[工學(xué)]常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)-文庫吧
2025-01-04 11:19 本頁面
【正文】 收斂。 （ 2 ）當(dāng) 1?q 時，∵ ????????? qqaSnnnn 1)1(limlim ， ∴級數(shù)發(fā)散。 例 2 ．討論等比級數(shù) )0(11 ????? aaqnn 的斂散性。 解：??????????????? ?1 , 1 ,1)1(12qnaqqqaaqaqaqaSnnn ? ， 綜上可知， ????11nnaq?????????發(fā)散無和收斂 ,1 , ,1 ,1qqqa 。 （ 3 ）當(dāng) 1?q 時， ① 當(dāng) 1?q 時， ???????naSnnnl i ml i m ，故級數(shù)發(fā)散。 ② 當(dāng) 1??q 時， aaaaaS nn 1)1( ???????? ? ， ????. ,0, ,為偶數(shù)若為奇數(shù)若nnaS n ，故 nnS??lim 不存在，級數(shù)發(fā)散。 解：此級數(shù)為等比級數(shù)，公比 1ln2ln2 2ln ???? eq ， ∵ 1 ?q ，∴級數(shù)收斂。 ∴ 22ln122ln??S ＝2ln22ln?。 例 3 ．判別級數(shù) ????332222ln22ln22ln的斂散性， 若收斂，求其和。 例 4 ．證明調(diào)和級數(shù) ?? ?????n14131211 發(fā)散。 ……… 證：考慮該級數(shù)部分和數(shù)列 ? ? ? ?kSS n 2的一個子列 ，有 ,21112 ??S,2214141211413121122 ??????????S????????? 81716151413121132S,231818181814141211 ?????????),( 21 2 ???? NkkS k當(dāng) ??k 時， ???21k，即 kSk 2l i m??不存在。 ∴ nn S??lim 也不存在，故 調(diào)和級數(shù)發(fā)散 。 則為實數(shù)，（設(shè) ,),21 ???? nibac nnn都收斂，實數(shù)項級數(shù)收斂復(fù)數(shù)項級數(shù) ??????????111 nnnnnn bacbbaaibacnnnnnn ????? ????????? 111，且 定理 1 ）是收斂還是發(fā)散？級數(shù) ????11(1n nin例 5 解 ),11(1(1121?????????nn ninnin ）21111nnnn??????而 發(fā)散， 收斂）發(fā)散級數(shù) ?????11(1n nin兩個收斂級數(shù)逐項相加（或相減）所得的級數(shù)收斂 。 性質(zhì) 1 ( 1) 若級數(shù) ??? 1nnu收斂， S 其和為 ，則對 k 任意常數(shù) ， 級數(shù) ??? 1nnku 也收斂， kS 其和為 。 乘以非零常數(shù)不改變級數(shù)的斂散性 。 性質(zhì) 1 ( 2) 若級數(shù) ?
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