【正文】 ?? = )2s in2( c o s2s in21s inxnixnxxn?? ∴ xnxxnxxx 2s i n2s i n21s i ns i n2s i ns i n????? ? 第 4 章 解析函數(shù)的積分理論 一、單項(xiàng)選擇題 1. ??c dz2 ( D ) , c 為起點(diǎn)在 0 , 終點(diǎn)在 1+i 的直線段 . (A) 0 (B) 1 (C) 2i (D) 2(1+i) 2. ?? ?1 )(sinz Azdz . (A) 0 (B) 10 i? (C) i (D) 123?i 3. ?? ?5 )(5z Bdzz (A) i (B) 10 i? (C) 10i (D) 0 4. ?? ?3 2)23(sin2z zz=( A ). (A) 23cos4 ?i? (B) i?4 (C) i?2 (D) i?2? 二、填空題 1. 若 )(zf 與 )(xg 沿曲線 c 可積，則 ? ?? ??? c cc dzzgdzzfdzzgzf )()()]()([ . 2. 設(shè) L 為曲線 c 的長(zhǎng)度 , 若 f(z)沿 c 可積 , 且在 c 上滿(mǎn)足 Mzf ?)( ,則 MLdzzfc ?? )( . 3. ? ?1 77i zdz 4. eezdzi i ??? ?0 1c os2 三、計(jì)算題 ?c zdzIm ,其中 c為自 0 到 2+i 的直線段 . 解 : c 的方程為 : )10()()( ????? ttiztzz 其次由 titzzyix )2()( ????? 得 tz?Im dtidttzdz )2()( ???? ∴ ? ? ??c tdtizdz 10 )2(Im = ?? 10)2( tdti = i211? 2. 計(jì)算積分 ?? ???1 2 12102sinzz dzzz ze . 解 : ?? ???1 2 12102sinzz dzzz ze = ?? ???1 )3)(2(2 sinzz dzzz ze 作區(qū)域 D: 1?z 積分途徑在 D內(nèi)被積函數(shù)的奇點(diǎn) Z=2與 Z=3 均不在 D內(nèi) ,所以被積函數(shù)在 D 內(nèi)解析 . 由定理 : ?? ???1 2 12102 sinz z dzzz ze =0 3. 計(jì)算積分 ? ???c zcdzzz 41:,)1)(1( 1 32 . 解 : ? ??c dzzz )1)(1( 1 32 ∵ 奇點(diǎn) z=1和 z=1 不在區(qū)域 D, 1?z 內(nèi) 013 ??z 的三個(gè)根 2,1,0,32 ?? kez ikk ? 也不在 D內(nèi) ∴ 由定理 得 ? ??c dzzz )1)(1( 1 32 =0 4. 計(jì)算積分 ?czdzze5 , 5: ?zc . 解 : 由定理 得 0)4(5 ])[(!42 ??? zzcz eidzze ? ? 12i? 四、證明題 1. 計(jì)算積分 ?? ?1 21z dzz ，并由此證明 0c os45 c os210 ???? ??? dn . 證明：∵ 21)( ?? zzf 在圓域 |z|≤ 1 內(nèi)解析 ∴ ?? ?1 21z dzz = ?? ??1 021z dzz 另一方面 ,在圓 |z|= )2)(s in( c o s1 ???? ??? zi ∴ ?? ?1 21z dzz =?? ????? ???? )s i n(c os2s i nc os 1 id(實(shí)部和虛部為 0) =? ?? ? ???? ??????? ???? ?? ????? ??????? ?? dii iicdi ]s i n)c os2][(s i n)c os2[( ]s i n)c os2[(c oss i n2s i nc os c oss i n = ???? ???? di?? ??? ??? s inc osc os44 )1c os2(s in2 = dzi?? ? ????? ? ?? c os45 )c os21(s in2 = ?????? ???? did ?? ?? ????? c os45 c os21c os45 s i n2 ∵ ?? ?1 21z dzz =0 ∴ 0c os45 sin2 ????? ????? d ∴ 0c os45 c os21 ????? ????? d 而 ??cos45 cos21?? 為偶函數(shù) ∴ 0= ????? d?? ?? cos45 cos21 = ???? d? ??0 cos45 cos212 ∴ 0c os45 c os210 ???? ???? d 復(fù)變函數(shù)課程作業(yè)參考解答 3 第 5 章 解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示 一、單項(xiàng)選擇題 1. 冪級(jí)數(shù) ???0n nz 的收斂半徑等于 ( B ) ( A ) 0 (B) 1 ( C ) 2 (D) 3 2. 點(diǎn) z=1是 f(z)= 5105 2 ?? zz r ( B )級(jí)零點(diǎn) . ( A ) 1 (B)2 (C)3 (D)5 3. 級(jí)數(shù) ???0n nz 的收斂圓為 ( D ). (A) | z1| 3 (B) |z|3 (C) |z1| 1 (D) |z| 1 4. 設(shè) f(z)在點(diǎn) a 解析 , 點(diǎn) b 是 f(z)的奇點(diǎn)中離點(diǎn) a 最近的奇點(diǎn) ,于是 ,使f(z)=??? ?0 )(n nn azc 成立的收斂圓的半徑等于 ( C ). (A) a+b+1 (B) ba+1 (C) |ab| (D) |a+b| 二、填空題 1+z+ ??????? !!22 nzz n 的收斂圓 R=+? ．即整個(gè)復(fù)平面 ． f(z)= sinzk? (k 為常數(shù) ),則 z=m? (m=0, 2,1?? …… )為 f(z)的 1 級(jí)零點(diǎn) . ???0 !n nzn 的收斂半徑等于 0 . =0是 f(z)=ez1的 1 級(jí)零點(diǎn) . 三、計(jì)算題 f(z)= ? ?? ?? ?121 ??? zz 在點(diǎn) z=0 展開(kāi)冪級(jí)數(shù) . 解 : f(z)= ? ?? ? 21161312131113121111110 zzzzzzzznn??????????????? ?????? ???? =??? ??????????????? ?????????? ????000 261312116131nnnnnn zzzz 1?z f(z)=(1z)2在點(diǎn) z=0展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) . 解： ? ? ? ?? ?????? ?? 12 11f( z ) zz? 而 (1z)1= ?????? 01 1 n nzz ? ?? ? ?? ??? ?????? ???????? 0 1012 ))((1)1( n nn n nzzzz =???? ?0 )1(n nzn 1?z 3．將函數(shù) f(z)=(z+2)1在點(diǎn) z=1展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) . 解： f(z)=(z+2)1= ? ? 3 )1(11)1(3 113 12 1 ????????????? zzzz = ?? ?????? ????????? ??? 00 3 )1()1(313 )1(31 n nnnnn zz 31??z 4．將函數(shù) f(z)=ez在點(diǎn) z=1展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) . 解： f(z)=ez f(n)=ez ? ? ef n ?? 1)( nnnz znfe )1(!f(z ) 0)1()( ????? ???? ＝ ???? ?0 )1(!nnzne 四、證明題 1．證明 :1ei2z=2isinzeiz 證： eiz=cosz+isinz ?eiz=cosisinz ?eizeiz=2isinz ?2isinz=( eizeiz) = eizeiz ?2isinz eiz =( eiz eiz) eiz =e0 e2iz=1 e2iz 2．試用解析函數(shù)的唯一性定理證明等式 : cos2z= cos2zsin2z 證 ① f1(z)=cos2z,則 f1(z)復(fù)平面 G解析 設(shè) f2(z)＝ cosz－ sin2ｚ，則 f2(z)也在整個(gè)復(fù)平面 G解析 ②取 E=K 為實(shí)數(shù)軸 ,則 E 在 G 內(nèi)有聚點(diǎn) . ③當(dāng) E 為實(shí)數(shù)時(shí) ,知 cos2z=cos2zsin2z,即 f1(z)= f2(z) ?由解析函數(shù)唯一性定理 ,由以上三條知 f1(z)= f2(z) GZ? 成立 即 cos2z= cos2zsin2z GZ? 第 6 章 解析函數(shù)的羅朗級(jí)數(shù)表示 一、單項(xiàng)選擇題 1．函數(shù) f(z)= 2312 ?? zz 在點(diǎn) z=2的去心鄰域 ( D ) 內(nèi)可展成羅朗級(jí)數(shù) . (A) 0 3?z (B) 0 51??z (C) 1 31??z (D) 0 12??Z 2．設(shè)點(diǎn) ? 為 f(z)的孤立奇點(diǎn)，若 ??z zIimf )( =c? ??? ，則點(diǎn) ? 為 f(z)的 ( C ). (A) 本性奇點(diǎn) (B) 極點(diǎn) (C) 可去奇點(diǎn) (D) 解析點(diǎn) 3．若點(diǎn) ? 為函數(shù) f(z)的孤立奇點(diǎn)，則點(diǎn) ? 為 f(z)的極點(diǎn)的充分必要條件是 ( D ). (A) ??zIimf f(z)=c( ?? ) (B) ??zIim f(z)=? (C) ??zIim f(z)=c( ?? ) (D) ??zIim f(z)=? 4．若點(diǎn) ? 為函數(shù) f(z)的孤立奇點(diǎn)，則點(diǎn) ? 為 f(z)的本性奇點(diǎn)的充要條件是（ B ） . (A) ??zIim f(z)= c( ?? ) (B) ??zIim f(z)不存在 (C) ??zIim f(z)=c( ?? ) (D) ??zIim f(Z)=? 二、填空題 1．設(shè) ?????? ?n nn zc )( ? 為函數(shù) f(z)在點(diǎn) ? 的羅朗級(jí)數(shù) ,稱(chēng) nn n azc )(1 ?????? 為該級(jí)數(shù)的主要部分 . ? 為函數(shù) f(z)的奇點(diǎn) ,若 f(z)在點(diǎn) ? 的某個(gè) 某個(gè)去心鄰域 ????z 內(nèi)解析 ,則稱(chēng)點(diǎn) ? 為 f(z)的孤立奇點(diǎn) . f(z)= ze?14 ，則點(diǎn) z=0 為 f(z)的 0 級(jí)極點(diǎn) . 不是極點(diǎn) ,若 f(z)= ze?14 則z=0為 f(z)的一個(gè)極點(diǎn) . f(z)=(sin21 )1,則點(diǎn) z＝ 0 為 f(z)非孤立 奇點(diǎn) . 三、計(jì)算題 1．將函數(shù) f(z)=(z2)1在點(diǎn) z=0的去心鄰域展成羅朗級(jí)數(shù) . 解 : f(z)= 21?z = z?21 = nnnnnnzzz2)1(21)2(212112100 ?????????????? 2．將函數(shù) f(z)＝ 12?zz 在點(diǎn)ｚ＝１的去心鄰域展成羅朗級(jí)數(shù) . 解 : f(z)= 11121111 1)1)(1(1 111 22 ?????????? ????? ???? zzzzz zzzzz z 3．試求函數(shù) f(z)=z3 sinz3的有限奇點(diǎn)