【正文】 存在（存在，時(shí)不存在）；. 二重極限存在，但累次極限可能不存在；或兩個(gè)累次極限存在相等，但二重極限可能不存在：例如：，在原點(diǎn)（0,0）兩個(gè)累次極限存在且相等，但二重極限不存在；例. 證明：函數(shù)在（0,0）二重極限存在，但累次極限不存在.證明：∵顯然，累次極限的計(jì)算要比二垂極限簡(jiǎn)單得多，所以我們希望通過(guò)累次極限來(lái)計(jì)算二重極限，那么在什么條件下它們相等嗎？4. 定理：若二元函數(shù)的二重極限和累次極限（都存在，則：推論：（充分條件）：若下面三個(gè)極限都存在：，則兩個(gè)累次極限存在且相等；等于其二垂極限：例：已知：存在點(diǎn)（0,0）存在二重極限，求；作業(yè)：P156　　　74. 二元函數(shù)的連續(xù)性我們?cè)?jīng)定義了一元函數(shù)一元函數(shù)在一點(diǎn)：連續(xù)：若，則稱(chēng)在點(diǎn)連續(xù).這個(gè)定義我們可以推廣到二元函數(shù)和元函數(shù)上去：（1）定義：設(shè)二元函數(shù)在區(qū)域有定義，點(diǎn)(a,b)，若：，則稱(chēng)在(,)連續(xù).討論：上面定義用“點(diǎn)表示法”怎樣書(shū)寫(xiě)：設(shè)函數(shù)在區(qū)域有定義，點(diǎn)，若，則稱(chēng)二元函數(shù)。即：設(shè)是區(qū)域的點(diǎn)，在，例：已知.定義：若二元函數(shù)在區(qū)域的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng)在區(qū)域連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（150）1）若在點(diǎn)都連續(xù)，則；，（）在點(diǎn)也連續(xù)，稱(chēng)為連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算。2）連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也連。（P150）3）Th4（保號(hào)性）4）若二元函數(shù)關(guān)于或的一元是初等函數(shù)，則稱(chēng)是二元初等函數(shù)。二元初等了函數(shù)在有定義的點(diǎn)都連續(xù)，（一般地，用一個(gè)解析式表達(dá)的二元函數(shù)都是初等函數(shù)）。請(qǐng)同學(xué)們自學(xué) Th3—Th8下面介紹一個(gè)間斷點(diǎn)的概念：請(qǐng)大家想一想在點(diǎn)連續(xù)應(yīng)滿足幾個(gè)條件：1）在有定義；2）存在極限；3）在的極限值等于其函數(shù)值。上面三條任破壞一條，函數(shù)在點(diǎn)都不連續(xù)。定義：若在不連續(xù)，則稱(chēng)是的間斷點(diǎn)（或不連續(xù)點(diǎn)）。二元函數(shù)的間斷點(diǎn)集常常是平面上的一條曲線。（裂縫）例：求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出其圖形1） 2）解：1）由得?！嚅g斷點(diǎn)集{(0,0)}，且。例：求下列極限：1） 2） （令，則） 3）4）上面二元函數(shù)的定義和性質(zhì)可以推廣到元函數(shù)上去.作業(yè)：（參考）5；作業(yè)評(píng)講：下面做法是否正確，為什么？（是否正確關(guān)鍵是判別是否存在）上面做法不正確?！哂啥ɡ碇罕仨毷嵌貥O限和累次極限存在時(shí)，才能象上面這樣做。正確做法：令，則原式==2（）=2（）注：令，則.若將函數(shù)限制在區(qū)域={(x,y)||y|x2}，例函數(shù)在原點(diǎn)（0,0）存在極限（關(guān)于）。分析：這里動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的變化范圍是，∴P只能取內(nèi)的點(diǎn)：|y|x2，∴只須證明：（即：滿足條件|y|＜x2的點(diǎn)P（x,y））：的，的找法與前面的一樣。證明：；要使只須?。ㄗⅲ翰坏仁街胁缓?，表示對(duì)任意，時(shí)，都能保證）證明：，取都有..討論：能源能說(shuō)在（0，0）的二重極限是？（不能，∵二重極限的動(dòng)點(diǎn)必須是鄰域：，的全體點(diǎn)，但上題中的P不能取M域的全體點(diǎn)，而只能?。??！嗖皇嵌貥O限，而只是限制在中的極限，實(shí)際上在（0,0）不存在二重極限。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿軸x=c趨于（0,0）時(shí)，當(dāng)沿x軸y=0趨于（0,0）時(shí)。 作業(yè)： : 1 (1),(2)。 6。 7。10。 11. 167。 多元函數(shù)的微分法在講多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)前，首先來(lái)回憶一下導(dǎo)數(shù)的概念：設(shè)在有定義：若把一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念推廣到多元函數(shù)上去，就是下面要講的偏導(dǎo)數(shù)的概念：偏改變量：設(shè)二元函數(shù)定義在區(qū)域，是的內(nèi)點(diǎn)，將看作常數(shù)，給一個(gè)改變量，于是就得到的另一個(gè)內(nèi)點(diǎn)（），把這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差：叫在點(diǎn)關(guān)于x的偏改變量。同樣：把叫在點(diǎn)關(guān)于的偏導(dǎo)改變量。：若函數(shù)在點(diǎn)的關(guān)于的偏改變量與之比的極限：存在，則稱(chēng)此極限叫在關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)，記為（）. 同理稱(chēng)：，叫在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，記為例：已知： ， 求解：∵當(dāng)為區(qū)域的任意點(diǎn)時(shí)：二元函數(shù)在任意點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)為：（叫在關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)）（叫在關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)）它們?nèi)匀皇顷P(guān)于、的二元函數(shù)，∴又簡(jiǎn)稱(chēng)偏導(dǎo)函數(shù)。由于偏導(dǎo)數(shù)在本質(zhì)上就是導(dǎo)數(shù)的概念，所求關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只須把看成常數(shù)，對(duì)求導(dǎo)即可.……例：已知，求，例：已知： ，求關(guān)于與的偏導(dǎo)函數(shù)，.分析：∵是分段函數(shù)，∴對(duì)于不同的表達(dá)式，要分成不同的情況來(lái)計(jì)算。解：當(dāng)，（是一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)，可以直接求偏導(dǎo)）當(dāng)（,）=（0，0）時(shí)（是求節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，只能根據(jù)定義求）∴，例：設(shè) .分析：在求時(shí)，看成常數(shù)，對(duì)求導(dǎo).解： 例：設(shè)，求分析：函數(shù)是與=的復(fù)合函數(shù)，∴由復(fù)合了函數(shù)的求導(dǎo)法則：（也可以?xún)蛇呄热?duì)數(shù)再求導(dǎo)）。解：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則下面兩個(gè)請(qǐng)同學(xué)們自己計(jì)算。課堂作業(yè)，計(jì)算 求導(dǎo)，解：令，則，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在一元函數(shù)中，在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在的切線的斜率。那么偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？的幾何意義：曲面與過(guò)軸點(diǎn)且垂于y軸的平面交線的方程為： 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：表示過(guò)交線上的點(diǎn)的切線的斜率；表示過(guò)曲線上點(diǎn)的切線斜率。在一元函數(shù)中，若在可導(dǎo)，則在連續(xù)，即在連續(xù)是在可微的必要條件。那么這一條性質(zhì)在二元函數(shù)中是否成立呢？實(shí)際上：注：在二元函數(shù)中，僅管在點(diǎn)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，都存在，也推不出 連續(xù)，這是多元函數(shù)與一元函數(shù)的一個(gè)不同之點(diǎn)。例：證明，在存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，但在原點(diǎn)不連續(xù).證明：同理（要證在不連續(xù)，只須證明：不存在極限）當(dāng)以趨于時(shí)，當(dāng)以趨于時(shí)，∴，所以連續(xù).作業(yè)：P176 2全微分定義：在一元函數(shù)時(shí)我們?cè)?jīng)定義了函數(shù)在一點(diǎn)的微分的概念：若函數(shù)在點(diǎn)的改變量能表成：（即表成的一個(gè)線性函數(shù)與高階無(wú)窮小的和）就稱(chēng)在可微，并把就微分，后面我們進(jìn)一步推出：。這一概念可以推廣到多元函數(shù)上，就是下面的全微分的概念：2. 全微分的定義：若二元函數(shù)在點(diǎn)的全改變量：可表成：，其中，是與、的無(wú)關(guān)的常數(shù)。則稱(chēng)二元函數(shù)在點(diǎn)可微，且把線性主部叫函數(shù)在點(diǎn)的全微分，記為注：全微分的定義必須滿足兩條：1）的線性（一次）函數(shù)（即A、B與無(wú)關(guān)的常數(shù)）。2）是的高階窮?。ǎ丛谏厦娑x中，我們自然要問(wèn)系數(shù)A、B是什么呢？3. 定理：（可微的必要條件）：若二元函數(shù)在點(diǎn)可微，則函數(shù)存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)與，且。討論：上面定理實(shí)際上告訴我們?cè)诳晌⒌谋匾獥l件是什么？證明：∵在點(diǎn)存在全微分。∴，令，想一想變成了什么？則∴ ∴存在，同理：=。由上面定理得：，當(dāng)在區(qū)域的任一點(diǎn)都可微時(shí)，稱(chēng)在區(qū)域可微，且.這里我們要指出：在一元函數(shù)中，在一點(diǎn)可微在可導(dǎo)，但在二元（或多元）函數(shù)中：可微在存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)（即：；但存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)（可導(dǎo)）在可微。注：在二元函數(shù)中，“可導(dǎo)”僅僅是“可微”必要而不充分的條件.例：設(shè)，證明在可導(dǎo)，但不可微.證明：由前面17頁(yè)例題知：，∴在點(diǎn)可導(dǎo)，又∵，取。則，不是的高階無(wú)窮小，∴。于是，自然要問(wèn)，在什么條件下，可微呢？即：充分條件.（可微充分條件）： 若二元函數(shù)的鄰域存在偏導(dǎo)數(shù)，，且兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)，則在可微。注：的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)，連續(xù)僅是在可微的充分而非必要的條件.例：設(shè)=，則函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)不連續(xù)，但在可微.分析：首先計(jì)算偏導(dǎo)數(shù).證：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?∴同理（下面證明導(dǎo)函數(shù)在不連續(xù)）∵取軸，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P軸超于時(shí)，∴在（0,0）不存在二重極限，∴在原點(diǎn)不連續(xù).（下面證明在點(diǎn)（0，0）可微，只須證明：）因?yàn)椋?，所以? （注：）∴.例：計(jì)算出數(shù)在點(diǎn)，，并計(jì)算：的近似值.解：∵，∴ ∴∴函數(shù)在點(diǎn)（2,01，1，03）的全微分+=上面全微分的概念也可以推廣到多元函數(shù)上去：在點(diǎn)的全微分：例：計(jì)算=的全微分。注：在一元函數(shù)中，一階微分具有形式不變性，而高階微分不具有形式不變性，這一性質(zhì)對(duì)于多元函數(shù)是否成立呢？多元函數(shù)也具有一階全微分形式不變形，而高階全微分不具有形式不變性.作業(yè)：P177 11154. 全可微的幾何意義（偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用）：一元函數(shù)在可微的幾何意義是：曲線在點(diǎn)存在切線斜率是：.那么二元函數(shù)，可微的幾何意義又是什么呢？（1）切平角和法線：在空間解析幾何中知道：一個(gè)三元一次方程表示一個(gè)平面，而一個(gè)三元高次方程表示一個(gè)曲面S：.設(shè)空間有一個(gè)曲面S，其方程為，點(diǎn)是曲面S上一點(diǎn)，則曲面S可看成是過(guò)M點(diǎn)的無(wú)限條光滑曲線組成的，而每一條光滑曲線在點(diǎn)都有一條切線，∴過(guò)點(diǎn)也就有無(wú)限多條切線（由立體幾何知：）這無(wú)數(shù)條切線位于同一個(gè)平面，從而這無(wú)數(shù)條切線就構(gòu)成了一個(gè)平面，這個(gè)平面叫曲面S在點(diǎn)的切平面，過(guò)點(diǎn)而垂直于切平面的直線叫曲面S在點(diǎn)的法線，叫切點(diǎn).（2）定理：二元函數(shù)在點(diǎn)P0(x0,y0)可微平面π：是曲面S：在的切平面.曲面S：