【正文】 ddm ? ? ?v v F r21d ( ) δ2 m v W?質(zhì)點(diǎn) 動能的增量 等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的 力的元功 。 167。 123 動 能 定 理 Ma=F 微分形式 212121d ( )2vv m v W??122122 2121 Wmvmv ??在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的某個過程中 ， 21d ( ) δ2 m v W?積分形式 質(zhì)點(diǎn) 動能的改變量 =作用于質(zhì)點(diǎn)的 力作的功 。 質(zhì)點(diǎn)系的動能定理 設(shè)第 i個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為 mi，速度為 vi 21d ( ) δ2 i i im v W?21d ( ) δ2 i i im v W? ? ?21d ( ) δ2 i i im v W??? ? ?????質(zhì)點(diǎn)系動能定理的微分形式 d δ iTW??質(zhì)點(diǎn)系 動能的微分 =作用在質(zhì)點(diǎn)系上 所有力所作的元功之和 。 質(zhì)點(diǎn)系在某一運(yùn)動過程中 質(zhì)點(diǎn)系動能定理的積分形式 ??? WTT 12在理想約束的條件下 ： WdT )F(?? ???? )F(12 WTT 起點(diǎn)和終點(diǎn)的 動能的改變量 =作用于質(zhì)點(diǎn)系的 全部力在這一過程中所作的功之和 。 問題 將摩擦力、彈性內(nèi)力等非理想約束的約束反力劃入主動力計算力的功。 在非理想約束下，如何應(yīng)用動能定理？ 已知 :均質(zhì)圓盤 R,m,F=常量 ,且很大 ,使 O向右運(yùn)動 , f, 初靜止。 求 :O走過 S路程時圓盤的角速度、角加速度及盤心的加速度。 R?? ?001 ?T圓盤速度瞬心為 C , 2022202 43)2(2121 ??? mmRmT ??? 解 : 12 TTW ???20432 ?mm g f sFS ?? )(a)2(320 m g fFms ???? ?? m g f sFSW 2將式 (a)兩端對 t求導(dǎo) ,并利用 , 00rar ?? ???)2(3 20 m g fFma ??得 已知 :m, h, k, 其它質(zhì)量不計 . max?求 : 解 : 120 , 0TT??m a x2m a x 2)(00 ??khmg ????k m g hgmkkmg 21 22m a x ????已知：輪 O ： R1 ， m1 ,質(zhì)量分布在輪緣上 。 均質(zhì)輪 C ： R2 ， m2 ， 純滾動 , 初始靜止 。θ ,M 為常力偶。 求 :輪心 C 走過路程 S時的速度和加速度 1 2 2 s i nW M m g S????01 ?T22212112 4321cvm) ωR(mT ??輪 C與輪 O共同作為一個質(zhì)點(diǎn)系 解 : 11 RC?? ?1212 TTW ??1RS??)32()(221112mmRSS i ngRmMC ??? ??22 1 2s in ( 2 3 )4CM m g S m m???? ? ?)(a式 (a)是函數(shù)關(guān)系式，兩端對 t求導(dǎo) ,得 1 2 211 ( 2 3 ) si n2CC C Cm m a M m gR?? ? ?? ? ?211 2 12 ( sin )( 2 3 )CM m g Ram m R????O ? A F B 例 4 在對稱連桿的 A點(diǎn) ， 作用一鉛垂方向的常力 F， 開始時系統(tǒng)靜止 ， 如圖 。 設(shè)連桿長均為 l， 質(zhì)量均為 m，均質(zhì)圓盤質(zhì)量為 m1， 且作純滾動 。 求連桿 OA運(yùn)動到水平位置時的角速度 。 O ? A F B 01 ?T運(yùn)動分析 O A B vA vB 2B2O2 J21J21T ?? ??2222)3ml(21)3ml(21 ?? ??0vB ? ω ω 221 0 ( ) s in3 m l m g F l??? ? ?3 ( ) s i nm g Flm?? ??O ? A F B mg mg FS FN m1g FOx FOy WTT 12 ??受力分析 ?? s i n2lmg2F l s i nW ??? 例 5 重物 A和 B通過動滑輪 D和定滑輪而運(yùn)動。設(shè)重物 A和 B的質(zhì)量均為 m，滑輪 D和 C的質(zhì)量均為 M，且為均質(zhì)圓盤。重物 B與水平面間的動摩擦系數(shù)為 f 39。，繩索不能伸長，其質(zhì)量忽略不計。如果重物 A開始時向下的速度為 v0，試問重物 A下落多大距離，其速度增大一倍。 D A B C v0 2012AT m v?2v0 D A B C v0 2 2 200211( ) ( )22CC CvT M r M vr??22001 ( 2 ) 22BT m v m v??2107 1 04A B C DMmT T T T T v?? ? ? ? ?2 2 2 20001 1 1 3( ) ( )2 2 2 4DD DvT M v M r M vr? ? ?系統(tǒng)動能 受力分析 WTT 12 ???? ?203 ( 7 1 0 ) ( 1 2 )4 M m v M f m h g?? ? ? ?? ?203 ( 7 1 0 )4 ( 1 2 )v M mhg M f m?????220( 7 1 0 )T M m v??D A B C mg Mg Mg mg FN FS FOy FOx 2hFM g hm g hW s????) ] g h2fm ( 1[M 39。?? 例 6 ：均質(zhì)桿質(zhì)量 m＝ 10 kg， 長度 l＝ 60 cm， 兩端與不計重量的滑塊鉸接 ， 滑塊可在光滑槽內(nèi)滑動 ， 彈簧的彈性系數(shù)為 k＝ 360 N/m。 在圖示位置時系統(tǒng)靜止 ，彈簧的伸長為 20 cm。 然后無初速釋放 ， 求當(dāng)桿到達(dá)鉛垂位置時的角速度 。 ?30B A C mg 30 cm 0T1 ??30B A C mg 30 cm 運(yùn)動分析 vA vB ?AB 2B2 J21T ??22 ??223ml21 ???0vB ? 2 ??1 . 4 6 1 . 5 6 r a d s0 . 6? ???30B A C mg 30 cm ??W )(2k 2221 ?? ?? )2lc o s 3 02l(mg O ?WTT 12 ???cm1 02 ??cm201 ??21,OO已知 : , 均質(zhì) 。桿 m均質(zhì) , =l , M=常量 ,純滾動 ,處于水平面內(nèi) ,初始靜止 . 21OO1r 1m求 : 轉(zhuǎn)過 φ角的 21OO ,??,01 ?T221 )233(21 ?lmm ??研究整個系統(tǒng) ),(1101101 rlrl ????? ???22112011222 )2(2121)3(21 ??? rmmmlT ???解 : ?MW ? ??? WTT 12221 )233(21 ?? lmmM ?? )(a21 )92(12lmmM?? ??21 )92(6lmmM???式 (a)對任何 φ 均成立 ,是函數(shù)關(guān)系 ,求導(dǎo)得 注意 :輪 Ⅰ 、 Ⅱ 接觸點(diǎn) C是理想約束 ,其摩擦力 Fs盡管在空間是移動的 ,但作用于速度瞬心 ,故不作功 . 例 1 一長為 l， 質(zhì)量密度為 ρ 的鏈條放置在光滑的水平桌面上 ， 有長為 b的一段懸掛下垂 ， 如圖 。 初始鏈條靜止 ， 在自重的作用下運(yùn)動 。 求當(dāng)末端滑離桌面時 ， 鏈條的速度 。 bbl?bbl?lblgv )( 222??01 ?T222 21 lvT ??)bl(g21)bl(21)bl(g)bl(gbW 22 ??????? ???1212 WTT ??? [例 7] 均質(zhì)圓盤 A： m， r；滑塊 B： m；桿 AB：質(zhì)量不 計，平行于斜面。斜面傾角 ?，摩擦系數(shù) f，圓盤作純滾動，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。 0T1 ??rv ?22 45 mvT ??設(shè)向下位移 S時滑塊 B的速度為 v ?2T 2A2AA J21vm21 ???22222 mr2121mv21mv21T ?????2BB vm21 ?v v ω ?? co s m g S fs i n S mg2W )F( ??WTT 12 ???)c o ss i n2(045 2 ?? fm g Smv ???gfa )co s52s i n54( ?? ??受力分析 mg mg NA NB FA FB 例 8： 均質(zhì)圓柱體重為 P,半徑為 r，其中心 O絞接一重為 Q的均質(zhì)直桿 OA，放在傾角為 α的斜面上，輪子只滾不滑， OA桿的 A端與斜面間無摩擦，系統(tǒng)初始靜止，求輪心沿斜面下滑距離 S時圓柱體中心點(diǎn)的速度與加速度。 α O A S 22 vgQ21vgP43 ??2Tα O A S 設(shè)下滑距離 S時輪心的速度為 v v vA Avv ?2vgQ21? 2O2 J21P21T ??? 2vgωOA=0 T1=0 ω rv???s i n)( SQP W ??SP3Q2 s i ng)PQ(4 v 2 ??? ?P3Q2s i n)PQ(g2a??? ?222 vgQ21vgP43T ??α O A S T2T1=W Q P N FS 受力分析 T1=0 例 9 已知： m ， R, f ， ? 。求純滾動時盤心的加速度 。 ? C ? C FN mg vC ? F 設(shè)圓盤中心向下產(chǎn)生位移 s時速度達(dá)到 vc。 s 1 0T ??s i nm g sW ?T2T1=W ?s in043 2 m g smv C ??2CJ2121 ??? 2C2 mvT?s in32 ga ?受力分析 [例