數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文有限集的類方程與有限群的互補定理（劉思東）-文庫吧
2025-01-03 15:07 本頁面
【正文】 的類方程：定理1 若是有限集合，:當且僅當存在某一整數(shù)，使得，則（Ⅰ） 是的一個等價關系；（Ⅱ） ，這里，而表示關于的等價劃分的代表元集，.運用這個類方程我們獲得了近期文獻中一系列重要命題及其推廣.在本文第二部分中，根據(jù)以上結果，（交換）群，而我們的推廣適用于任何非交換奇數(shù)階群，所用方法及其結果都是新穎的.其主要結果是如下的互補定理:定理2 設為奇數(shù)階群，且滿足，令，則，，當滿足交換律時，與是互補子群.最后，在本文第三部分中，給出了有限集的類方程的一些應用，特別是得到了著名的Frobenius定理的一個新的證明，我們的方法比文獻[1,2]中方法更為簡單，此外把數(shù)論中關于素數(shù)的一個判定定理進行了推廣.在本文中， 表示群中元素的階，表示群的自同構群，表示是的子群，表示集合的變換群，用表示中元素的個數(shù)，稱之為的階，表示集合的恒等映射.對映射而言，記號定義為，特別的為恒等變換.1 有限集的類方程定義1[1] 設是集合到的映射，稱為的不動點集，其中滿足的元素稱為的不動點.下面我們建立有限集的類方程：定理1 若是有限集合，:當且僅當存在某一整數(shù)，使得，則（Ⅰ） 是的一個等價關系；（Ⅱ） ， (2)這里，表示等價劃分的代表元集，.證明 （Ⅰ）首先驗證是的一個等價關系：由，得，即滿足反身性；若，即存在某一整數(shù)，使，由于是到的一個雙射，故存在，所以，即得，故滿足對稱性；若，即存在整數(shù)，使，則得，即滿足傳遞性.綜上所證，知是一個等價關系.（Ⅱ）由于是的一個等價關系，考慮集合關于的等價劃分，易知集合是包含的一個等價類，并且為的不動點，即記關于的等價劃分的代表元集為，則.定理1得證.推論1[1] 設是個有限集合，是個素數(shù)，是到的映射，滿足，即是上的恒等映射，則.其中是的不動點集，即.證明 不妨設，由于，故是可逆映射，從而是雙射，由定理1得，由于，則作為集合的變換群中元素，其階是的一個因數(shù)，又，故，于是.對
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