[研究生入學(xué)考試]6-03 定積分的計(jì)算方法-文庫(kù)吧
2024-11-23 01:24 本頁(yè)面
【正文】 (注 : 這里由于設(shè)有把變換式 u=?(x)明顯寫出來 , 積分變量仍然是 x, 所以不必改變上下限 . 例 1 計(jì)算 .c os1s i n20 2???dxxx解 ????????220 20 2 c os1)( c osc os1s i nxxddxxx20|)a r c t a n ( c o s??? x )1a r c t a n0( ???.4??12/45 2022年 1月 4日星期二 例 2 計(jì)算 解 .)ln1(ln43? ?e e xxx dx原式 ? ??43)ln1(ln)( l nee xxxd? ??43)ln1(ln)( l nee xxxd???432)ln(1ln2 ee xxd? ? 43)lna r c si n(2 e ex? .6??13/45 2022年 1月 4日星期二 例 3 計(jì)算 解 .s i ns i n0 53? ? ? dxxxxxxf 53 si nsi n)( ??? ? ? 23si nc o s xx?? ? ?? 0 53 s i ns i n dxxx ? ?? ?? 0 23s i nc o s dxxx? ?? ?? 20 23s i nc o s dxxx ? ?? ???223s i nc o s dxx? ?? ?? 20 23 s i ns i n xdx ? ?? ???223s i ns i n xdx? ? 2025s i n52?? x ? ????225s i n52 x.54?14/45 2022年 1月 4日星期二 、第二換元法 ——變量代換法 定理 2 設(shè) f(x)在 [a,b]上連續(xù) , x=?(t)滿足條件 : ⑴ ?(?)=a, ?(?)=b。 ⑵ ?(t)在 [?,?]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且值域 R??[a,b],則有 dtttfdxxfba ?? ?? ? ??? )()]([)(證 設(shè) F(x)是 f(x)的一原函數(shù)， 另一方面 , 在 [a,b]上 , 把 t的復(fù)合函數(shù) F[?(t)]對(duì) t求導(dǎo)得 ),()()( aFbFdxxfba ???dtdxdxdFtFdtd ??? )]([ )()( txf ? ?? ),()]([ ttf ? ???)]([)]([)()]([ ???????? FFdtttf ???? ? ),()( aFbF ??.)()()()()]([ dxxfaFbFdtttf ba?????? ??? ??15/45 2022年 1月 4日星期二 ⑴ 換元必須換限 、第二換元法兩個(gè)要點(diǎn) 用 x=?(t)把變量 x換成新變量 t時(shí)，積分限也相應(yīng)的改變 . ⑵ 換元無需還原 求出設(shè) f[?(t)]?‘(t)的一原函數(shù) F[?(t)]后 , 不必象計(jì)算不定積分那樣再要把 F[?(t)]變換成原變量x的函數(shù)，而只要把新變量 t的上、下限分別代入 F[?(t)]然后相減就行了 。這也是比不定積分相對(duì)較優(yōu)的一個(gè)特點(diǎn) （優(yōu)點(diǎn)） 。 16/45 2022年 1月 4日星期二 例 4 計(jì)算 .11130? ??dxx解： ,1 tx ??令0?x且 ,1?? t 3?x ,2?? t? ??30 111 dxx ? ??21 12 dttttd tdx 2?12 ?? tx則? ? ??? 21 1 112 dttt ? ??? 21 )1 11(2 dtt21)]1l n ([2 tt ??? )2ln1(2)3ln2(2 ????3ln22ln22 ???17/45 2022年 1月 4日星期二 例 5 計(jì)算 .12ln0? ? dxe x解： ,1 te x ??令，時(shí)時(shí)且 12ln,00 ???? txtx? ?2ln0 1 dxe x ? ?? 10 212 dttttdtt tdx 122 ??),1ln ( 2 ?? tx則? ? ???10 221112 dttt ????10 2)111(2 dtt10]a r c t a n[2 tt ?? )00(2)41(2 ???? ?22 ???? ??10 2212 dttt18/45 2022年 1月 4日星期二 例 6 計(jì)算 .1131 2? ?dxxx解： ,t a n tx ?令，時(shí)時(shí)且 33,41 ?? ???? txtx? ?31 211 dxxx? ?? 342s e ctans e c?? dttttt d tdx 2s e c?則?? 34c s c?? t dt ? ?34c otc s cln??tt ??)122l n ()3332l n ( ???? )12l n (3ln ?????? 34 s i n1?? dtt19/45 2022年 1月 4日星期二 例 7 當(dāng) )( xf 在 ],[ aa? 上連續(xù)，且有 ① )( xf
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