【正文】 ，求： （ 1）該產(chǎn)品的次品率 【答疑編號： 10010503針對該題提問】 （ 2）若任取一件，該件是次品，求這件次品分別是甲廠、乙廠、丙廠的產(chǎn)品的概率。 所以 表示 已知產(chǎn)品甲廠產(chǎn)品時，該產(chǎn)品是次品 表示已知產(chǎn)品是乙廠產(chǎn)品時，該產(chǎn)品是次品。 則表示已知產(chǎn)品是次品時，它是甲廠產(chǎn)品； 則表示已知產(chǎn)品是次品時，它是乙廠產(chǎn)品； 則表示已知產(chǎn)品是次品時，它是丙廠產(chǎn)品； ∴ （ 1） （ 2） 可見，若該產(chǎn)品 是次品，則此次品是丙廠產(chǎn)品的可能性最大。 已知 （ 1） （ 2） 可見從甲袋中取出白球的可能性大。 事件的獨(dú)立性 （一）事件的獨(dú)立性 （ 1）定義： 若 P（ AB） =P（ A） P（ B），就說事件 A與事件 B 相互獨(dú)立。 性質(zhì)二， 若 A 與 B 獨(dú)立，則有 （ 1） 與 獨(dú)立 （ 2） 與 B 獨(dú)立 （ 3） A與 獨(dú)立 證：用獨(dú)立性定義： （ 1） ∵A 與 B獨(dú)立， ∴P （ AB） =P（ A） P（ B） 由對偶公式 ∴ 與 獨(dú)立 （ 2） ∴ 與 B相互獨(dú)立 （ 3） ∴A 與 相互獨(dú)立 由 A與 B獨(dú)立 這一定義可推廣有下列結(jié)果： 若 A， B， C 相互獨(dú)立，則有 P（ ABC） =P（ A） P（ B） P（ C） 若 相 互 獨(dú) 立 ， 則 有 例 ，求三粒種子中至少有一粒發(fā)芽的概率。甲能破譯的概率為 。丙能破譯的概率為 .求密碼被破譯的概率。第一工序的正品率為 ；第二工序 的正品率為 ；第三工序的正品率為 。 【答疑編號： 10010603針對該題提問】 解：用 B表示產(chǎn)品是正品 A1表示第一工序是正品 A2表示第二工序是正品 A3表示第三工序是正品 ∴B=A 1A2A3 （ 1） （ 2） （二）重復(fù)獨(dú) 立試驗(yàn)概型 先請看引例：某人射擊目標(biāo)的命中率為 P，他向目標(biāo)射擊三槍，求這三槍中恰中二槍的概率。 例 4次，每次射擊的命中率 P=，求 （ 1）恰好命中兩次的概率； （ 2）至少命中一次的概率。 【答疑編號： 10010606針對該題提問】 解：（ 1）所求概率 為： （ 2）所求概率為： 例 ，事件 A發(fā)生的概率為 P（ A） =，問至少做多少次試驗(yàn)，才能使事件 A至少出現(xiàn) 1次的概率超過 。 【答疑編號： 10010608針對該題提問】 解： P（至少射中 1次） =1P（射中 0次） 本章考核內(nèi)容小結(jié) （一）了解隨機(jī)事件的概率的概念，會用古典概型的計算公式 計算簡單的古典概型的概率 （ 二）知道事件的四種關(guān)系 （ 1）包含： 表示事件 A發(fā)生則事件 B必發(fā)生 （ 2）相等： （ 3）互斥： 與 B互斥 （ 4）對立： A與 B對立 AB=Φ ，且 A+B=Ω （三）知道事件的四種運(yùn)算 （ 1）事件的和（并） A+B表示 A與 B中至少有一個發(fā)生 性質(zhì)：（ 1）若 ，則 A+B=A（ 2） 且 （ 2）事件積 （交） AB 表示 A與 B都發(fā)生 性質(zhì)：（ 1）若 ，則 AB=B∴ΩB=B 且 （ 2） （ 3）事件的差： AB表示 A發(fā)生且 B不發(fā)生 ∴ ，且 AB=AAB （ 4） 表示 A不發(fā)生 性質(zhì) （四）運(yùn)算關(guān)系的規(guī)律 （ 1） A+B=B+A， AB=BA叫交換律 （ 2）（ A+B） +C=A+（ B+C）叫結(jié)合律 （ AB） C=A（ BC） （ 3） A（ B+C） =AB+AC叫分配律 （ A+B）（ A+C） =A+BC （ 4） 叫對偶律 （五）掌握概率的計算公式 （ 1） P（ A+B） =P（ A） +P（ B） P（ AB） 特別情形 ①A 與 B互斥時： P（ A+B） =P（ A） +P（ B） ②A 與 B獨(dú)立時： P（ A+B） =P（ A） +P（ B） P（ A） P（ B） ③ 推廣 P（ A+B+C） =P（ A） +P（ B） +P（ C） P（ AB） P（ AC） P（ BC） +P（ ABC） （ 2） 推廣： 當(dāng)事件獨(dú)立時， P（ AB） =P（ A） P（ B） P（ ABC） =P（ A） P（ B） P（ C） P（ ABCD） =P（ A） P（ B） P（ C） P（ D） 性質(zhì)若 A與 B獨(dú)立 與 B， A與 ， 與 均獨(dú)立 （六）熟記全概率公式的條件和結(jié)論 若 A1， A2， A3是 Ω 的劃分，則有 簡單情形 熟記貝葉斯公式 若 已知，則 （七）熟記貝努利重復(fù)試驗(yàn)概型的計算公式 本章作業(yè) 教材 67頁，習(xí)題 1.（ 1）（ 2）， 2.（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）（ 6）（ 7）， 4， 5.（ 1）（ 2）， 6.（ 1）（ 2）， 7 1213頁，習(xí)題 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8.（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）， 9， 10.（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5），11， 12， 13.（ 1）（ 2） 1718頁，習(xí)題 2， 3， 4， 5， 6， 7.（ 1）（ 2）， 8， 9， 10， 11， 12， 13， 14 2223頁，習(xí)題 1.（ 1）（ 2）（ 3） ， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9.（ 1）（ 2）， 10.（ 1）（ 2）（ 3）（ 4），11， 12 24頁自測題全部 第二章 隨機(jī)變量及其變量分布 167。可能結(jié)果為 Ω={1,2,3,4,5,6}. 我們可以引入變量 X,使 X=1，表示點(diǎn)數(shù)為 1； x=2 表示點(diǎn)數(shù)為 2； … ， X=6，表示點(diǎn)數(shù)為 6。 引例三，在燈泡使用壽命的試驗(yàn)中，我們引入變 量 X，使 aXb，表示燈泡使用壽命在a（小時）與 b（小時）之間。 0X4000 表示燈泡壽命在 4000 小時以內(nèi)的事件。就說變量 X 是隨機(jī)變量。 例如，引例一、二、三中的 X 都是隨機(jī)變量。例如，本節(jié)中的引例 一、引例二的 X 是離散型隨機(jī)變量。 就說公式 （ k=1,2,…,n,… ） 或表格 是離散型隨機(jī)變量 x的（概率）分布律，記作 分布律 有下列性質(zhì) （ 1） ；（ 2） 由于事件 互不相容。 所以 反之，若一數(shù)列 具有以上兩條性質(zhì)，則它必可以作為某隨機(jī)變量的分布律。 【答疑編號： 10020201 針對該題提問】 解 由分布律的性質(zhì)知 1=+c+, 解得 c=. 例 2 擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記 X 為出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求 X 的分布律。 例 3 袋子中有 5 個同樣大小的球，編號為 1， 2.， 3， 4， 5。 【答疑編號： 10020203 針對該題提問】 解 X 的取值為 3,4,5，由古典概型的概率計算方法，得 （三個球的編號為 1,2,3） （有一球編號為 4，從 1， 2， 3 中任取 2個的組合與數(shù)字 4搭配成 3 個） （有一球編號為 5，另兩個球的編號小于 5） 則 X 的分布律為 例 4 已知一批零件共 10 個，其中有 3 個不合格，今任取一個使用，若取到不合格零件，則丟 棄掉，再重新抽取一個，如此下去，試求取到合格零件之前取出的不合格零件個數(shù)X 的分布率。 定義 4 若隨機(jī)變量 X 只取兩個可能值： 0,1,且 P{X=1}=p, P{X=0}=q 其中 0p1,q=1p,則稱 X 服從 01 分布。 01 分布是最簡單的分布類，任何只有兩種結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象，比如新生兒是男是女，明天是否下雨，抽查一產(chǎn)品是正品還是次品等，都可用它來描述。 【答疑編號： 10020209 針對該題提問】 解 定義 5 若隨機(jī)變量 X 的可能取值為 0,1,…,n ，而 X 的分布律為 。 顯然，當(dāng) n=1 時， X 服從 01 分布，即 01 分布實(shí)際上是二項(xiàng)分布的特例。 即 X 服從參數(shù)為 n,p 的二項(xiàng)分布。 例 7 某特效藥的臨床有效率為 ，今有 10 人服用，問至少有 8 人治愈的概率是多少？ 【答疑編號： 10020200 針對該題提問】 解 設(shè) X 為 10 人中被治愈的人數(shù)，則 X～ B(10， 095)，而所求 概率為 例 8 設(shè) X～ B（ 2,p）， Y～ B（ 3,p）。 【答疑編號： 10020202 針對該題提問】 解： 已知猜中率 ，用 X 表示猜中的題數(shù) 則 在計算涉及二項(xiàng)分布有關(guān)事件的概率時，有時計算會很繁，例如 n=1000,p= 時要計算 就很困難，這就要求尋求近似計算的方法。有如下定理。 由泊松定理，當(dāng) n 很大， p 很小時，有近似公式 ， 其中 λ=np. 在實(shí)際計算中，當(dāng) n≥20,p≤。 【答疑編號： 10020204 針對該題提問】 解 設(shè) X 表示任取得 1000 件產(chǎn)品中的 廢品中的廢品數(shù)，則 X～ B(1000,)。 隨機(jī)變量的分布函數(shù) （一）分布函數(shù)的概念 對于離散型隨機(jī)變量 X，它的分布律能夠完全刻畫其統(tǒng)計特性 ，也可用分布律得到我們關(guān)心的事件，如 等事件的概率。首先，我們不能將其可能的取值一一地列舉出來，如連續(xù)型隨機(jī)變量的取值可充滿數(shù)軸上的一個區(qū)間 (a,b)，甚至是幾個區(qū)間，也可以是無窮區(qū)間。于是，如何刻畫一般的隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律成了我們的首要問題。 注意，隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義適應(yīng)于任意的隨機(jī)變量，其中也包含了離散型隨機(jī)變量，即離散型隨機(jī)變量既有分布律也有分布函數(shù)，二者都能完全描述它的統(tǒng)計規(guī)律性。 從 F(x)的圖像可知， F(x)是分段函數(shù)， y=F(x)的圖形階梯曲線，在 X 的可能取值 1,0,1,2處為 F(x)的跳躍型間斷點(diǎn)。 另一方面，由例 2中分布函數(shù)的求法及公式（ ）可見，分布函數(shù)本質(zhì)上是一種累計概率。 （ 4） F(x)右連續(xù)，即 證明略。 【答疑編號： 10020206 針對該題提問】 解 ，由分布函數(shù)的性質(zhì) F(+∞)=1，知 a=1；又由 F(x)的右連續(xù)性，得到 由此，得 b= 1. 已知 X 的分布函數(shù) F(x)，我們可以求出下列重要事件的概率： 1176。P{aX≤b}=F(b)F(a)，其中 ab. 【答疑編號： 10020208 針對該題提問】 3176。∵ F(x)=P{X≤x} ∴ F(b)=P{X≤b} 2176。P{Xb}=1 P{X≤b}=1 F(b) 例 3 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 求 【答疑編號： 10020210 針對該題提問】 【答疑編號： 10020211 針對該題提問】 【答疑編號： 10020212 針對該題提問】 解 例 4 求 01 分布的 x的分布函數(shù) 【答疑編號： 10020213 針對該題提問】 解：已知 所以 例 5 設(shè) X～ F(x)=a+barctanx(∞x+∞) 求 （ 1） a 與 b 【答疑編號： 10020214 針對該題提問】 （ 2） P(1X≤1) 【答疑編號： 10020215 針對該題提問】 解：（ 1） ∵ F(∞)=0， F(+∞)=1 解得 , （ 2） 167。 就是說 X 是 連續(xù)型隨機(jī)變量，并且非負(fù)函數(shù) f(x)是連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。 ∴ 有 （ 4） f(x)≥0 【答疑編號： 10020219 針對該題提問】 證（ 1）在微積分中已知積分上限的函數(shù) 對上限 x的導(dǎo)數(shù) 它說明分布函數(shù)是概率密度的原函數(shù)，并且證明連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù) F(x)是處處可導(dǎo)函數(shù)，所以連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù) F(x)處處連續(xù)。 【答疑編號： 10020301 針對該題提問】 （ 2） X 落在區(qū)間（ ， ）的