[理學(xué)]ch 7 特征值與特征向量-文庫吧
2025-01-04 14:39 本頁面
【正文】 屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個(gè)特征值的特征向量 . ? ?1 2 1 2 , ,xA ? ? ? ??設(shè) 同 時(shí) 是 的 屬 于 特 征 值 的 的 特 征 向 量xAxxAx 21 , ?? ??xx 21 ?? ?? ? ? ,021 ??? x??,021 ?? ??由于 ,0?x則 .與定義矛盾4 一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一； 一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值． 求矩陣特征值與特征向量的步驟： ? ?。d e t .1 EAA ??的特征多項(xiàng)式計(jì)算? ? 122. de t 0 , , , , 。nA E A? ? ? ???特 征 方 程 的 全 部 根 就 是 的 全 部 特 征 值? ?3 . , 0 , .iiiA E x?????對 于 特 征 值 求 齊 次 方 程 組 的 非 零 解就 是 對 應(yīng) 于 的 特 征 向 量小結(jié) 1 2 1 1 2 2( 2 ) 。n n na a a? ? ?? ? ? ? ? ? ?12( 1 ) 。n A? ? ? ?性質(zhì) 7－ 2 設(shè)ｎ階方陣 的特征值為 ? ?ijAa? 12, , , n? ? ?則 證明① 當(dāng) 是 Ａ 的特征值時(shí)， Ａ 的特征多項(xiàng) 12, , , n? ? ?式可分解為 ? ?f EA? ?? ?? ? ? ? ? ?12 n? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 21 11 1nn n n n? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??令 0,? ? 得 A? ? ? 121 n n? ? ???即 12 .n A? ? ? ?方陣 A可逆 A的特征值都不為零。 ?推論 7－ 1 證明 它的展開式中，主對角線上元素的乘積 ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 nna a a? ? ?? ? ?EA? ?是其中的一項(xiàng)，由行列式的定義，展開式中的其它項(xiàng)至 多含ｎ－２個(gè)主對角線上的元素， 含 的項(xiàng)只能在主對角線上元素的乘積項(xiàng)中． 1nn?? ?與? ? 111 22nn nnE A a a a? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?故有 比較①，有 1 2 1 1 2 2 .n n na a a? ? ?? ? ? ? ? ? ?11 12 121 22 212nnn n n na a aa a aa a a???? ? ?? ? ??? ? ?因此，特征多項(xiàng)式中 1 2 1 1 2 2( 2 ) 。n n na a a? ? ?? ? ? ? ? ? ?定義 方陣 Ａ 的主對角線上的元素之和稱為方陣 Ａ 的 跡 . 記為 ? ? iit r A a? ?4 1 10 0 0 4 0 1 34 1 1tr?????? ? ? ? ? ??????例如 1 2 1 1 2 2( 2 ) 。n n na a a? ? ?? ? ? ? ? ? ?所以 4 1 10 0 04 1 1??????????的三個(gè)特征值 1 2 3 3? ? ?? ? ? ?1 2 3 0A? ? ? ??例 P113 5 若 非零 向量 p滿足 Ap p???性質(zhì) 7－ 3 則 是 A的特征值， p是 A的特征向量。 例： 方陣 A的每行元素的和為 3, 則 3為特征值。 為 的特征值． 性質(zhì) 74 2? 2A證明 因?yàn)? Ap p?? 所以 22() p pApA p A A? ?? ? ?所以 2? 是 的特征值， p是 的特征向量。 2A 2A則 為 的特征值． 推論５ m? mA 為 的特征值． 例 232???? 232E A A??若數(shù) λ 為可逆陣的 Ａ 的特征值， 則 為 的特征值． 推論 1?? 1A? 為 的特征值． ||A? *A 則 0為 A的特征值。 例 1 1 11 1 1?? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?00???????101?????? 0Ap p?三、應(yīng)用舉例 １、若 λ ＝２為可逆陣 Ａ 的特征值，則 1213 A???????的一個(gè)特征值為（ ） ２、若方陣 Ａ 的滿足 ，則 Ａ 的特征值為 ０或１． 2AA?３、三階方陣 Ａ 的三個(gè)特征值為１、２、０，則 （ ） 223EA??? ?444 . : d e t 3 E A 0 , 2 , d e t 0 , .TA A A E A A ?? ? ? ? ?滿 足 求 的 一 個(gè) 特 征 值知由可逆故因?yàn)?0)3d e t ( .,0d e t ??? EAAA解,3 的一個(gè)特征值是 A?即得又由 ,16)2d e t ()d e t ( 2 ??? EAAEAA TT,4d e t,0d e t,4d e t,16)( d e t 2??????AAAA 因此但于是.34有一個(gè)特征值為故 A ?1 2 1121 , , , , , , , , .mmmA p pp p p? ? ?定 理 7 設(shè) 是 的 特 征 值 是 與 之 對 應(yīng) 的 特 征 向 量 。 則同線 性 無 關(guān)不證明 使設(shè)有常數(shù) mxxx , 21 ?1 1 2 2 0mmx p x p x p? ? ? ?用 A作用得即 1 1 2 212 0m mmx p x p x p? ? ?? ? ? ?二、特征值和特征向量的性質(zhì) 11 1 11
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