【正文】 立空間直角坐標(biāo)系。其中，圖中虛線表示被遮擋的部分。 第二步：確定桌面圓的方程 根據(jù)問題一中的假設(shè) 1 將桌面圓可以近似為標(biāo)準(zhǔn)圓，因此圓桌的下表面（ xoy 平面 ）的方程為： 2 2 20x y rz? ??? ?? (1) 其中， x 、 y 分別表示圓桌面與直紋曲面的交點。將圖像中所有的像素點導(dǎo)入 CAD中可以求出半徑 cm? 。 第三步：鋼筋所在直線方程的確定 鋼筋在旋轉(zhuǎn)過程中始終平行于 xoz 平面，設(shè)在折疊過程中固定鋼筋的木條與 xoz 平面形成的夾角為 ? ，鋼筋固定點的坐標(biāo)為 ? ?,M x y z ,固定鋼筋的木條長為 l ，桌面圓的半徑為 r ，折疊時坐標(biāo)點與夾角的關(guān)系用 ??f? 表示，即： ? ?? ?12max0yfzfr x r??????? ??? ? ? ??? ??? (2) 在桌子折疊過程中， x 不隨角度改變， yz和 隨角度以及固定鋼筋的木條的長度 l 變化的過程可以表示為： 7 ? ?? ?12sin2cos2lflf????? ????? ??? (3) 因此，鋼筋所在直線的方程最終可以表示為： maxsin2cos20lylzr x r????? ???? ???? ? ??? ??? (4) 第四步：確定直紋面 直紋面上的每根木條同時在鋼筋所在直線的方程上和桌面圓上運動，設(shè)點? ?1 1 1,A x y z 在圓上，點 ? ?2 2 2,B x y z 在鋼筋上同步運動，所以指紋面的方程如下： 1 1 12 1 2 1 2 111x x y y y yx x y z zr x r? ? ?? ???? ? ???? ? ?? (5) 代入 A 、 B 得到： 2211221100 sin sin 022y r xxx zllrxr x r??? ??? ?? ???? ? ???? ? ? ?? (6) 第五步：桌腿上木條相對 z 軸 方向的傾斜角 由于對稱性，我們只考慮 yoz 平面內(nèi) x 軸正向的部分。 設(shè) ix 表示圖 3 中從坐標(biāo) 原點到第 i 根木條的距離。在折疊過程中，考慮最外側(cè)兩跟木條著地的特殊情況，它與地面形成的等腰梯形如下圖所示： NMEFG HB C 圖表 3 木條與地面形成的圖形 8 圖中線段 GH 為兩根鋼筋間的距離， AD 為對稱的兩桌腳點得連線。線段 FE 表示第 i 根木條在圓桌面上的長度 iy ， AF 和 DE 表示第 i 根木條對應(yīng)的桌腿的長度 it 且AF=DE， AD 表示兩對稱桌腳間的距離 l ， FB 表示桌子的高度 h ， FM 的長度為 2h 。圖中 AFB? 即是桌腿木條與 z 軸 方向形成的夾角 ? ，即其傾斜角 。令 AB 的長 度為 k ， GM的長度為 m ，它們之間有如下關(guān)系： 222222602iiiiiiy r xl y ktyk t hkm? ??????? ???????? ?? (7) 木條的傾斜角隨著折疊桌高度的變化而變化，假設(shè)當(dāng)高度為 h 時對應(yīng)的傾斜角為 ? ，則可以建立高度與傾斜角間的關(guān)系式為： maxtan 2hm? ? (8) 最終求出每根木條相對于 相對 z 軸 方向的傾斜角 的表達式： max arctan 2hm? ? (9) 第六步：動 態(tài)方程的最終描述 折疊桌在折疊過程中，桌面圓、直紋面、鋼筋、木條與豎直方向的傾斜角都在相應(yīng)的變化，因此，這四個部分的運動狀態(tài)結(jié)合在一起就是整個折疊桌的運動狀態(tài)模型。 1．處于平板狀態(tài)時鋼筋到桌面邊緣區(qū)間各木條的長度 為方便表述，我們用 幾何畫板 畫出折疊桌處于平板狀態(tài)時的圖形（后文同樣采用幾何畫板畫圖），如下圖所示： BDC NEAF 圖表 4 折疊桌的平板示意圖 9 如圖所示， B 點為處于平板狀態(tài)時鋼筋與其中一條木條的交點（開槽上端點）， A點為折疊到最終狀態(tài)時鋼筋與此木條的交點（開槽下端點），線段 AB 的長度就是對應(yīng)木條的開槽長度。當(dāng)處于平板狀態(tài)時鋼筋與平板的邊緣平行，因此每根木條的上端點到平板邊緣的距離相等，均為線段 BC 的長 度。并且 BC DE EF??。 設(shè)此時鋼筋到桌面邊緣區(qū)間各木條的長度為 1il ， iy 表示第 i 根木條在圓桌面上的長度。 則長度為 1il ： 11 606 0 , 1 , 2 2 02ii yl y i?? ? ? ? (10) 2．折疊到最大程度時鋼筋到桌面邊緣區(qū)間各木條的長度 當(dāng)桌面折疊到最大程度時，鋼筋滑動到每根木條開槽位置的下端點，如 圖 5 在 點 A、B 所在木條上鋼筋從 B 點滑倒 A 點位置，因此，線段 AB的長度就是該木條的開槽長度。折疊到最大程度時，第 i 根木條與豎直方向形成一個夾角 i? 。以 一根木條為例，將它與鋼筋的交點投影到桌面圓上，如圖所示： AC B 圖表 5 木條的投影示意圖 圖中 A 點表示木條上鋼筋所在的位置， C 點表示桌面的邊緣位置，線段 AC 為折疊到最大程度時鋼筋到桌面邊緣區(qū)間該木條的長度， B 點表示 A 點在桌面上的投影。因此CAB ???。當(dāng)折疊到最大程度時，鋼筋到桌面的距離即 AB 的長度為桌面高度的一半。設(shè) 折疊到最大程度時鋼筋到桌面邊緣區(qū)間每根木條的長度為 1il ，則： 2 25 , 1, 2 2 0c o si ili??? (11) 3．每根木條的開槽長度 設(shè)每根木條的開槽長度為 l ，則： 21, 1, 2 2 0iil l l i? ? ? (12) 桌腳邊緣線有兩個特點： 在直紋面上； 10 桌腳邊緣線上與桌面圓上對應(yīng)的點在一條直線上； 兩點間距離等于對應(yīng)桌腿的長度，且每根桌腿長度與對應(yīng)的桌面上木條長度的一半之和為定長 60cm 。 首先取桌面圓上一點 ? ?1 1 1 1,A x y z ，該點在直紋面上對應(yīng)直線與鋼筋的交點為 ? ?2 2 2 2,A x y z ，則兩點間 直線的 方程為： 1 1 12 1 2 1 2 1x x y y z zx x y y z z? ? ???? ? ? (13) 其中， 21xx? ， 22111 0y r xz?? ??? ???， 22sin2cos2lylz??? ????? ??? 取求出的直線與桌腳邊緣線的交點為 ? ?3 3 3 3,A x y z ，因此 13AA和 兩點間的距離 d 等于對應(yīng)桌腿的長度： ? ? ? ? ? ?2223 1 3 1 3 1d x x y y y y? ? ? ? ? ? (14) 并且桌腿上每根木條滿足條件： 1 60dy?? 。 因此 桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述 可以表示為 ： 221122122110 sin c o s2260y r xxx zllrxd r xr x r??? ???? ??? ????? ? ? ??? ? ? ?? (15) 其中 1r x r? ? ? 表示 1x 在取值范圍內(nèi)的變化形成的直線簇。 簡化模型： 本題通過對創(chuàng)意平板折疊桌的平板尺寸進行研究計算參數(shù)，根據(jù)全文假設(shè) 3，在實際描述數(shù)學(xué)模型中，將木板厚度忽略，達到簡化數(shù)學(xué)描述模型的目的，使得計算表達該模型更為簡單 。 計算思想： 通過圓標(biāo)準(zhǔn)方程計算坐標(biāo) y值和勾股定理揭示了直角三角形三邊關(guān)系的重要性質(zhì)的應(yīng)用，得到具有具體參數(shù)的描述模型，進而分別計算出折疊桌的設(shè)計加工參數(shù) （即桌腿木條開槽長度）和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述。 11 由于進行了簡化模型將木條看做線條，故利用 plot3 進行三維作圖。 計算步驟： 開槽長度： 在問題一假設(shè) 2 的前提下可計算以下步驟，得到開槽長度。 Step 1： 以模型準(zhǔn)備中的坐標(biāo)軸建立最終狀態(tài)的坐標(biāo)軸即折疊桌狀態(tài)，易得圓桌每根木條 x軸的坐標(biāo)點，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得圓桌上每根木條的長度 u 。 Step 2：由題中給出長方形平板尺寸具體數(shù)值，用長度分別減去每根木條長度，得到兩根桌腿長度，除以 2 得到每根桌腿長度 l 。 Step 3：根據(jù) Step 1 中得到最外側(cè)木頭長度又已知折疊后桌子高度，可以計算出鋼筋垂直高度 2h （即為桌子高度一半），進而由勾股定理求得兩鋼筋水平距離 2 (10)mu? 。 Step 4：由于鋼條固定后不會再變動故鋼筋垂直距離不會改變，現(xiàn)在已知直角邊高度 h和長度 m分別用勾股定理求出此鋼筋沿木條開槽滑動后長度。 Step 5：將折疊桌放回木板狀態(tài)，鋼筋初始位置可由每根木 條長度和最外側(cè)木條一般的差表示。 Step 6：用 Step 4 中 鋼筋沿木條開槽滑動后長度 減去 Step 5 中 鋼筋 初始位置 ，得到開槽長度。 動態(tài)變化過程圖示： 通過 matlab 編程 [6]求得此折疊桌動態(tài)變化過程。運行環(huán)境見附錄 1，程序見附錄 2。 圖表 6 最終狀態(tài)的折疊桌 (左 )動態(tài)變化過程 (右 ) 該折疊桌的開槽長度： 由于兩組桌腿對稱，一下只給出單邊桌腿木條開槽長度。程序見附錄 3 12 表格 1 折疊桌單邊木條開槽 長度 X 坐標(biāo)（ +） 5 10 15 20 25 開槽長度 0 X 坐標(biāo)（ ） 5 10 15 20 25 開槽長度 0 有用性分析 ——用 數(shù)據(jù)驗證動態(tài)模擬 題中通過建立模型描述折疊桌動態(tài)變化過程，方程的參數(shù)變化導(dǎo)致各個簡化數(shù)據(jù)點的變化，因此我們通過桌腳邊緣方程數(shù)據(jù)可以進行動態(tài)模擬驗證所建立的數(shù)學(xué)描述模型正確和有用性，模擬圖見圖 5。 基于分層序列法的折疊桌最有加工參數(shù)的確定 ——問題二 設(shè)計折疊桌時，折疊桌的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)（鋼筋位置、平板尺寸、開槽長度）會影響折疊桌的穩(wěn)固性，用材量以及加工的方便性。 在固定鋼筋的桌腿木條上，以桌腿木條長度 y 和鋼筋到木條底端長度 x 為 決策變量 ，以 產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便以及用材最少為目標(biāo)函數(shù) ， 但是考慮到鋼筋位置在最外側(cè)木條上的位置會在一定的范圍內(nèi)，因此應(yīng)該確定以鋼筋位置和折疊桌最外側(cè)桌腳長度的變化范圍為 約束條件 的多目標(biāo)規(guī)劃模型，根據(jù)分層序列法原理，確定了穩(wěn)固性最重要，用材最少次之，加工方便最后，根據(jù)分層序列法原理，確定所有的在分層序列的意義下確定最優(yōu)參數(shù)。 多目標(biāo)規(guī)劃 模型 （ 1） 穩(wěn)固性好的單目標(biāo)規(guī)劃模型： 決策變量的確定： 折疊桌在設(shè)計時，折疊桌的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)會影 響折疊桌的穩(wěn)固性，然而這些設(shè)計參數(shù)都和鋼筋的位置以及折疊桌高度有關(guān)，所以我們以 鋼筋固定位置到木條底端位置的長度 x 、固定鋼筋的桌腿長度 y 為決策變量。 約束條件的確定： 將折疊桌投影到 xoy 平面內(nèi)得到的圖形如下： 13 MPNFEGAJCIBK D 圖表 7 平板最外側(cè)木條與地面形成的圖形 由于對稱性，我們只討論圖中左側(cè)部分。圖中 K 點為 固定鋼筋的位置點 ， IM 的長度為半徑 r ,AP 與 PC 形成的角 APC ???即為木條的傾斜角， AG 的長度為 x ，桌腿的長度 AP 為 y ，桌面圓上最外側(cè)木條的長度為 2u PM? ,設(shè) , AB, , NDKG GN 的長度分別為： , , ,KG AB GN NDd d d d且 KG GN NDd d d r? ? ?。鋼筋有最外邊的木條固定，因此鋼筋必須在木條上，可以轉(zhuǎn)化為鋼筋固定位置到木條底端位置的長度不能超過固定鋼筋的桌腿木條的長度 y 。已知等邊三角形的穩(wěn)定性最好，當(dāng)傾斜角大于 3? 時，固定性降低。即： 122sinhyr x xyhy ???? ???? ?? ??? (16) 其中， 1x 滿足方程 ? ? ? ?? ?222c o s22r u x l rx r u? ? ? ? ? ??????? ??? ，式中