機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)總結(jié)-文庫(kù)吧
2025-04-02 03:25 本頁(yè)面
【正文】 11. 一維搜索是指一元函數(shù)的極值問題。搜索區(qū)間的外推法（進(jìn)退法）：假設(shè)函數(shù)在搜索區(qū)間具有單谷性，使函數(shù)在搜索區(qū)間形成“高低高”趨勢(shì)來確定極小點(diǎn)所在的區(qū)間。分別對(duì)應(yīng)搜索的起點(diǎn)，中間點(diǎn)和終點(diǎn)。再利用區(qū)間消去法原理比較函數(shù)值的大小以確定極小值所在的搜索區(qū)間。12. 一維搜索方法。試探法：常用的一維搜索的方法是黃金分割法（）。適用于任何單谷函數(shù)求極小值問題。黃金分割法要求插入點(diǎn)的位置相對(duì)于區(qū)間的兩端點(diǎn)對(duì)稱。所以插入點(diǎn)的位置為：，區(qū)間縮短率為；插值法（函數(shù)逼近法）：利用試驗(yàn)點(diǎn)的函數(shù)值建立函數(shù)近似表達(dá)式來求函數(shù)的極小點(diǎn)。兩種用二次函數(shù)逼近原來函數(shù)的方法：牛頓法（切線法）和拋物線法（二次插值法）。牛頓法迭代公式：，牛頓法的計(jì)算步驟：計(jì)算；求，若則求得近似解；二次插值法：，對(duì)應(yīng)的極值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為極小值。13. 無約束優(yōu)化問題。常用的數(shù)值計(jì)算方法為搜索方法?；舅枷耄簭慕o定的初始點(diǎn)，沿某一搜索方向進(jìn)行搜索，確定最佳步長(zhǎng)使函數(shù)值沿搜索方向下降最大。各種無約束優(yōu)化方法的區(qū)別在于確定其搜索方向的方法不同，所以，搜索方向的構(gòu)成問題是無約束優(yōu)化方法的關(guān)鍵。無約束優(yōu)化方法可以分為兩類：一類是利用目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)的無約束優(yōu)化方法，如最速下降法，共軛梯度法，牛頓法和變尺度法；另一類只利用目標(biāo)函數(shù)值的無約束優(yōu)化方法，如坐標(biāo)輪換法，單形替換法，和鮑威爾法。14. 最速下降法（梯度法）。從某點(diǎn)出發(fā)，搜索方向去該點(diǎn)的負(fù)梯度方向。為了使目標(biāo)函數(shù)獲得最大下降值。其步長(zhǎng)因子去一維最佳步長(zhǎng)：，在最速下降法中，相鄰兩個(gè)迭代點(diǎn)上的函數(shù)梯度相互垂直。最速下降法迭代行進(jìn)的距離縮短，收斂速度減慢。梯度反映的是函數(shù)的局部性質(zhì)。最速下降法的收斂速度和變量的尺度關(guān)系很大。最速下降方向的每一次搜索方向與前一次的搜索方向互相垂直，形成“之”字形的鋸齒現(xiàn)象。15. 牛頓型方法。多元函數(shù)求極值的牛頓法迭代公式：。若某一迭代方法能使二次函數(shù)在有限次迭代內(nèi)達(dá)到極小點(diǎn)，則稱此迭代方法是二次收斂的。牛頓方法時(shí)二次收斂的。牛頓法和阻尼牛頓法統(tǒng)稱為牛頓型方法。主要缺點(diǎn)是計(jì)算函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)矩陣，并對(duì)該矩陣求逆。16. 共軛方向法。對(duì)于二元函數(shù)，為避免鋸齒現(xiàn)象，在第二次的迭代搜索方向上取到極小點(diǎn)。所必須滿足的條件：，滿足條件的兩個(gè)向量稱之為共軛向量，或稱之為對(duì)是共軛方向。多維函數(shù)當(dāng)中，共軛向量互相正交且線性無關(guān)；維空間互相共軛的非零向量的個(gè)數(shù)不超過；共軛方向法具有二次收斂性。格拉姆斯密特向量共軛化方法：選定線性無關(guān)向量組：（例如他們是個(gè)坐標(biāo)軸上的單位向量）首先，取，令，根據(jù)共軛條件確定，同樣地，根據(jù)確定共軛方向的搜索方向可由梯度法和鮑威爾法提供。17. 共軛梯度法（旋轉(zhuǎn)梯度法）。共軛方向與梯度之間的關(guān)系：，表明沿方向搜索，其終點(diǎn)與始點(diǎn)的梯度之差與的共軛方向正交。計(jì)算過程：第一個(gè)搜索方向取的負(fù)梯度，則；求的共軛方向作為下一次的搜索方向，其中，共軛方向的遞推公式：，第一個(gè)方向取作負(fù)梯度方向，其余各步的搜索方向?qū)⒇?fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度，對(duì)負(fù)梯度進(jìn)行修正，共軛方向法是對(duì)最速下降法的一種改進(jìn)。18. 變尺度法：放大或縮小各個(gè)坐標(biāo)，改善函數(shù)的偏心程度。，若矩陣是正定的，那么總存在矩陣是使，將偏心程度變?yōu)榱恪?
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