數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文有限集的類方程與有限群的互補(bǔ)定理（劉思東）-文庫吧
2025-01-03 15:07 本頁面
【正文】 的類方程：定理1 若是有限集合，:當(dāng)且僅當(dāng)存在某一整數(shù)，使得，則（Ⅰ） 是的一個(gè)等價(jià)關(guān)系；（Ⅱ） ，這里，而表示關(guān)于的等價(jià)劃分的代表元集，.運(yùn)用這個(gè)類方程我們獲得了近期文獻(xiàn)中一系列重要命題及其推廣.在本文第二部分中，根據(jù)以上結(jié)果，（交換）群，而我們的推廣適用于任何非交換奇數(shù)階群，所用方法及其結(jié)果都是新穎的.其主要結(jié)果是如下的互補(bǔ)定理:定理2 設(shè)為奇數(shù)階群，且滿足，令，則，，當(dāng)滿足交換律時(shí)，與是互補(bǔ)子群.最后，在本文第三部分中，給出了有限集的類方程的一些應(yīng)用，特別是得到了著名的Frobenius定理的一個(gè)新的證明，我們的方法比文獻(xiàn)[1,2]中方法更為簡(jiǎn)單，此外把數(shù)論中關(guān)于素?cái)?shù)的一個(gè)判定定理進(jìn)行了推廣.在本文中， 表示群中元素的階，表示群的自同構(gòu)群，表示是的子群，表示集合的變換群，用表示中元素的個(gè)數(shù)，稱之為的階，表示集合的恒等映射.對(duì)映射而言，記號(hào)定義為，特別的為恒等變換.1 有限集的類方程定義1[1] 設(shè)是集合到的映射，稱為的不動(dòng)點(diǎn)集，其中滿足的元素稱為的不動(dòng)點(diǎn).下面我們建立有限集的類方程：定理1 若是有限集合，:當(dāng)且僅當(dāng)存在某一整數(shù)，使得，則（Ⅰ） 是的一個(gè)等價(jià)關(guān)系；（Ⅱ） ， (2)這里，表示等價(jià)劃分的代表元集，.證明 （Ⅰ）首先驗(yàn)證是的一個(gè)等價(jià)關(guān)系：由，得，即滿足反身性；若，即存在某一整數(shù)，使，由于是到的一個(gè)雙射，故存在，所以，即得，故滿足對(duì)稱性；若，即存在整數(shù)，使，則得，即滿足傳遞性.綜上所證，知是一個(gè)等價(jià)關(guān)系.（Ⅱ）由于是的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，考慮集合關(guān)于的等價(jià)劃分，易知集合是包含的一個(gè)等價(jià)類，并且為的不動(dòng)點(diǎn)，即記關(guān)于的等價(jià)劃分的代表元集為，則.定理1得證.推論1[1] 設(shè)是個(gè)有限集合，是個(gè)素?cái)?shù)，是到的映射，滿足，即是上的恒等映射，則.其中是的不動(dòng)點(diǎn)集，即.證明 不妨設(shè)，由于，故是可逆映射，從而是雙射，由定理1得，由于，則作為集合的變換群中元素，其階是的一個(gè)因數(shù)，又，故，于是.對(duì)
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