建筑力學(xué)電子教案_扭轉(zhuǎn)-文庫(kù)吧
2025-07-28 11:31 本頁(yè)面
【正文】 現(xiàn)，當(dāng)外加力偶矩在某一范圍內(nèi)時(shí)，切應(yīng)力 與切應(yīng)變 之間成正比。即有 t ?建筑力學(xué)電子教案 理論分析和實(shí)驗(yàn)都表明，對(duì)于各向同性材料，剪切彈性模量與其它兩彈性參數(shù) E和 v 之間存在下列關(guān)系： 泊松比 )1(2 ???EG建筑力學(xué)電子教案 實(shí)心圓截面桿和非薄壁空心圓截面受扭時(shí)，我們沒(méi)有理由認(rèn)為它們橫截面上的切應(yīng)力如同在受扭的薄壁圓筒中那樣是均勻的分布的。 167。 93 圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與變形 1 橫截面上的 切 應(yīng)力 因此首先要確定 切 應(yīng)力在橫截面上的變化規(guī)律，即橫截面上距圓心為任意半徑 的一點(diǎn)處 切 應(yīng)力 tr 與 r 的關(guān)系。 r建筑力學(xué)電子教案 首先 觀察受扭時(shí)，圓桿表面的變形情況，據(jù)此作出涉及桿件內(nèi)部變形情況的假設(shè)， 然后 利用應(yīng)力和應(yīng)變之間的物理關(guān)系，作出涉及桿件內(nèi)部應(yīng)力分布的分析。 最后 用靜力平衡方程得出應(yīng)力與扭矩的關(guān)系。 （ 1）幾何關(guān)系 （ 2）物理關(guān)系 （ 3）靜力學(xué)關(guān)系 建筑力學(xué)電子教案 （ 1） 幾何關(guān)系： 等直圓桿受扭時(shí)，畫(huà)在表面上的圓周線只是繞桿的軸 線轉(zhuǎn)動(dòng)，其大小和形狀都不改變；且在變形較小的情況時(shí)，圓周線的相對(duì)縱向距離也不變。 如下圖，實(shí)驗(yàn)表明： A B a b′ O′ b T T 建筑力學(xué)電子教案 扭轉(zhuǎn)平面假設(shè) 等直桿受扭時(shí)，它的橫截面如同剛性的圓盤(pán)那樣繞桿的 軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。其橫截面上任一根半徑的直線形狀仍然保持為直 線，只是繞圓心旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。 A B a b′ O′ b T T 建筑力學(xué)電子教案 取微段 dx分析：得半徑為 r的任意圓桿面上的切應(yīng)變 ? TM? ?d(a) TMr rd x (1) )dd(d d xxtg ?r?r?? rr ???式中： 是扭轉(zhuǎn)角 Φ 沿 長(zhǎng)度方向的變化率，按平面假設(shè)是常量。這樣，等直圓桿受扭時(shí)， r 與 ?r 成線性關(guān)系。 xdd?建筑力學(xué)電子教案 （ 2） 物理關(guān)系： 由剪切胡克定律： ，在 時(shí)，可把（ 1）式 代入，得： ptt?rr ?t G?)dd( xGG ?r?t rr ??(2) 上式表明：受扭的等直桿在線性彈性范圍內(nèi)工作時(shí)，橫截面上的切應(yīng)力在同一半徑 r的圓周上各點(diǎn)處大小相同，但它們隨 r 作線性變化，同一橫截面上的最大切應(yīng)力在圓周邊緣上（圖 (b))， 方向垂直于各自的半徑。 TM(b) maxtrtr建筑力學(xué)電子教案 . O A B MT 思考題 94： 下圖所示為一由均質(zhì)材料制成的空心圓軸之橫截面，該截面上的扭矩 MT 亦如圖所示，試?yán)L出水平直經(jīng) AB上各點(diǎn)處切應(yīng)力的變化圖。 建筑力學(xué)電子教案 MT A B O 思考題 94參考答案 : 建筑力學(xué)電子教案 一受扭圓軸 ,由實(shí)心桿 1和空心桿 2緊配合而成。整個(gè)桿受扭時(shí)兩部分無(wú)相對(duì)滑動(dòng) ,試?yán)L出切應(yīng)力沿水平直徑的變化圖，若（ 1）兩桿材料相同，即 G1=G2=G；（ 2） 兩材料不同， G1=2G2。 MT 1 2 思考題 95： 建筑力學(xué)電子教案 思考題 95（ 1）答案： MT G1=G2=G 2 1 建筑力學(xué)電子教案 思考題 95（ 2）答案： MT G1=2G2 2 1 建筑力學(xué)電子教案 上式與 MT 沒(méi)有聯(lián)系起來(lái)。 若等截面圓桿在 MT 作用下扭轉(zhuǎn)， t 如何求解？ （ 3） 靜力學(xué)關(guān)系 ： )dd( xGG ?r?t rr ??(2) 建筑力學(xué)電子教案 AM A dT ??? ? rt r)dd( xGG ?r?t rr ??(2) AxGM A ddd 2T ?? r? 積分號(hào)內(nèi)是整個(gè)橫截面面積 A 范圍內(nèi)每個(gè)微面積 dA 乘以它到圓心的距離平方之總和，因此它是一個(gè)幾何量，稱之為橫截面的 極慣性矩 ，常用 Ip 來(lái)表示，即： AI A d2p r??（單位： 或 ） 4m4mm建筑力學(xué)電子教案 即等直圓桿受扭時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處切應(yīng)力的計(jì)算公式。 pTddGIMx ??又 )dd( xGG ?r?t rr ??得 pTIM rtr ? 若求 tmax，則令 r ?r，有 Tm a xpTTp pM r M MIIWrt ? ? ?2Td dd pAdM G A G Ix d x??r??? 故 建筑力學(xué)電子教案 即 Tm a xpMWt ?其中 抗扭截面模量 ppIWr?常用單位： mm3 或 m3 。 上述公式只適用于實(shí)心或空心圓截面等直桿在線性彈性范圍內(nèi)受扭情況。 建筑力學(xué)電子教案 思考題 96 如圖所示為從受扭實(shí)心圓截面桿中，以徑向截面 ABEF取出的分離體（半個(gè)圓柱體）。試?yán)L出 （ 1）橫截面 AGB上應(yīng)力沿直徑 AB的分布； （ 2）徑截面 ABEF上應(yīng)力分別沿直徑 AB、 CD、 EF的 分布。 TME C F D B A G TM建筑力學(xué)電子教案 答案 : E C F D B A G TM TM建筑力學(xué)電子教案 直徑 50mm的鋼圓軸，其橫截面 上的扭矩 MT= kNm，求橫截面上的最大切應(yīng)力。 思考題 97 建筑力學(xué)電子教案 思考題 98 空心圓軸的直徑 d =100 mm， 長(zhǎng) l =1m， 作用在兩個(gè)端面上的外力偶之矩均為 T=14 kNm， 但轉(zhuǎn)向相反。材料的剪切彈性模量 G=8 104 MPa。 求： （ 1）橫截面上的切應(yīng)力。 （ 2）圖示橫截面上 ABC三點(diǎn)處切應(yīng)力的大小及方向。 A B C O 25 建筑力學(xué)電子教案 （ 1） tmax= MPa （ 2） tA=tB=tmax= MPa tC= MPa 思考題 98答案 A B C O 25 建筑力學(xué)電子教案 討論實(shí)心圓截面和空心圓截面。 如圖有 rr dπ2d ???Arrdo 2 極慣性矩 和抗扭截面模量 Wp AI A d2p r??對(duì)于實(shí)心圓截面 32dπ2d42/022pdAIdA?rrrr???????PI建筑力學(xué)電子教案 rrdo 162/3ppddIW ???對(duì)于空心圓截面 （外徑 D， 內(nèi)徑 d） Dd /??式中： )1(32π)(32πdπ2d44442/2/22p?rrrr??????????DdDAIDdA建筑力學(xué)電子教案 千萬(wàn)不要出錯(cuò)！ )1(16π2/ 43pp ????DDIW建筑力學(xué)電子教案 3 扭轉(zhuǎn)角 pddGITx ??xGIT ddp???? ?? ll xGIT0pdd ??前面已經(jīng)導(dǎo)出 即 則 建筑力學(xué)電子教案 若 l 范圍內(nèi)， T 是常量， GIp 也為常量，則上式成為 GIp 越大，扭轉(zhuǎn)角越小，故稱為抗扭剛度。 l ? T T （弧度）pGITl??比較： EAlFl N??建筑力學(xué)電子教案 例 92 一水輪機(jī)的功率為 Nk=7350 kW，其豎軸是直徑為 d =650 mm， 而長(zhǎng)度為 l =6000 mm的等截面實(shí)心鋼軸，材料的剪切彈性模量為 G = 105 MPa。求當(dāng)水輪機(jī)以轉(zhuǎn)速 n = r/min勻速旋轉(zhuǎn)時(shí)，軸內(nèi)的最大切應(yīng)力及軸的兩個(gè)端面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 ?。 O T ?
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