導(dǎo)數(shù)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用畢業(yè)論文-文庫(kù)吧
2025-03-23 02:27 本頁(yè)面
【正文】 ) 比較在極值點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值，最大的是最大值，最小的是最小值。 例4 求函數(shù)的極大值、極小值? 解：的導(dǎo)數(shù)， 令解得， 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減， 因此當(dāng)時(shí)函數(shù)有極大值20，當(dāng)時(shí)函數(shù)有極小值9。 例5 求函數(shù)在區(qū)間的最大值與最小值。 解：， 令，則得極值點(diǎn)， 又；， 的最大值為3，最小值為0 。 例6 求函數(shù)在上的最大值和最小值。分析:先求出的極值點(diǎn)，然后比較極值點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，即可得該函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值。 解:由于，則當(dāng)或時(shí)，所以，為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，所以為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間． 又因?yàn)椋?，所以，?dāng) 時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值。求函數(shù)的值域是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，方法因題而異，不易掌握．但是，如果采用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解，則較為容易，且一般問(wèn)題都可行。 例7 求函數(shù)的值域。分析:先確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)定義域判斷的正負(fù)，進(jìn)而求出函數(shù)的值域。解:顯然，定義域?yàn)椋捎冢? 又，可見當(dāng)時(shí)，所以在上是增函數(shù)，而，所以函數(shù)的值域是。 3 研究導(dǎo)數(shù)在判別方程根中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的問(wèn)題，不但使解題過(guò)程變得簡(jiǎn)捷，而且還可以提高同學(xué)們對(duì)新題型的適應(yīng)能力。例8 關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（ ?。〢、（∞，1] B、（1，5） C、（1，5） D、（∞，1]∪[5，+∞）分析：首先設(shè)．求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再分析可知圖象的大致形狀及走向，可知函數(shù)圖象的變化情況，可知方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求得實(shí)數(shù)的范圍。解：原方程化為：，設(shè)， 令，解得：或， ，解得：，∴）在取極大值4，在時(shí)取極小值2，根據(jù)的大致圖象的變化情況，有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)， 2＜＜4，解得a的取值范圍是1＜＜5，故選B。例9 設(shè)函數(shù)f(x)=?+6x?a⑴對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x ,(x)≥m恒成立,求m的最大值。⑵若方程f(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)根,求a的取值范圍。 解: ⑴ 略 ⑵(x)=3?9x+6=3(x?1)(x?2) ， 因?yàn)楫?dāng)x1時(shí),(x)0 。當(dāng)1x2時(shí) ,(x)0 。當(dāng)x2時(shí),(x)0， 所以當(dāng)x=1時(shí), f(x)取得極大值,f(1)= ? a 。當(dāng)x=2時(shí)f(x)取得極小值 f(2)=2?a， y=f(x)草圖如下: y y1 2 x 1 2 x 圖1 圖2要使f(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)根,必須且只需f(x)取得極小值 f(2)0或f(x) ，取得極大值f(1)0 解得,a或a2 。 變式引申①若方程f(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根,求a的取值范圍y=f(x)草圖如下: y y1 2 x 1 2 x要使f(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根,必須且只需f(x)取得極大值 f(1)=0或f(x)取得極小值 f(2)=0 解得a=2， 變式引申②要使f(x)=0有且僅有三個(gè)實(shí)根, 求a的取值范圍 y=f(x)草圖如下 y 0 1 2 x要使f(x)=0有且僅有三個(gè)實(shí)根,必須且只需解得2
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