【正文】 發(fā)生的事件 （ 2） 表示 A， B 都發(fā)生且 C 不發(fā)生的事件 （ 3） AB 表示事件 A與 B 都發(fā)生的事件，對 C 沒有規(guī)定，說明 C可發(fā)生，也可不發(fā)生。 ∴ AB 表示至少 A與 B 都發(fā)生的事件 （ 4） 所以也可以記 AB 表示， ABC 與 中至少有一個發(fā)生的事件。 例 ， B， C 為三事件，說明（ AB+BC+AC）與 是否相同。 【答疑編號： 10010129 針對該題提問】 解：（ 1） 表示至少 A， B 發(fā)生 它表示 A， B， C 三事件中至少發(fā)生二個的事件。 （ 2） 表示 A， B， C三事件中，僅僅事件 A與事件 B發(fā)生的事件 表示 A， B， C 三事件中僅有二個事件發(fā)生的事件。 因而它們不相同。 167。 隨機(jī)事件的概率 （一）頻率： （ 1）在相同條件下，進(jìn)行了 n 次試驗(yàn)，在這 n 次試驗(yàn)中，事件 A 發(fā)生了nA 次，則事件 A發(fā)生的次數(shù) nA叫事件 A發(fā)生的頻數(shù)。 （ 2）比值 nA/n 稱為事件 A發(fā)生的頻率，記作 fn（ A），即 歷史上有不少人做過拋硬幣試驗(yàn)，其結(jié)果見下表，用 A表示出現(xiàn)正面的事件： 試驗(yàn)人 n nA fn（ A） 摩根 2048 1061 蒲豐 4040 2048 皮爾遜 12020 6019 從 上表可見，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) n大量增加時，事件 A發(fā)生的頻率 fn（ A）會穩(wěn)定某一常數(shù)，我們稱這一常數(shù)為頻率的穩(wěn)定值。例如從上表可見拋硬幣試驗(yàn)，正面出現(xiàn)的事件 A 的頻率fn（ A）的穩(wěn)定值大約是 。 （二）概率： 事件 A出現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定值叫事件 A發(fā)生的概率，記作 P（ A） 實(shí)際上，用上述定義去求事件 A發(fā)生的概率是很困難的，因?yàn)榍?A發(fā)生的頻率 fn（ A）的穩(wěn)定值要做大量試驗(yàn)，它的優(yōu)點(diǎn)是經(jīng)過多次的試驗(yàn)后，給人們提供猜想事件 A 發(fā)生的概率的近似值。 粗略地說，我們可以認(rèn)為事件 A發(fā)生的概率 P（ A）就是事件 A發(fā)生的可能性的大 小，這種說法不準(zhǔn)確，但人們?nèi)菀桌斫夂徒邮?，便于?yīng)用。 下面我們不加證明地介紹事件 A的概率 P（ A）有下列性質(zhì)： （ 1） 0≤P（ A） ≤1 （ 2） P（ Ω） =1， P（ Φ） =0 （ 3）若 A與 B 互斥，即 AB=Φ，則有 P（ A+B） =P（ A） +P（ B） 若 A1， A2， …… ， An互斥，則有 （三）古典概型： 若我們所進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)有下面兩個特點(diǎn)： （ 1）試驗(yàn)只有有限個不同的結(jié)果； （ 2）每一個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等， 則這種試驗(yàn)?zāi)Ｐ徒泄诺涓判汀? 例如，擲一次骰子，它的可能結(jié)果只有 6個，假設(shè)骰子是均勻的，則每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都是 1/6，所以相等，這種試驗(yàn)是古典概型。 下面介紹古典概型事件的概率的計算公式： 設(shè) 是古典概型的樣本空間，其中樣本點(diǎn)總數(shù)為 n， A為隨機(jī)事件，其中所含的樣本點(diǎn)數(shù)為 r 則有公式： 例 1，擲一次骰子， 求點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)點(diǎn)的事件 A的概率。 【答疑編號： 10010201 針對該題提問】 解：樣本空間為 Ω=｛ 1， 2， 3， 4， 5， 6｝； A=｛ 1， 3， 5｝ ∴ n=6,r=3 例 ，設(shè) A 表示恰有一次出現(xiàn)正面， B 表示三次都出現(xiàn)正面， C 表示至少出現(xiàn)一次正面，求： （ 1） P（ A）； 【答疑編號： 10010202 針對該題提問】 （ 2） P（ B）； 【答疑編號： 10010203 針對該題提問】 （ 3） P（ C） 【答疑編號： 10010204 針對該題提問】 解：樣本空間 Ω=｛正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反｝； （ 1） （ 2） （ 3） 由于在古典概型中，事件 A的概率 P（ A） 的計算公式只需知道樣本空間中的樣本點(diǎn)的總數(shù) n 和事件 A包含的樣本點(diǎn)的個數(shù) r 就足夠，而不必一一列舉樣本空間的樣本點(diǎn)，因此，當(dāng)樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)比較多或難于一一列舉的時候，也可以用分析的方法求出 n 與 r 的數(shù)值即可。 例 3，從 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 這 10個數(shù)碼中，取出三個不同的數(shù)碼，求所取 3 個數(shù)碼不含 0 和 5 的事件 A的概率。 【答疑編號： 10010205 針對該題提問】 解：從 10 個不同數(shù)碼中，任取 3 個的結(jié)果與順序無關(guān)，所以基本事件總數(shù) A事件中不能有 0 和 5，所以只能從其余 8 個數(shù)碼中任取 3 個，所以 A中的基本事件 例 4，從 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 這 9 個數(shù)字中任取一個，放回后再取一個，求所取兩個數(shù)字不同的事件 A的概率。 【答疑編號： 10010206 針對該題提問】 解：（ 1）第一次取一個數(shù)字的方法有 9 種； 第二次取一個數(shù)字的方法與第一次相同也是 9 種； 由乘法原則，知兩次所 取的數(shù)字方法有 99=92（種） 每一種取法是一個基本事件，所以 n=92 （ 2）所取兩個數(shù)字不同時，相當(dāng)于從中任取兩個數(shù)，其結(jié)果與順序有關(guān)，所取取法有： 也可按（ 1）的乘法原則求 r，第一次的取法有 9 種，第二次的數(shù)字與第 1 次不同，所以只有 8 種，所以 取法共有 98（種） ∴ r=98 例 5，袋中有 5 個白球， 3 個紅球，從中任取 2 個球， 求（ 1）所取 2 個球的顏色不同的事件 A的概率； 【答疑編號： 10010207 針對該題提問】 （ 2）所取 2 個球都是白球的事件 B 的概率； 【答疑編號： 10010208 針對該題提問】 （ 3）所取 2 個球都是紅球的事 件 C 的概率； 【答疑編號： 10010209 針對該題提問】 （ 4）所取 2 個球是顏色相同的事件的概率。 【答疑編號： 10010210 針對該題提問】 解：袋中共的 8 個球，從中任取 2 個球結(jié)果與順序無關(guān)，所以取法共有 種，每一種取法的結(jié)果是一個基本事件，所以基本事件總數(shù)為 （ 1）分兩步取。第一步，在 5 個白球中任取一個，方法數(shù)為 5；第二步在 3 個紅球中取一個，方法數(shù)為 3，根據(jù)乘法原則，共有 53 種方法，即有 53 種結(jié)果。 （ 2）從 5 個白球中任取 2 個，結(jié)果與順序無關(guān) ∴ 取法共有 （種） ∴ B 包含的基本事件共有 r2=10 （ 3）從 3 個紅球中任取 2 個的方法為 （種） ∴ C 包含的基 本事件數(shù) r3=3 ∴ （ 4）所取 2 個球顏色相同的有兩類： 第一類： 2 個球都是白球的方法有 （種） 第二類： 2個球都是紅球的方法有 （種） 根據(jù)加法原則，所取 2個球是顏色相同的方法共有 10+3=13種。 ∴2 個球顏色相同的事件 D包含 r4=13種基本事件。 ∴ 例 6，袋中有 10件產(chǎn)品，其中有 7件正品， 3件次品，從中每次取一件，共取兩次，√√√√√√√ 求 : （ 1）不放回抽樣，第一次取后不放回，第二次再取一件，而且第一次取到正品，第二次取到次品的事件 A的概率。 【答疑編號： 10010211針對該題提問】 （ 2）放回抽樣，第一次取一件產(chǎn)品，放回后第二次再取一件，求第一次取到正品，第二次取到次品的事件 B的概率 【答疑編號： 10010212針對該題提問】 解（ 1）第一次取一件產(chǎn)品的方法有 10 種 ∵ 不放回， ∴ 第二次取一件產(chǎn)品的方法有 9種 由乘法原則知，取兩次的方法共有 109 種 也可以用排列數(shù)計算，因?yàn)榻Y(jié)果與順序有關(guān)，所以取法有 （種） ∴ 基本事件總數(shù) n=109 第一次取到正品，第二次取到次品的方法有 73 種，所以事件 A包含的基本事件有： （ 2）放回抽樣。由于有放回，所以第一次、第二次取一件產(chǎn)品的方法都是 10種，由乘法原則知抽取方 法共有 1010=100 種，所以基本事件總數(shù) n=1010=100 第一次取正品方法有 7種，第二次取次品的方法有 3種，由乘法原則，事件 B包含的基本事件共有 例 7，將一套有 1,2,3,4,5分冊的 5本書隨機(jī)放在書架的一排上，求 1， 2分冊放在一起 的事件 A的概率。 【答疑編號： 10010301針對該題提問】 解：（ 1）基本事件總數(shù) n=54321 （種） 或者為 （ 2） A包含的基本事件有 （種） 例 8，擲兩次骰子，求點(diǎn)數(shù)和為 7的事件 A的概率。 【答疑編號： 10010302針對該題提問】 解：（ 1）基本事件總數(shù) n=66=36 （種） （ 2） A=｛ ①⑥ ； ②⑤ ； ③④ ； ④③ ； ⑤② ； ⑥① ｝ ∴A 包含的基本事件數(shù) r=6 例 9，從 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7這七個數(shù)碼中任取 3個，排成三位數(shù)，求（ 1）所排成的三位數(shù)是偶數(shù)的事件 A的概率。（ 2）所排成的三位數(shù)是奇數(shù)的事件 B的概率。 【答疑編號： 10010303針對該題提問】 解：基本事件總數(shù) （個） （ 1）所排成的三位數(shù)是偶數(shù)的取法需分兩步： 第一步，取一個偶數(shù)放在個位碼位置，取法有 3種； 第二步，將其余 6個數(shù)中任取兩個排成一排，分別處于十位數(shù)和百位數(shù)碼位置，共有種方法。 根據(jù)乘法原則，事件 A包含的基本事件數(shù) （ 2）所排成的三位數(shù)的取法也需分兩步進(jìn)行； 第一步，取一個奇數(shù)放在個位碼位置，有 4種方法。 第二步，將其余 6個數(shù)中任取兩個放在十位碼和百位碼，方法有 種。 根據(jù)乘法原則，事件 B包含的基本事件數(shù) 例 10，袋中有 9個球，分別標(biāo)有號碼 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9從中任取 3個球，求 （ 1）所取 3個球的最小號碼為 4的事件 A的概率； 【答疑編號： 10010304針對該題提問】 （ 2）所取 3個球的最大號碼為 4的事件 B的概率； 【答疑編號： 10010305針對該題提問】 解：基本事件總數(shù) （個） （ 1）最小號碼為 4的取法分兩步進(jìn)行 第一步，取出 4號球，方法只有 1種 第 二步，在 5， 6， 7， 8， 9這 5個球中任取 2個，方法數(shù)為 ∴A 包含的基本事件 （ 2）最大碼為 4的取法為： 第一步，取出 4號球方法只有 1種 第二步，在 1， 2， 3號球中任取 2個，方法數(shù)為 ∴B 包含的基本事件 例 11，將兩封信投入 4個信箱中，求兩封信在同一信箱的事件 A的概率。 【答疑編號 ： 10010306針對該題提問】 解：（ 1）先將第一封信投入信箱，有 4種方法 再將第二封信投入信箱，也有 4種方法 ∴ 根據(jù)乘法原則共有 44 種方法 ∴ 基本事件總數(shù) n=44 （ 2）將兩封信同時投入一個信箱，方法有 4種 ∴A 包含的基本事件數(shù) r=4 例 12，袋中有 10個球，其中有 6個白球， 4個紅球，從中任取 3個，求： （ 1）所取的三個球都是白球的事件 A的概率 【答疑編號： 10010307針對該題提問】 （ 2）所取三個球中恰有 2個白球一個紅球的事件 B的概率 【答疑編號： 10010308針對該題提問】 （ 3）所取 3個球中最多有一個白球的事件 C的概率 【答疑 編號： 10010309針對該題提問】 （ 4）所取 3個球顏色相同的事件 D的概率 【答疑編號： 10010310針對該題提問】 解：基本事件總數(shù) （ 1） A包含的基本事件數(shù) （ 2） B包含的基本事件數(shù) （ 3） C的基本事件包含兩類： 第一類，一個白球，二個紅球的取法有 第二類， 0個白球，三個紅球取法 有 種 ∴ 事件 C包含的基本事件數(shù) （ 4）事件 D包含的基本事件有兩類： 第一類，三個球都是白球的取法有 種 第二類，三個球都是紅球的取法有 種 ∴ 事件 D包含的基本事件數(shù) （種） （四）概率的加法公式 請先看下面引例： 擲一次骰子， A=｛ 1， 3， 5｝， B=｛ 1， 2， 3｝請求： （ 1） P（ A）； 【答疑編號： 10010311針對該題提問