導(dǎo)數(shù)在初等數(shù)學中的應(yīng)用畢業(yè)論文-文庫吧
2025-03-23 02:27 本頁面
【正文】 ) 比較在極值點和端點的函數(shù)值，最大的是最大值，最小的是最小值。 例4 求函數(shù)的極大值、極小值? 解：的導(dǎo)數(shù)， 令解得， 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減， 因此當時函數(shù)有極大值20，當時函數(shù)有極小值9。 例5 求函數(shù)在區(qū)間的最大值與最小值。 解：， 令，則得極值點， 又；， 的最大值為3，最小值為0 。 例6 求函數(shù)在上的最大值和最小值。分析:先求出的極值點，然后比較極值點與區(qū)間端點的函數(shù)值，即可得該函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值。 解:由于，則當或時，所以，為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；當時，所以為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間． 又因為，，所以，當 時，取得最小值；當時，取得最大值。求函數(shù)的值域是中學數(shù)學中的重點，也是難點，方法因題而異，不易掌握．但是，如果采用導(dǎo)數(shù)來求解，則較為容易，且一般問題都可行。 例7 求函數(shù)的值域。分析:先確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)定義域判斷的正負，進而求出函數(shù)的值域。解:顯然，定義域為，由于， 又，可見當時，所以在上是增函數(shù)，而，所以函數(shù)的值域是。 3 研究導(dǎo)數(shù)在判別方程根中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的問題，不但使解題過程變得簡捷，而且還可以提高同學們對新題型的適應(yīng)能力。例8 關(guān)于的方程有三個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）A、（∞，1] B、（1，5） C、（1，5） D、（∞，1]∪[5，+∞）分析：首先設(shè)．求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再分析可知圖象的大致形狀及走向，可知函數(shù)圖象的變化情況，可知方程有三個不同的實根，求得實數(shù)的范圍。解：原方程化為：，設(shè)， 令，解得：或， ，解得：，∴）在取極大值4，在時取極小值2，根據(jù)的大致圖象的變化情況，有三個不同的實數(shù)解時， 2＜＜4，解得a的取值范圍是1＜＜5，故選B。例9 設(shè)函數(shù)f(x)=?+6x?a⑴對于任意的實數(shù)x ,(x)≥m恒成立,求m的最大值。⑵若方程f(x)=0有且僅有一個實根,求a的取值范圍。 解: ⑴ 略 ⑵(x)=3?9x+6=3(x?1)(x?2) ， 因為當x1時,(x)0 。當1x2時 ,(x)0 。當x2時,(x)0， 所以當x=1時, f(x)取得極大值,f(1)= ? a 。當x=2時f(x)取得極小值 f(2)=2?a， y=f(x)草圖如下: y y1 2 x 1 2 x 圖1 圖2要使f(x)=0有且僅有一個實根,必須且只需f(x)取得極小值 f(2)0或f(x) ，取得極大值f(1)0 解得,a或a2 。 變式引申①若方程f(x)=0有且僅有兩個實根,求a的取值范圍y=f(x)草圖如下: y y1 2 x 1 2 x要使f(x)=0有且僅有兩個實根,必須且只需f(x)取得極大值 f(1)=0或f(x)取得極小值 f(2)=0 解得a=2， 變式引申②要使f(x)=0有且僅有三個實根, 求a的取值范圍 y=f(x)草圖如下 y 0 1 2 x要使f(x)=0有且僅有三個實根,必須且只需解得2
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