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2025-09-08 09:43 本頁面
【正文】 德各自獨立地解決了問題的后半部分，即對于任意代數(shù)數(shù) α ≠0 ， 1，和任意代數(shù)無理數(shù) β證明了 α ， β 的超越性。 第八章 著名的數(shù)學猜想 (8).素數(shù)問題 。包括黎曼猜想、 哥德巴赫猜想 及孿生素數(shù)問題等。一般情況下的黎曼猜想仍待解決。哥德巴赫猜想的最佳結果屬于 陳景潤 （ 1966），但離最解決尚有距離。目前孿生素數(shù)問題的最佳結果也屬于陳景潤。 (9)．在任意數(shù)域中證明最一般的互反律 。該問題已由日本數(shù)學家高木貞治（ 1921）和德國數(shù)學家 （ 1927）解決。 (10)．丟番圖方程的可解性 。 1970年，蘇聯(lián)的馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的算法不存在。 (11)．系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型。 （ 1929）和西格爾（ 1936，1951）在這個問題上獲得重要結果。 (12)．將 阿貝爾 域上的克羅克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去。這一問題只有一些零星的結果，離徹底解決還相差很遠。 (13)．不可能用只有兩個變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程。蘇聯(lián)數(shù)學家阿諾解決了連續(xù)函數(shù)的情形（ 1957），維士斯金又把它推廣到了連續(xù)可微函數(shù)的情形（ 1964）。但如果要求是解析函數(shù)，則問題尚未解決。 (14)．證明某類完備函數(shù)系的有限性。 1958年，日本數(shù)學家永田雅宜給出了反例。 (15)．舒伯特計數(shù)演算的嚴格基礎。迄今仍未確立。 第八章 著名的數(shù)學猜想 (16)．代數(shù)曲線和代數(shù)曲線面的拓撲問題。蘇聯(lián)的彼得羅夫斯基曾宣稱證明了 n=2時極限環(huán)的個數(shù)不超過 3，但這一結論是錯誤的，已由中國數(shù)學家舉出反例（ 1979）。 (17)．半正定形式的平方和表示。 1927年阿廷證明這是對的。 (18)．用全等多面體構造空間。由德國數(shù)學家比勃馬赫（ 1910）、莢因哈特（ 1928）作出部分解決。 (19)．正則變分問題的解是否一定解析。伯恩斯坦和彼得羅夫斯基等得出了一些結果。 (20)．一般邊值問題。這一問題進展十分迅速，已成為一個很大的數(shù)學分支。目前還在繼續(xù)研究。 (21)．具有給定單值群的線性微分方程解的存在性證明。已由希爾伯特本人（ 1905）和羅爾（ 1957）的工作解決。 (22)．由自守函數(shù)構成的解析函數(shù)的單值化。 1907年克伯獲重要突破，其他方面尚未解決。 (23)．變分法的進一步發(fā)展出。 20世紀以來變分法有了很大的發(fā)展。 這 23問題涉及現(xiàn)代數(shù)學大部分重要領域，推動了 20世紀數(shù)學的發(fā)展。 第八章 著名的數(shù)學猜想 著名的數(shù)學猜想 近代意義的數(shù)論研究是從費爾馬開始的。他提出的一堆定理（猜想），讓數(shù)學家們忙碌了好幾個世紀，如費馬小定理、費馬大定理等等。事實上，18世紀的數(shù)論研究都和這些定理有關。不過， 18世紀的其他數(shù)學家們也提出了自己的猜想，著名的有： 德國數(shù)學家哥德巴赫（公元 1690年至公元 1764年）猜想（ 1742年）。 英國數(shù)學家華林（公元 1734年至公元 1798年）猜想（ 1770年）。 其中，華林猜想 1909年由希爾伯特首次證明，哥德巴赫猜想至今沒有徹底解決。 18世紀的數(shù)論還有兩個深刻的工作： 1737年，歐拉導出了恒等式： 其中 s1， n取遍所有的正整數(shù)， p取遍所有的素數(shù)。 歐拉利用這一恒等式證明了：素數(shù)的個數(shù)是無窮的。這個恒等式是解析數(shù)論的開端。 1743年，歐拉發(fā)現(xiàn)了二次互反律，從而開啟了數(shù)論的一個新領域 代數(shù)數(shù)論。 ?? ???? p sn s pn)]11/(1[11第八章 著名的數(shù)學猜想 費爾馬猜想 X2+Y2=Z2的解： X=3, Y=4, Z=5 Z=m2+n2 , X= m2n2 Y=2mn, m,n是任一整數(shù) ， nm。 X3+Y3=Z3 是否有正整數(shù)解 ？ X4+Y4=Z4 是否有正整數(shù)解 ？ Xn+Yn=Zn , n2是否有正整數(shù)解 ？ 第八章 著名的數(shù)學猜想
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