高考數(shù)學(xué)_壓軸題_放縮法技巧全總結(jié) -文庫吧
2025-05-15 22:40 本頁面
【正文】 . (I)求證：函數(shù)上是增函數(shù)； (II)當(dāng)； (III)已知不等式時(shí)恒成立， 求證： 解析:(I),所以函數(shù)上是增函數(shù) (II)因?yàn)樯鲜窃龊瘮?shù),所以 兩式相加后可以得到 (3) …… 相加后可以得到: 所以 令,有 所以 (方法二) 所以 又,所以 三、分式放縮 姐妹不等式:和 記憶口訣”小者小,大者大” 解釋:看b,若b小,則不等號是小于號,反之. 例19. 姐妹不等式:和 也可以表示成為 和 解析: 利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)可得 即 : 解析: 運(yùn)用兩次次分式放縮: (加1) (加2) 相乘,可以得到: 所以有 四、分類放縮 : 解析: 例22.(2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試改編) 在平面直角坐標(biāo)系中, 軸正半軸上的點(diǎn)列與曲線（≥0）上的點(diǎn)列滿足，,. (1)證明4。 (2)證明有，使得對都有. 解析:(1) 依題設(shè)有：，由得： ,又直線在軸上的截距為滿足 顯然，對于，有 (2)證明：設(shè)，則 設(shè)，則當(dāng)時(shí)， ?！∷裕?，對都有： 故有成立?！ ±?3.(2007年泉州市高三質(zhì)檢) 已知函數(shù)，若的定義域?yàn)閇－1，0]，值域也為[－1，0].若數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，問是否存在正常數(shù)A，使得對于任意正整數(shù)都有？并證明你的結(jié)論。 解析:首先求出,∵ ∴,∵,… ,故當(dāng)時(shí), 因此，對任何常數(shù)A，設(shè)是不小于A的最小正整數(shù)， 則當(dāng)時(shí),必有. 故不存在常數(shù)A使對所有的正整數(shù)恒成立. 例24.(2008年中學(xué)教學(xué)參考)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)? , 當(dāng)時(shí),求證:. 解析:容易得到,所以,要證只要證,因?yàn)?所以原命題得證 五、迭代放縮 例25. 已知,求證:當(dāng)時(shí), 解析:通過迭代的方法得到,然后相加就可以得到結(jié)論 例26. 設(shè),求證:對任意的正整數(shù)k,若k≥n恒有:|Sn+k－Sn| 解析: 又 所以 六、借助數(shù)列遞推關(guān)系 : 解析: 設(shè)則 ,從而 ,相加后就可以得到 所以 例28. 求證: 解析: 設(shè)則 ,從而 ,相加后就可以得到 例29. 若,求證: 解析: 所以就有 七、分類討論 ：對任意的整數(shù)，有 解析:容易得到, 由于通項(xiàng)中含有，很難直接放縮，考慮分項(xiàng)討論： 當(dāng)且為奇數(shù)時(shí) （減項(xiàng)放縮），于是 ①當(dāng)且為偶數(shù)時(shí) ?、诋?dāng)且為奇數(shù)時(shí)（添項(xiàng)放縮）由①知由①②得證?！ “?、線性規(guī)劃型放縮 例31. ，求的最大值?！ ? 解析:由知 即 由此再由的單調(diào)性可以知道的最小值為，最大值為 因此對一切，的充要條件是， 即，滿足約束條件， 由線性規(guī)劃得，的最大值為5． 九、均值不等式放縮 解析: 此數(shù)列的通項(xiàng)為 ， 即 注：①應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過“度”了！ ②根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，這里 其中，等的各式及其變式公式均可供選用。 ，若，且在[0，1]上的最小值為，求證： 解析: ，且，試證：對每一個(gè)，. 解析: 由得，又，故，而， 令，則=，因?yàn)?，倒序相加?， 而， 則=，所以，即對每一個(gè)，. 解析: 不
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