概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(經(jīng)管類)課堂筆記-文庫(kù)吧
2025-09-15 20:16 本頁(yè)面
【正文】 1） （ 5） （ 2） ABC （ 3） （ 6） A+B+C （ 4） 例 ： A1 表示第 1 次射中， A2 表示第 2 次射中， A3 表示第 3 次射中 。 B0 表示三次中射中 0 次， B1 表示三次中射中 1 次， B2 表示三次中射中 2 次， B3 表示三次中射中 3 次，請(qǐng)用 A A A3 的運(yùn)算來(lái)表示 B0、 B B B3 解：（ 1） （ 3） （ 2） （ 4） 例 3 ， A， B， C表示三事件，用 A， B， C的運(yùn)算表示下列事件。 （ 1） A， B都發(fā)生且 C 不發(fā)生 （ 2） A與 B至少有一個(gè)發(fā)生而且 C 不發(fā)生 （ 3） A， B， C 都發(fā)生或 A， B， C都不發(fā)生 （ 4） A， B， C 中最多有一個(gè)發(fā)生 （ 5） A， B， C 中恰有兩個(gè)發(fā)生 （ 6） A， B， C 中至少有 兩個(gè)發(fā)生 （ 7） A， B， C 中最多有兩個(gè)發(fā)生 解：（ 1） （ 4） （ 6） （ 7） （ 2） （ 3） （ 5）簡(jiǎn)記 AB+AC+BC 簡(jiǎn)記 例 4，若 Ω=｛ 1， 2， 3， 4， 5， 6｝； A=｛ 1， 3， 5｝； B=｛ 1， 2， 3｝ 求（ 1） A+B；（ 2） AB（ 3）（ 4） ；；（ 5）（ 6）；（ 7），（ 8） 。 解：（ 1） A+B=｛ 1， 2，3， 5｝； （ 2） AB=｛ 1， 3｝； （ 3） （ 4） =｛ 4， 5， 6｝； （ 5） =｛ 4， 6｝ （ 6） =｛ 2， 4， 6｝； =｛ 2， 4， 5， 6｝； 4 （ 7） =｛ 2， 4， 5， 6｝； （ 8） =， ==｛ 4， 6｝ 正確 是否互斥 由本例可驗(yàn)算對(duì)偶律， 例 5，（ 1）化簡(jiǎn)；（ 2）說(shuō)明 AB 與 解：（ 1） （ 2） 例 ， B， C為三事件，說(shuō)明下列表示式的意義。 （ 1） ABC； （ 2）； （ 3） AB （ 4） 解：（ 1） ABC 表示事件 A， B， C 都發(fā)生的事件 （ 2） 表示 A， B都發(fā)生且 C不發(fā)生的事件 （ 3） AB表示事件 A與 B都發(fā)生的事件，對(duì) C沒(méi)有規(guī)定，說(shuō)明 C 可發(fā)生，也可不發(fā)生。 ∴ AB 表示至少 A與 B都發(fā)生的事件 （ 4） 所以也可以記 AB 表示， ABC 與 中至少有一個(gè)發(fā)生的事件。 例 ， B， C為三事件，說(shuō)明（ AB+BC+AC ）與 解：（ 1）表示至少 A， B發(fā)生 是否相同。 它表示 A， B， C三事件中至少發(fā)生二個(gè)的事件。 （ 2） 表示 A， B， C三事件中，僅僅事件 A與事件 B發(fā)生的事件 表示 A， B， C 三事件中僅有二個(gè)事件發(fā)生的事件。 因而它們不相同。 167。 隨機(jī)事件的概率 （一）頻率：（ 1）在相同條件下，進(jìn)行了 n 次 試驗(yàn)，在這 n 次試驗(yàn)中，事件 A發(fā)生了 nA次，則事件 A發(fā)生的次數(shù) nA叫事件 A發(fā)生的頻數(shù)。 （ 2）比值 nA/n 稱為事件 A發(fā)生的頻率，記作 fn（ A），即 歷史上有不少人做過(guò)拋硬幣試驗(yàn)，其結(jié)果見(jiàn)下表，用 A表示出現(xiàn)正面的事件： 5 從上表可見(jiàn)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) n 大量增加時(shí)，事件 A發(fā)生的頻率 fn（ A）會(huì)穩(wěn)定某一常數(shù)，我們稱這一常數(shù)為頻率的穩(wěn)定值。例如從上表可見(jiàn)拋硬幣試驗(yàn)，正面出現(xiàn)的事件 A 的頻率 fn（ A）的穩(wěn)定值大約是 。 （二）概率：事件 A出現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定值叫事件 A發(fā)生的概率，記作 P（ A） 實(shí)際上，用上述定義去求事件 A發(fā)生的概率是很困難的，因?yàn)榍?A發(fā)生的頻率 fn （ A）的穩(wěn)定值要做大量試驗(yàn)，它的優(yōu)點(diǎn)是經(jīng)過(guò)多次的試驗(yàn)后，給人們提供猜想事件 A發(fā)生的概率的近似值。 粗略地說(shuō)，我們可以認(rèn)為事件 A發(fā)生的概率 P（ A）就是事件 A發(fā)生的可能性的大小，這種說(shuō)法不準(zhǔn)確，但人們?nèi)菀桌斫夂徒邮?，便于?yīng)用。 下面我們不加證明地介紹事件 A的概率 P（ A）有下列性質(zhì)： （ 1） 0≤P（ A） ≤1 （ 2） P（ Ω） =1， P（ Φ） =0 （ 3）若 A與 B互斥，即 AB=Φ，則有 P（ A+B） =P（ A） +P（ B） 若 A1， A2， …… ， An 互斥，則有 （三）古典概型： 若我們所進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)有下面兩個(gè)特點(diǎn)： （ 1）試驗(yàn)只有有限個(gè)不同的結(jié)果； （ 2）每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等， 則這種試驗(yàn)?zāi)Ｐ徒泄诺涓判汀? 例如，擲一次骰子，它的可能結(jié)果只有 6 個(gè)，假設(shè)骰子是均勻的，則每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都是 1/6，所以相等，這種試驗(yàn)是古典概型。 下面介紹古典概型事件的概率的計(jì)算公式：設(shè) 隨機(jī)事件，其中所含的樣本點(diǎn)數(shù)為 r 是古典概型的樣本空間，其中樣本點(diǎn)總數(shù) 為 n， A為 則有公式： 例 1，擲一次骰子，求點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)點(diǎn)的事件 A的概率。 解：樣本空間為 Ω=｛ 1， 2， 3， 4， 5， 6｝； A=｛ 1， 3， 5｝ ∴ n=6,r= 求： 例 ，設(shè) A表示恰有一次出現(xiàn)正面， B表示三次都出現(xiàn)正面， C表示至少出現(xiàn)一次正面， （ 1） P（ A）； （ 2） P（ B） （ 3） P（ C） 解：樣本空間 Ω=｛正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反｝； （ 1） （ 2） （ 3） 由于在古典概型中，事件 A的概率 P（ A）的計(jì)算公式只需知道樣本空 間中的樣本點(diǎn)的總數(shù) n 和事件 A 包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù) r 就足夠，而不必一一列舉樣本空間的樣本點(diǎn)，因此，當(dāng)樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)比較 6 多或難于一一列舉的時(shí)候，也可以用分析的方法求出 n 與 r 的數(shù)值即可。 例 3，從 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 這 10 個(gè)數(shù)碼中，取出三個(gè)不同的數(shù)碼，求所取3 個(gè)數(shù)碼不含 0 和 5 的事件 A的概率。 解：從 10 個(gè)不同數(shù)碼中，任取 3 個(gè)的結(jié)果與順序無(wú)關(guān)，所以基本事件總數(shù) A事件中不能有 0 和 5，所以只能從其余 8 個(gè)數(shù)碼中任取 3 個(gè)，所以 A中的基 本事件 例 4，從 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9這 9 個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，放回后再取一個(gè)，求所取兩個(gè)數(shù)字不同的事件 A的概率。 解：（ 1）第一次取一個(gè)數(shù)字的方法有 9 種； 第二次取一個(gè)數(shù)字的方法與第一次相同也是 9 種； 由乘法原則，知兩次所取的數(shù)字方法有 99=92（種） 每一種取法是一個(gè)基本事件，所以 n=92 （ 2）所取兩個(gè)數(shù)字不同時(shí)，相當(dāng)于從中任取兩個(gè)數(shù)，其結(jié)果與順序有關(guān)，所取取法有： 也可按（ 1）的乘法原則求 r，第一次的取法 有 9 種，第二次的數(shù)字與第 1 次不同，所以只有 8 種，所以取法共有 98（種） ∴ r=98 例 5，袋中有 5 個(gè)白球， 3 個(gè)紅球，從中任取 2 個(gè)球， 求（ 1）所取 2 個(gè)球的顏色不同的事件 A的概率； （ 2）所取 2 個(gè)球都是白球的事件 B的概率； （ 3）所取 2 個(gè)球都是紅球的事件 C 的概率； （ 4）所取 2 個(gè)球是顏色相同的事件的概率。 解：袋中共的 8 個(gè)球，
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