用矩陣的初等行變換求n個整數(shù)的最大公因子數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文-文庫吧
2024-12-29 14:11 本頁面
【正文】 公因子就可以斷定方程是否有解. 而在求最大公因子時，通常的方法都是利用提取公因數(shù)法、分解質(zhì)因數(shù)法、輾轉(zhuǎn)相除法等[3]，這些方法的缺點是計算量過大，（N）個整數(shù)的最大公因子時，需要進行N1次的運算[4]. 文獻[1]、[4]、[6]、[10]中將整數(shù)的最大公因子擴充到多項式的最大公因式，而且求最大公因式的方法甚多，如提取公因數(shù)法、分解質(zhì)因數(shù)法、國內(nèi)外的研究還出現(xiàn)了用計算機語言編寫出程序，只需在電腦上輸入N個多項式（整數(shù)），就可以求出最大公因式（最大公因子）.還有研究將整數(shù)的最大公因子擴充到矩陣的最大公因子（左最大公因子和右最大公因子），但這些求最大公因子的方法都具有一定的局限性，并且計算量過大，步驟繁瑣，學生學習時容易出錯，從而不易有效求出最終結(jié)果. 本文利用矩陣的初等行變換求N個數(shù)的最大公因子，從而大大地改進了輾轉(zhuǎn)相除法等方法所表現(xiàn)出來的缺點.2 預(yù)備知識求最大公因子都是在整數(shù)范圍內(nèi)進行的，這里明確指出，下文所涉及到的數(shù)都是指整數(shù). 此外，還需要給出以下定義、引理等基礎(chǔ)知識.定義1 設(shè)是n個整數(shù)，如果那么就稱為的公因子．定義2[5] 設(shè)是n個不全為0的整數(shù)，那么的公因子中的最大的稱為的最大公因子，記作．當=1時，用表示的因子中最大的．定義3 設(shè)矩陣A是 mn矩陣，若A中的元素均為整數(shù)，則稱A為mn整數(shù)矩陣.定義4[6] 主對角線上的元素全為1，其它元素都為0的矩陣.定義5[7] 稱下列變換為整數(shù)矩陣的初等行變換.1. 互換整數(shù)矩陣的第行第行，記作；2. 用整數(shù)k乘以矩陣的第行，記作；3. 把整數(shù)矩陣的第行乘以K以后加到第行，記作. 注：定義5中的K只能是中某一數(shù)的整數(shù)倍，目的是保證變換前后都是整數(shù)矩陣，且第一行元素的最大公因子也保持不變.或者用通俗的語言定義就是：矩陣的初等行變換是指對矩陣進行下列三種變換：1. 互換矩陣兩行的位置（對換變換）；2. 用非0常數(shù)遍乘矩陣的某一行（倍乘變換）；3. 將矩陣的某一行遍乘一個常數(shù)k加到另一行（倍加變換）上.引理1[8] (最大公因子的性質(zhì)定理)若是n個不全為0的數(shù)，則1.（）=（）；2.（）=（）；3.（）=. 由引理可知，要求N個整數(shù)的最大公因子，可以轉(zhuǎn)化為求N個非負整數(shù)的最大公因子；在求N個整數(shù)的最大公因子時，這N個整數(shù)的位置可以任意交換，而它們的最大公因子保持不變；求最大公因子時，把其中一個數(shù)的S倍加到其它整數(shù)上，最大公因子也
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