【正文】 包括系統(tǒng)模型、狀態(tài)和輸出反饋及研究方法等。 概述 廣義系統(tǒng)與從提出以來，不僅是用于分解分析實(shí)際系統(tǒng)的工具，而且使用的范圍也十分寬泛。廣義系統(tǒng)之所以 區(qū)別于其它系統(tǒng)的不僅是形式上的，最重要的其如下的特點(diǎn)。 廣義系統(tǒng)和正常系統(tǒng)不同的八個(gè)主要方面： (1) 三部分構(gòu)成了廣義系統(tǒng)通常具有組合性的解，即當(dāng)極點(diǎn)是無窮極點(diǎn)時(shí)的脈沖和靜態(tài)解、當(dāng)極點(diǎn)是有窮盡時(shí)的指數(shù)解以及在輸入的函數(shù)中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)；但正常系統(tǒng)只有一項(xiàng)解，為指數(shù)解。廣義系統(tǒng)不再擁有一般的因果性。這是由其解的特點(diǎn)決定。系統(tǒng)的解要求某時(shí)刻之前和之后的信息的信息作為參考。 (2) 廣義系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)階數(shù)上有特點(diǎn)。正常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)階數(shù)與相同于系統(tǒng)維數(shù)。而廣義系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)階數(shù)卻比它小，小于矩陣的秩。 (3) 廣義系統(tǒng)的矩陣構(gòu)成 十分復(fù)雜。而正常系統(tǒng)矩陣比較簡單。廣義系統(tǒng)矩陣構(gòu)成需滿足兩個(gè)要求。第一個(gè)要求是矩陣為真有理分式。第二個(gè)是多項(xiàng)式矩陣的指數(shù)大于 1。而正常系統(tǒng)的是真分式矩陣，并且是有理的。 (4) 一般來說，正常系統(tǒng)的初值問題也是具有特點(diǎn)的。在此問題下的解含有唯一性。但廣義系統(tǒng)則復(fù)雜得多。它的特點(diǎn)有以下幾點(diǎn)：首先，初始函數(shù)的可相容性和解的可求解性與關(guān)初值問題下的解具有唯一性等價(jià)。其次，廣義系統(tǒng)的解也具有多種可能性。有解存在、有無窮多解或無解。最后，所以經(jīng)常要求廣系統(tǒng)是正則的，以防止得到的解是含有脈沖和跳躍的。 (5) 廣義系統(tǒng) 系統(tǒng)具有層次性。而且它所具有的層次性是兩種。分為動(dòng)態(tài)和靜態(tài)的特性。前者由差分方程描繪系統(tǒng)對(duì)象，后者則是代數(shù)方程描繪系統(tǒng)對(duì)象。 (6) 廣義系統(tǒng)的另一個(gè)特點(diǎn)是極點(diǎn)。其實(shí)它的極點(diǎn)和一般系統(tǒng)不同也是比較簡單的。其極點(diǎn)分為有窮盡的和無窮盡的極點(diǎn)。前者的個(gè)數(shù)為個(gè)，而后者在廣義系統(tǒng)和正常系統(tǒng)中的個(gè)數(shù)分別是個(gè)和 n 個(gè)，同時(shí)動(dòng)態(tài)和靜態(tài)無窮極點(diǎn)則又是按照極點(diǎn)狀態(tài)細(xì)分的兩類。 (7) 運(yùn)行過程中，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中經(jīng)常出現(xiàn)不符合預(yù)想的參數(shù)。即是參數(shù)參數(shù)擾動(dòng)。一般系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定會(huì)發(fā)生變化。此時(shí)會(huì)直接影響廣義系統(tǒng)。但此時(shí)正常系統(tǒng)則仍然保持穩(wěn)定 。 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書（論文） 第 7 頁 共 28 頁 (8) 正常系統(tǒng)一般滿足李雅普諾夫鎮(zhèn)定和穩(wěn)定性。廣義系統(tǒng)則不一定滿足 [7]。 模型介紹 廣義系統(tǒng) 當(dāng)然，在許多專家的不斷研究探索下，使得我們可以更加精確的描述現(xiàn)實(shí)生活中存在的實(shí)際例子。我們一般討論的正常系統(tǒng)為： ( , , )( , , )x f x u ty g x u t?? () 廣義系統(tǒng)為： ( , ) ( , , )( , , )E x t x f x u ty g x u t?? () 其中，時(shí)間變量是 t，維數(shù)適中的狀態(tài)量，輸出量和輸入向量分別是 x， y， u， (x,u,t)f和 (x,u,t)g 分別是關(guān)于 x， u， t 的 n 維 向量函數(shù)， (x,t) nnER?? 。當(dāng)矩陣 E 是滿秩時(shí)，即 ( ? ?(x, t)rank E r n??)，式子 ()可以轉(zhuǎn)化為形如式子 ()的連續(xù)正常的系統(tǒng)。但是當(dāng) E 不是滿秩時(shí) (即 ? ?(x , t)rank E r n??)，式子 ()的系統(tǒng)即為廣義系統(tǒng) [8]。 連續(xù)線性定常廣義系統(tǒng) 系統(tǒng)模型為如下形式： (t) (t) (t)y(t) C x (t)Ex Ax Bu??? () 其中 nnER?? 為奇異矩陣， E、 A、 B、 C 分別是維數(shù)適當(dāng)?shù)膶?shí)數(shù)矩陣，時(shí)間變量是 t，維數(shù)適中的狀態(tài)量、輸出量和輸入向量分別是 x， y， u。 李雅普諾夫不等式方法 一百多年前，俄國著名的數(shù)學(xué)力學(xué)專家亞歷山大李雅普諾夫在其發(fā)表的文獻(xiàn)中提出了科學(xué)概念下的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，及其研究的方 法和科學(xué)理論體系。從此，李雅普諾夫方法得以完善和發(fā)展起來。 第一種李雅普諾夫方法別名是間接法。此方法是得出系統(tǒng)是否具有穩(wěn)定性。它的具體操作是由解析狀態(tài)方程的解得到，所以得此別名。簡單地說就是解析特征方程的根。由此得到系統(tǒng)的特性。所以也必須將非線性系統(tǒng)線性化后再研究。此時(shí)研究內(nèi)容一般是穩(wěn)定性。 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書（論文） 第 8 頁 共 28 頁 李雅普諾夫第二方法別名是直接法。此方法目的和第一法相同。具體操作是當(dāng)無需解出方程解時(shí)，只分解由 方程得到的導(dǎo)數(shù) (x)dVdt 的符號(hào)性質(zhì)和 雅普諾夫函數(shù) )(xV 。以此 得出解的穩(wěn)定性 。并且這里的方程式微分的。 以下為便于理解例舉的自制系統(tǒng)： ( ), ndx F x x Rdt ?? () 假設(shè) Tn xFxFxF ))(,),(()( 1 ?? 符合局部 Lipschitz 連續(xù)條件、在 ? ?nG x R x K? ? ?上連續(xù)的條件和 OOF ?)( 三個(gè)條件。為便于說明，首先簡 單闡述有關(guān) 李雅普諾夫函數(shù)概念。 李雅普諾夫函數(shù)：稱 )(xV 是恒負(fù) (正 )的概念： 如果 RGxV ?:)( 滿足 0)( ?OV條件，且 ? ?HxxD ?? 上 )0(0)( ??xV 其中 KH??0 ，而且 )(xV 和ixV?? ),2,1( ni ??是不間斷連續(xù)；稱 )(xV 是正 (負(fù) )定的概念：如果總是 )0(0)( ??xV ， 其中 Ox? 不在 D中 ；當(dāng) 函數(shù)符號(hào)的正負(fù)無法恒定時(shí)，函數(shù)稱為變號(hào)函數(shù) [9]。 這里的函數(shù) ()Vx就是我們所稱之的的 李雅普諾夫函數(shù)。 可知： 若函數(shù)滿足 2221 xxV ?? 在 ),( 21 xx ，則稱其在平面上是正定的； 若函數(shù)滿足 )( 2221 xxV ??? 在 ),( 21 xx ，則稱其在平面上是恒負(fù)的； 函數(shù) 2221 xxV ?? 在 ),( 21 xx 平面上是變號(hào)函數(shù)； 函數(shù) 21xV? 在 ),( 21 xx 平面上是常正函數(shù)。 線性矩陣不等式方法 (LMI) 一般線性矩陣不等式： ? ? 01 ...... 0mmF x F F x F? ? ? ? () 其中，矩陣不等式 ()的決策變量是 m 個(gè)變量 1,......, mxx，且都為實(shí)數(shù)。以此得，決策向量是 1,......, mxx所構(gòu)成： ? ?1 , ... ... , x T mmx x R?? () 假設(shè)存在一組實(shí)數(shù)矩陣 T n niiF F R ???， 0,1,...,mi? ，且為對(duì)稱的，那么 ()中的小于號(hào) ? 代表矩陣 ??Fx是負(fù)定的，故可知對(duì)所有非零向量 mvR? 是 ()Fx最大特征值為 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書（論文） 第 9 頁 共 28 頁 負(fù)的條件。 矩陣常常在系統(tǒng)與控制的問題里充當(dāng)變化量。如李雅普諾夫不等式： ( ) 0TF X A X X A Q? ? ? ? () 化為如下不等式： 1 1 1( ) ( ) . . . ( ) 0T M M MF X Q x A E E A x A E E A? ? ? ? ? ? ? () 狀態(tài)反饋 一般系統(tǒng)中的控制結(jié)構(gòu)是由兩部分組成的。分別為控制器和被控對(duì)象。廣義系統(tǒng)也不例外。狀態(tài)和輸出的差別在于，狀態(tài)包含了對(duì)象的全部信息，而輸出只是狀態(tài)的組成部分。所以系統(tǒng)在進(jìn)行反饋控制時(shí)，使用狀態(tài)反饋可使系統(tǒng)更好的達(dá)到效果。然而，要獲得系統(tǒng)的狀態(tài)信息，離不開更多的傳感器，但是同時(shí)也增加了 成本。但是，一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量未必都是物理量，有時(shí)即使是系統(tǒng)的物理量，限于技術(shù)手段，在實(shí)際中仍難以精確測(cè)量到這些相應(yīng)的物理量，導(dǎo)致了很難在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)中精確地使用狀態(tài)反饋控制，故要由具體情況選擇使用。 基礎(chǔ)理論 在現(xiàn)代控制理論中，將狀態(tài)量作為系統(tǒng)輸入量傳輸至系統(tǒng)輸入端同時(shí)表現(xiàn)了現(xiàn)代理論特點(diǎn)的反饋方式，稱為狀態(tài)反饋。狀態(tài)反饋的具體原理是：輸入量和已經(jīng)與反饋系數(shù)相乘的狀態(tài)量相加后，作為系統(tǒng)的新的輸入量重新作用于系統(tǒng)?？墒?，與輸出反饋不同的是，需要得到系統(tǒng)的輸出量即可，狀態(tài)反饋需要測(cè)出很難測(cè)得的狀態(tài)量， 導(dǎo)致了狀態(tài)反饋技術(shù)不易實(shí)施。 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書（論文） 第 10 頁 共 28 頁 圖 系統(tǒng)狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)圖 圖 是多輸入輸出反饋系統(tǒng)，且比較直觀的解析了狀態(tài)反饋。圖中既是一個(gè)常數(shù)也是一個(gè)矩陣的字母 K 通常叫做增益矩陣。隨著科技的不斷進(jìn)步，尤其是發(fā)展了估計(jì)狀態(tài)量理論和檢測(cè)狀態(tài)量理論后（特別是卡爾曼和布什提出的濾波方法），在現(xiàn)實(shí)的操作中得到狀態(tài)量的實(shí)時(shí)觀測(cè)值已近較容易。由此，狀態(tài)反饋方法進(jìn)入了可操作階段 [10]。 狀態(tài)反饋的性質(zhì)： (1) 系統(tǒng)能控制性不會(huì)變化。 (2) 使用狀態(tài)反饋時(shí)需要配置系統(tǒng)極點(diǎn)，當(dāng)其和原系統(tǒng)零點(diǎn)出現(xiàn)相消時(shí)，原來系統(tǒng) 的能觀性會(huì)變化。 (3) 狀態(tài)反饋不會(huì)改變系統(tǒng)的零點(diǎn)位置。且此系統(tǒng)是易操作控制的單個(gè)通道輸入輸出的。 (4) 在使用狀態(tài)反饋時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài) x 務(wù)必是可以容易獲取的是一個(gè)必須要有的前提。前文已經(jīng)提到，系統(tǒng)的狀態(tài)量不易得到，當(dāng)其無法時(shí)就需要重新構(gòu)架系統(tǒng)狀態(tài)。含有動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的輸出反饋的信息由觀測(cè)器獲得，非靜止?fàn)顟B(tài)的反饋。盡管靜態(tài)輸出反饋具有構(gòu)成明了簡單，信息上獲取也沒有任何困難等優(yōu)勢(shì)，但它的缺點(diǎn)在于：此種反饋不能很好地發(fā)揮系統(tǒng)性能，尤其是不能確保閉環(huán)系統(tǒng)完全穩(wěn)定 [11]。 系統(tǒng)在狀態(tài)反饋下可控制性 對(duì) 于多個(gè)變量的線性系統(tǒng)： ? ?,K A BK B C?? () 在任何形如： 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書（論文） 第 11 頁 共 28 頁 (t) r(t) K (t) X (t)u ?? () 的狀態(tài)反饋下，若被控對(duì)象 ? ?0 ,A B C?完全可控。那么對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)，且是狀態(tài)反饋的 ? ?,k A BK B C??也是完全可控的。 系統(tǒng)在狀態(tài)反饋下可觀測(cè)性 由上文已知系統(tǒng)的可控性不會(huì)因?yàn)闋顟B(tài)反饋發(fā)生改變，但是其會(huì)改變系統(tǒng)的可觀