【正文】 電大 復(fù)變函數(shù)習(xí)題總匯與參考答案 第 1 章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 一、單項選擇題 若 Z1=（ a, b） ,Z2=(c, d),則 Z1 Z2=（ C） A （ ac+bd, a） B (acbd, b) C （ acbd, ac+bd） D (ac+bd, bcad) 若 R0，則 N（∞， R） ={ z：（ D） } A |z|R B 0|z|R C R|z|+∞ D |z|R 若 z=x+iy, 則 y=(D) A B C D 若 A= ，則 |A|=（ C） A 3 B 0 C 1 D 2 二、填空題 若 z=x+iy, w=z2=u+iv, 則 v=（ 2xy ） 復(fù)平面上滿足 Rez=4的點集為（ {z=x+iy|x=4} ） （ 設(shè) E 為點集，若它是開集，且是連通的，則 E ）稱為區(qū)域。 設(shè) z0=x0+iy0, zn=xn+iyn(n=1,2,…… )，則 {zn}以 zo 為極限的充分必要條件是 xn=x0，且 yn=y0。 三、計算題 求復(fù)數(shù) 1i的實部、虛部、模與主輻角。 解： Re(1i)=1 Im(1i)=1 |1i|= 寫出復(fù)數(shù) i的三角式。 2zz?2zz? izz2? izz2?)1)(4( )1)(4( ii ii ?? ?????nlim ???nlim?? 45|11|a r c t a n),1(12)1()1(??????????????ia r yi在第三象限??? 23s in23c os ii ??? 解： 寫出復(fù)數(shù) 的代數(shù)式。 解： 求根式 的值。 解： 四、證明題 證明若 ，則 a2+b2=1。 證明： 而 證明： iiiiiiiiiiiiiii212312121)1()1)(1()1(11??????????????????iiii ???113 27?)35s i n35( c o s33)s i n( c o s33)3s i n3( c o s3327)27a r g (327)34(2)32(1303????????????ieWieWieWziii??????????????????的三次根的值為?biayix yix ????biayix yix ????? |||| yix yixbia ?????22|| babia ???11122222222?????????????babayxyxyixyix)R e (2 212221221 zzzzzz ????? 證明： ???????????????????????????????????????????)R e (2)(2)()())(())(())(())((2112212211122122211221221121212121221zzbyaxiaybxbyaxiaybxbyaxbiayixyixbiazzzzyixzyixzbiazbiazzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz則則設(shè))R e (2 212221221 zzzzzz ????? 第 2 章 解析函數(shù) 一、單項選擇題 1．若 f(z)= x2y2+2xyi,則 若 f(z)=u(x, y)+iv(x,y), 則柯西 — 黎曼條件為（ D） A B C D 若 f(z)=z+1, 則 f(z)在復(fù)平面上（ C） A 僅在點 z=0 解析 B 無處解析 C 處處解析 D 在 z=0 不解析且在 z≠ 0解析 若 f（ z）在復(fù) 平面解析， g(z)在復(fù)平面上連續(xù)，則 f(z)+g(z)在復(fù)平面上（ C） A 解析 B 可導(dǎo) C 連續(xù) D 不連續(xù) 二、填空題 若 f(z)在點 a 不解析，則稱 a 為 f(z)的奇點。 若 f(z)在點 z=1的鄰域可導(dǎo)，則 f(z)在點 z=1 解析。 若 f(z)=z2+2z+1，則 若 ，則 不存在。 三、計算題： 設(shè) f(z)=zRe(z), 求 )()( Dzf ??yvxvyuxu ?????????? 且xvxuxvyu ??????????? 且yvxvyuxu ?????????? 且xvyuyvxu ??????????? 且22)( ??? zzf)2)(1( 7)( ??? zzzf ?? )1(f?? ?????? )0()0(lim 0 ffz?? ?????? )0()0(lim 0 ffz ???????? )Re(lim0z 解： = 設(shè) f(z)=excosy+iexsiny,求 解： f(z)=excosy+iexsiny=ez,z=x+iy u=excosy v=exsiny f(z)=u+iv ∴ f(z)在復(fù)平面解析，且 =excosy+iexsiny 設(shè) f(z)=u+iv 在區(qū)域 G 內(nèi)為解析函數(shù)，且滿足 u=x33xy2， f(i)=0,試求 f(z)。 解：依 CR條件有 Vy=ux=3x23y2 則 V（ x1y） =3x2yy3+c(c為常數(shù) ) 故 f(z)=x33xy2+i(3x2yy3+c)=x33xy2+i(cx2yy3)+ic =z3+ic，為使 f(i)=0, 當(dāng) x=0,y=1時， f(i)=0, 有 f(0)=i+ic=0 ∴ c=1 ∴ f(z)=Z3+i 設(shè) f(z)=u+iv 在區(qū)域 G 內(nèi)為解析函數(shù)，且滿足 u=2(x1)y, f(2)=i,試求 f(z)。 ???????? )Re(lim0z0)Re(lim0 ???? ??z)(zf?yeyvxu x c o s???????yeyvyu x sin???????ieyezf x ??? co s)()(zf?cxQxyuyxQxyvxQyyxdyyxvx??????????????? ?)(6)(6)(3)33( 3222 解：依 CR條件有 Vy=ux=2y ∴ V= =y2+? (x) ∴ Vx= ∴ ? (x)= V=y2x2+2x+c(c 為常數(shù) ) ∴ f(z)=2(x1)y+i(y2x2+2x+c) 為使 f(z)=i,當(dāng) x=2 y=0 時 ,f(2)=ci=i ∴ c=1 ∴ f(z)=2(x1)y+i(y2x2+2x1) =(z1)2i 四、證明題 試在復(fù)平面討論 f(z)=iz 的解析性。 解：令 f(z)=u+iv z=x+iy 則 iz=i(x+iy)=y+ix ∴ u=y v=x 于是 ux=0 uy=1 Vx=1 Vy=0 ∵ ux、 uy、 vx 在復(fù)平面內(nèi)處處連接 又 Ux=Vy Uy=Vx。 ∴ f(z)=iz 在復(fù) 平面解析。 試證：若函數(shù) f(z)在區(qū)域 G內(nèi)為解析函數(shù)，且滿足條件 f? （ z） =0， z∈ G，則f(z)在 G 內(nèi)為常數(shù)。 證：設(shè) f(z)=u+iv,z=x+iy,z∈ G ∵ f(z)在 G內(nèi)解析， Ux=Vy, Uy=Vx ? ydy2 zxuyx ?????? 2)(?? ?????? cxxdxx 2)22( 2 又 f? （ z） =0, f? （ z） =Ux+iVx Ux=0 Vx=0 Uy=Vx=0 Ux=Vy=0 U 為實常數(shù) C1， V 也為實常數(shù) C2， f(z)=C1+iC2=Z0 f(z)在 G 內(nèi)為常數(shù)。 復(fù)變函數(shù)課程作業(yè)參考解答 2 第 3 章 初等函數(shù) 一、單項選擇題 1. z = ( A ) 是根 式函數(shù) n zw? 的支點 . (A) 0 (B) 1 (C) ? (D) i 2. z = ( D ) 是函數(shù) zw ln? 的支點 . (A) i (B) 2i (C) 1 (D) 0 3. ei =( B ). (A) e1+e (B) cos1+isin1 (C) sin1 (D) cos1 4. sin1= ( A ) (A) iee ii 2 ?? (B) iee ii 2 ?? (C) 2 1??ee (D) 2 1??ee 二、填空題 1. cosi = 21 ee ?? 2. ie?1 = e(cos1+isin1) 3. lni = i2? 4. ln(1+i) = )24(221 ?? kiLn ?? k 為整數(shù) . 三、計算題 1. 設(shè) z=x+iy，計算 2ze . 解 : xyiyxiyxz 2)( 2222 ????? ∴ xyiyee xz 2222 ???? )]]2s i n ()2) [ c o s (e x p [ ( 22 xyixyyx ?? ∴ 2ze = 22 yxe? )exp( 2z = 22 yxe? 2. 設(shè) z = x+iy, 計算 )Re( 1ze . 解 : ∵ z = x+iy ∴ 222211 yx yiyx xiyxz ?????? ∴ )s in( c o s1 222222 yx yiyx yyx xz ee ????? ∴ 2221 c os)Re ( 22yx yee yxx?? ? 3. 求方程 iz ??ln2 的解 . 解 : ∵ lnz = 2/?i ∴ 由對數(shù)函數(shù)的定義有 : Z= iie i ??? 2s in2c os2/ ??? ∴ 所給方程的 解為 z = i 4. 求方程 iez 31?? 的解 . 解 : ∵ )3s in3(c os231 ?? iie z ???? = )3sin3(c os2 ?? ie Ln ? 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義有 : z=n2+i 3/? 或 z=n(1+ i3 ) 四、證明題 1. 試證 : zzz co ssin22sin ?? . 證明：根據(jù)正弦函數(shù)及余弦正數(shù)定義有： ieez iziz 22sin 22 ??? 222c oss in2 iziziz eei izezz ????? iee iziz 2 22 ??? ?? ∴ sin2z=2sinz cosz 2. 證明 : xnxxnnxxx 2s i n2s i n21s i ns i n2s i ns i n ?????? ?. 證明 : 令 A= nxxx c o s2c o sc o s1 ???? ? B=sinx+sin2x+… sinnx ∴ in xxiix eeeBiA ?????? ?21 22)1(121111xiizixxniexneee??????? ? xnixixniexxnexixeni22212s i n21s i n2s i n221s i n2?????