矩陣的秩及其應(yīng)用畢業(yè)論-文庫吧
2025-05-15 04:50 本頁面
【正文】 .................... 8 在判斷二次型的正定中的作用 .................................. 9 4 參考文獻(xiàn) ........................................................ 10 湖北師范大學(xué)文理學(xué)院 2021屆學(xué)士學(xué)位論文 1 矩陣的秩及其應(yīng)用 周國梁（指導(dǎo)教師：劉偉明 ） （湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 中國 黃石 435000) 1. 引言 矩陣是研究線性代數(shù)各類問題的載體，矩陣的秩即為研究 問題的“試金石”。矩陣的秩是矩陣的一種重要屬性，秩的理論決定著矩陣的地位。其理論幾乎貫穿整個(gè)線性代數(shù)，是討論矩陣求逆問題、線性方程組問題、線性相關(guān)性問題的重要工具。 2. 秩的概念及其等價(jià)描述 秩的概念 設(shè)在矩陣 A 中有一個(gè)不等于 0 的 r 階子式 ，且所有存在的 1r? 階子式全等于零，則 D 為矩陣 A 的最高階非零子式，數(shù) r 稱為矩陣 A 的秩， ()RA r? 。零矩陣的秩規(guī)定為零。本質(zhì)上，矩陣的秩是矩陣中不等于零的子式的最高階數(shù)。即矩陣A 的秩 ()RA就是就是 A 中不等于零的子式的最高階數(shù)。矩陣的秩的 概念還可以這樣敘述：矩陣 ()ij mnAa? 的行（列）向量組的極大線性無關(guān)組的個(gè)數(shù)為該矩陣的秩。設(shè) ()RA r? ,即矩陣 A 中至少有一個(gè) r 階子式不為零，那么該子式所在的 r個(gè)行（列）向量就是行（列）向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。 矩陣秩的等價(jià)描述 設(shè) mnAF?? ，則下述各命題等價(jià)： 1） ()RA r? ； 湖北師范大學(xué)文理學(xué)院 2021屆學(xué)士學(xué)位論文 2 2） A 中有一個(gè) r 階子式不為零，所有 1r? 階子式全為零； 3） A 中有一個(gè) r 階子式 D 不為零，所有包含 D 作為子式的 1r? 階子式全為零； 4） A 等價(jià)于標(biāo)準(zhǔn)型 000Er??????； 5）存在 m 階可逆矩陣 P 和 n 階可逆矩陣 Q ，使得 PAQ? 000Er??????； 6） A 的行向量組的秩等于 r ； 7） A 的列向量組的秩等于 r ； 8） A 的行空間的維數(shù)等于 r ； 9） A 的列空間的維數(shù)等于 r ； 10）方程組 0AX? 有 r 個(gè)獨(dú)立的方程，其余方程是這些方程的線性組合； 11）方程組 0AX? 的解空間的維數(shù)等于 nr? ； 12）設(shè) n 為線性空間 V 的一個(gè)基為 21, naa a ,m 維線性空間 W 的一個(gè)基為12,n? ? ? ,從 V 到 W 的線性映射 T 的矩陣 A ，既： TA? ，則 T 的像空間 ImT的維數(shù)等于 r 。 13)存在 mr? 型的列滿秩陣 P 和 rn? 型的行滿秩陣 Q ，使得 A PQ? 。 證明 易知 (1)? (2)? (3)? (4)。 (1)? (5).因?yàn)?()R A r? ，故可將 A 經(jīng)過一系列的初等變換可化為 0 ,00rE??????而這一些列的初等變換等價(jià)于存在 m 階初等陣 12,SP P P 和 n 階初等陣1 2 3 tQ Q ，使得： 12, SP P PA12 000rt EQ Q Q ??? ???? 令 1 2 3 sP PP P P? ， 1 2 3 tQ Q Q Q Q? ，由初等陣可逆知 ,PQ可逆。 (1)? (5).由 ,PQ為可逆矩陣，使得 001rEPAQ ???????，得 11001rEA P Q????? ????,這相當(dāng)于 A 由 001rE??????經(jīng)過一系列的初等變換而得； 由于初等變換不改變矩陣的湖北師范大學(xué)文理學(xué)院 2021屆學(xué)士學(xué)位論文 3 秩，所以 ()R A r? 。 (1)? (6).設(shè)12mTTTaaAa???????????????， Tia 為行向量 .由于 ()R A r? ，由命題（ 2）知存在 r階子式 0rD? ，且所有 1 0rD? ? ，既有 rD 所在的 r 行線性無關(guān)，且任意 1r? 個(gè)行向量都線性相關(guān)，因此 rD 所在的 r 行是 A 的行向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，從而 A的行向量組的秩為 r 。 (1)? (6).由 A 的行向量組的秩為 r ，根據(jù)向量組線性無關(guān)的條件知這 r 個(gè)行向量所在的行的 r 階子式不為零，且所有 1r? 階子式都為零，故 ()R A r? 。 (1)? (7)的證明和 (1)? (6)類似。 (1)? (8).設(shè) A 的行向量組為 12, , ,T T Tma a a ，由它們所生成的行空間為 ? ?1 1 2 2 1 2, , ,T T Tm m mL x a a a R? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 顯然行向量空間的維數(shù)與行向量組 的 秩相等。 (1)? (9)的證明和 (1)? (8)類似。 (1)? (10).矩陣的初等變換的過程實(shí)際上可以看做是解方程組 0AX? 的過程，等價(jià)性顯然成立 . (1)? (11).由 0AX? 的基礎(chǔ)解系就是方程組 0AX? 的解空 間的一個(gè)基可知命題是成立的。 (1)? (12).設(shè) A 的列向量組為 12, , , m? ? ? ，則 12, , , Im T? ? ? ??線性方程組 AX ?? 有解 12, , , n? ? ? ??? ,這里 12, , , n? ? ? 表示 12, , , n? ? ? 生成空間 [1] 。因此 12Im , , , nT ? ? ?? ，從而 ImT 的維數(shù)與的 12, , , n? ? ? 維數(shù)相等，而由（ 9）知 12, , , n? ? ? 的維數(shù)與 ()RA相等，故命題成立。 (1)? (13).由 ()RA r? ， mnAF?? ，則 A 的行向量組有一個(gè)極大無關(guān)組，不妨設(shè)12, , , rT T Ti i ia a a ，從而： 12, , ,T T Tma a
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