxxfxxxf ????依次把后式代入前式，最后得 0 0 00 0 1 0 0 1 0 10 0 1 0 0 1 2 0 10 1 2 0 1 2( ) ( ) [ , ]( )( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( )( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( )[ , , , ]( )( )( )f x f x f x x x xf x f x x x x f x x x x x x xf x f x x x x f x x x x x x xf x x x x x x x x x x? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?上頁(yè) 下頁(yè) 0 0 1 0 0 1 0 10 0 1 0 0 1 2 0 10 1 2 0 1 2( ) ( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( )( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( )[ , , , ]( )( )( )( ) ( )nnf x f x f x x x x f x x x x x x xf x f x x x x f x x x x x x xf x x x x x x x x x xN x R x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?0 0 1 0 0 1 2 0 10 1 0 10 0 11( ) ( ) [ , ] ( ) [ , , ] ( ) ( )[ , , , ] ( ) ( )( ) [ , , , ] ( )nnnnkkkN x f x f x x x x f x x x x x x xf x x x x x x xf x f x x x x???? ? ? ? ? ?? ? ??? ?其中 0 0 101( ) [ , , , ] ( ) ( ) ( )[ , , , ] ( )n n nnnR x f x x x x x x x x xf x x x x? ?? ? ? ??上頁(yè) 下頁(yè) ( ) ( ) ( )nnf x N x R x??可見 , Nn(x)為次數(shù)不超過 n 的多項(xiàng)式 ,且易知 Rn(xi)= 0 即 Nn(xi)= yi , (i=0,1, …, n) 滿足插值條件 , 故其為插值問題的解 , Nn(x)稱為 牛頓插值多項(xiàng)式 。 0 0 1 0 0 1 2 0 10 0 1( ) ( ) [ , ] ( ) [ , , ] ( ) ( )[ , , ] ( ) ( )nnnN x f x f x x x x f x x x x x x xf x x x x x x ?? ? ? ? ? ?? ? ?0 0 1( ) [ ,