【正文】 ∴ 對(duì)恒成立∴ ∴ 滿足題意5. 已知函數(shù)。（1）求函數(shù)的反函數(shù)和的導(dǎo)函數(shù)；（2）假設(shè)對(duì)，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：本題主要考查反函數(shù)的概念及基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力．化歸（轉(zhuǎn)化）思想方法解：（1） ∴ ∵ ∴ （2）∵ ，成立∴ ∴ 設(shè)，∴ 恒有成立 ∵ ∴ ∴ ∴ ，∴ ，在上∴ 即 ∵ ∴ 在上∴ ∴ 的取值范圍是.(Ⅰ)當(dāng)x=6時(shí),求的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)。(Ⅱ)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,證明＞(Ⅲ)是否存在,使得a＜＜恒成立?若存在,試證明你的結(jié)論并求出a的值。若不存在,請(qǐng)說明理由.（Ⅰ）解：展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，這項(xiàng)是（Ⅱ）證法一：因證法二：因而故只需對(duì)和進(jìn)行比較。令，有，由，得因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以在處有極小值故當(dāng)時(shí)，從而有，亦即故有恒成立。所以，原不等式成立。（Ⅲ）對(duì)，且有又因，故∵，從而有成立，即存在，使得恒成立。1. 兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān)，對(duì)城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對(duì)城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k ,當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，.（1）將y表示成x的函數(shù)；（11）討論（1）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最??？若存在，求出該點(diǎn)到城A的距離。若不存在，說明理由。A B C x 解:（1）如圖,由題意知AC⊥BC,其中當(dāng)時(shí)，y=,所以k=9所以y表示成x的函數(shù)為設(shè),則,所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取”=”.下面證明函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù), 在(160,400)上為增函數(shù).設(shè)0m1m2160,則 ,因?yàn)?m1m2160,所以442402409 m1m29160160所以,所以即函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù).同理,函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù),設(shè)160m1m2400,則因?yàn)?600m1m2400,所以44240240, 9 m1m29160160所以,所以即函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù).所以當(dāng)m=160即時(shí)取”=”,函數(shù)y有最小值,所以弧上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最小.7. 函數(shù)與數(shù)列綜合1. 已知函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱．（1）試用含的代數(shù)式表示函數(shù)的解析式，并指出它的定義域；（2）數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，．?dāng)?shù)列中，．點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，求的值；（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)作傾斜角為的直線，則在ｙ軸上的截距為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．分析：本小題主要考查反函數(shù)的概念、性質(zhì)、直線、數(shù)列等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的方法，考查分析問題和解決問題的能力。轉(zhuǎn)化（化歸）思想，解：（1）由題可知：與函數(shù)互為反函數(shù)，所以， （2）因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖像上，所以， (*)在上式中令可得：，又因?yàn)椋?，代入可解得：．所以?*)式可化為： ①（3）直線的方程為：，在其中令，得，又因?yàn)樵冢S上的截距為，所以，=，結(jié)合①式可得： ②由①可知：當(dāng)自然數(shù)時(shí)，，兩式作差得：．結(jié)合②式得： ③在③中，令，結(jié)合，可解得：，又因?yàn)椋寒?dāng)時(shí)，所以，舍去，得．同上，在③中，依次令，可解得：，．猜想：．下用數(shù)學(xué)歸納法證明． （1）時(shí)，由已知條件及上述求解過程知顯然成立．（2）假設(shè)時(shí)命題成立，即，則由③式可得：把代入上式并解方程得： 由于，所以，所以，符合題意，應(yīng)舍去，故只有．所以，時(shí)命題也成立．綜上可知：數(shù)列的通項(xiàng)公式為 已知函數(shù)，點(diǎn)，是函數(shù)圖像上的兩個(gè)點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．⑴求證：點(diǎn)的縱坐標(biāo)是定值；⑵若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前m項(xiàng)的和；⑶若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：⑴由題可知：，所以，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是定值，問題得證．⑵由⑴可知：對(duì)任意自然數(shù)，恒成立． 由于，故可考慮利用倒寫求和的方法．即由于：所以， 所以，⑵∵， ∴ ∴等價(jià)于 ①依題意，①式應(yīng)對(duì)任意恒成立．顯然，因?yàn)椋ǎ?，所以，需且只需?duì)任意恒成立．即：對(duì)恒成立．記（）．∵ ，∴（）的最大值為，∴ ．3 已知函數(shù)，數(shù)列滿足：，（1）求證：；（2）求證數(shù)列是等差數(shù)列；（3）求證不等式：分析：本小題主要考查反函數(shù)的概念、單調(diào)性、導(dǎo)函數(shù)、數(shù)列、不等式等基本知識(shí)，考查綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題和解決問題的能力。轉(zhuǎn)化（化歸）思想，解：（1）由得當(dāng)時(shí)，即是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，即是單調(diào)遞減函數(shù)；且，即是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)取到等號(hào)。………(4分)（2）由得，故， 即數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為………………… (8分)（3）由（2）可知所以又∵時(shí)，有，令，則∴∴4．已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)x1?、瘢┣骹(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）記f(x)在區(qū)間（n∈N*）上的最小值為bx令an=ln(1+n)bx.（Ⅲ）如果對(duì)一切n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；（Ⅳ）求證： 解法一：（I）因?yàn)閒(x)=ln(1+x)x，所以函數(shù)定義域?yàn)椋?,+）,且f〃(x)=1=.由f〃(x)0得1x0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，0）；由f〃(x)0得x0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+）.(II)因?yàn)閒(x)在[0,n]上是減函數(shù)，所以bn=f(n)=ln(1+n)n,則an=ln(1+n)bn=ln(1+n)ln(1+n)+n=n.(i) 又lim,因此c1，即實(shí)數(shù)c的取值范圍是（，1）.（II）由（i）知因?yàn)閇]2=所以＜(nN*),則＜N*）解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因?yàn)閒(x)在上是減函數(shù)，所以　　　則（i）因?yàn)閷?duì)n∈N*∈N*恒成立.　　則對(duì)n∈N*恒成立.　　設(shè) n∈N*，則c＜g(n)對(duì)n∈N*恒成立.　　考慮　　因?yàn)椋?，　　所以內(nèi)是減函數(shù)；則當(dāng)n∈N*時(shí)，g(n)隨n的增大而減小，又因?yàn)椋?.所以對(duì)一切因此c≤1,即實(shí)數(shù)c的取值范圍是(∞，1].(ⅱ) 由(ⅰ)知 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 ①當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝，右邊＝，左邊. ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),當(dāng)n=k+1時(shí)，=即n＝k＋1時(shí)，不等式成立綜合①、②得，不等式成立.所以即.5. 已知Sn=1++…+,(n∈N*)，設(shè)f(n)=S2n+1－Sn+1,試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，不等式f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立 命題意圖 本題主要考查應(yīng)用函數(shù)思想解決不等式、數(shù)列等問題，需較強(qiáng)的綜合分析問題、解決問題的能力 知識(shí)依托 本題把函數(shù)、不等式恒成立等問題組合在一起，構(gòu)思巧妙 錯(cuò)解分析 本題學(xué)生很容易求f(n)的和，但由于無法求和，故對(duì)不等式難以處理 技巧與方法 解決本題的關(guān)鍵是把f(n)(n∈N*)看作是n的函數(shù)，此時(shí)不等式的恒成立就轉(zhuǎn)化為 函數(shù)f(n)的最小值大于［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2 解 ∵Sn=1++…+ (n∈N*)∴f(n+1)＞f(n)∴f(n)是關(guān)于n的增函數(shù)∴f(n) min=f(2)=∴要使一切大于1的自然數(shù)n，不等式f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立只要＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2成立即可由得m＞1且m≠2此時(shí)設(shè)［logm(m－1)］2=t 則t＞0于是　解得0＜t＜1，由此得0＜［logm(m－1)］2＜1，解得m＞且m≠2 6. 已知函數(shù),數(shù)列滿足, 。 數(shù)列滿足, .求證:（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）若則當(dāng)n≥2時(shí),.點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的學(xué)歸納法的知識(shí)交匯題，屬于難題，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起注意。 分類討論的思想方法解析：第（1）問是和自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第（2）問可利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問進(jìn)行放縮。答案：解: (Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明,. （1）當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立。 （2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,=k+1時(shí), 因?yàn)?x1時(shí),所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù). 又f(x)在上連續(xù),所以f(0)f()f(1),即0. 故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立. 即對(duì)于一切正整數(shù)都成立. 又由, 得,從而. 綜上可知 (Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)= , 0x1, 由,知g(x)在(0,1)上增函數(shù). 又g(x)在上連續(xù),所以g(x)g(0)=0.因?yàn)?所以,即0,從而(Ⅲ) 因?yàn)?,所以, , 所以 ————① , 由(Ⅱ)知:, 所以= , 因?yàn)? n≥2, 所以 =————② .由①② 兩式可知: .＞1，數(shù)列的通項(xiàng)公式是，前n項(xiàng)和記作（n＝1，2，…），規(guī)定．函數(shù)在處和每個(gè)區(qū)間（，）（i＝0，1，2，…）上有定義，且，（i＝1，2，…）．當(dāng)（，）時(shí)，f（x）的圖像完全落在連結(jié)點(diǎn)（，）與點(diǎn)（，）的線段上。 （Ⅰ）求f（x）的定義域； （Ⅱ）設(shè)f（x）的圖像與坐標(biāo)軸及直線l：（n＝1，2，…）圍成的圖形面積為， 求及； （Ⅲ）若存在正整數(shù)n，使得，求a的取值范圍。解：（1）f（x）的定義域是，由于所有的都是正數(shù)，故是單調(diào)遞增的．　∵ ∴f（x）的定義域是（Ⅱ）∵　?。╥＝1，2，…）與i無關(guān)．∴　所有的，…共線，該直線過點(diǎn)（a，a），斜率為1a，　　　　∴　．　　當(dāng)n≥2時(shí)，是一個(gè)三角形與一個(gè)梯形面積之和（如上圖所示）．梯形面積是　　　　于是 　　故　　　　　　　　　　　　　　　　　 　?。á螅┙夥ㄒ唬航Y(jié)合圖像，易見即a≥2時(shí)，　　而，即a＜2時(shí)，故當(dāng)1＜a＜2時(shí)，存在正整數(shù)n，使得　　　　解法二：假設(shè)存在正整數(shù)n，使得，　　則應(yīng)有　　　　∵　，　∴　　　　　　　∴　1＜a＜2時(shí)，存在正整數(shù)n，使得成立　　　　　　　　　∴8. 設(shè)函數(shù)g()對(duì)任意的、∈（0，+），都有g(shù)()=g() + g()成立，又g(2) = 1；已知點(diǎn)pn(an，bn)（n ∈ N* ）都在直線： = 2 + 2上，P1為直線與軸的交點(diǎn)，數(shù)列{bn}滿足n ≥ 2時(shí)，bn 0，且g(sn) = g(bn) + g(2+bn) 2,(n ∈ N* )，其中Sn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若(n) = 是否存在∈N*，使得(+5)=2()2成立？若存在，求出值；若不存在，說明理由； （3）求證：+ + … + ．（n ≥ 2，n ∈ N* ）點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列、函數(shù)的概念、奇偶性、數(shù)列的通項(xiàng)公式的知識(shí)交匯題，需較強(qiáng)的綜合分析問題、解決問題的能力 轉(zhuǎn)化的思想方法，分類討論思想解（1）P1(a1,b1)為直線 = 2χ+ 2與軸交點(diǎn)，則a1 = 1，b1 = 0由已知、∈（0，+），都有g(shù)(x) = g() + g()成立，又g(2) = 1，得g(4) = =g(22) = g(2) + g(2) = 2，因?yàn)閚 ≥ 2時(shí)，bn 0，且g(Sn) = g(bn) + g(2+bn) 2,（ n∈N* ）所以2 + g( Sn ) = g( bn ) + g( 2+bn )，即g(4) +g( Sn ) = g( bn ) + g( 2+bn )． 所以4Sn = bn（2+bn）b2 = 2, b2 – b1 = 2；由4Sn = bn (2+bn)及4Sn+1 = bn+1(2 + bn+1) bn+1 bn = 2所以{bn}是以0為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴bn = 2n2因?yàn)镻n( an，bn)( n ∈ N )在直線y = 2 + 2上，則bn = 2an + 2，∴an = n 2．（2）為偶數(shù)時(shí)，( + 5) = ak+ 5 =+ 3，2 () – 2 = 2( 2– 2 ) – 2 = 4 6由+ 3 = 4 6= 3 ，與為偶數(shù)矛盾， 為奇數(shù)時(shí)， (+5) = bk+5 = 2+ 8，2 ? () – 2 = 2 6由2+ 8 = 2 6得不存在．故滿足條件的不存在．（3）| P1Pn |2 =( n – 1 )2 + ( 2n – 2 )2 = 5( n – 1 )2,n ≥ 2， + + … + = [+ + … + ]≤[ + … + ]= ∴… + ，是方程的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列滿足，（…）．（1）證明：，；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，求的前項(xiàng)和．分析：本題主要考查二次方程、求數(shù)列的通項(xiàng)、等差等比數(shù)列的概念和性質(zhì)，綜合運(yùn)送知識(shí)分析問題和解決問題的能力。 等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想【解析】（1）由求根公式，不妨設(shè)，得