【正文】 四層 住房 B 180 5500 西 甲 七層 住房 C 150 4000 東 乙 三層 例 1：住房選擇（決策空間是離散的） 確定各目標最理想和最不理想的值，將各目標進行歸一化處理。最理想的值為 1，最不理想的值為 0，將各決策方案的實際目標值轉化為 0～ 1之間的值。 面積（ m2） 單價（元 /m2） 朝向 地段 樓層 最好 200 () 3000 () 南 () 甲 () 三層 () 最差 75 () 6000 () 北 () 丁 () 一層 () 實際指標 A 200 4800 南 丙 四層 B 180 5500 西 甲 七層 C 150 4000 東 乙 三層 歸一化 A B C 確定各目標的權重 設目標重要性由大到小依次為：單價 — 面積 — 地段 —朝向 — 樓層確定目標權重 ?1 +?2 + ?3 + ?4 + ?5=1， 1 ?1 ?2 ?3 ?4 ?50 計算各方案的評價指標 F(X)=? ?4fi(X)，評價指標最高的為最優(yōu)決策。 例如，設五個目標的權重分別為： 面積（ m2） 單價（元 /m2） 朝向 地段 樓層 目標權重 面積（ m2） 單價（元 /m2） 朝向 地段 樓層 評價值 目標權重 住房 A 住房 B 住房 C * 住房 A 200 4800 南 丙 四層 住房 B 180 5500 西 甲 七層 住房 C 150 4000 東 乙 三層 根據評價值，選擇住房 C是最優(yōu)決策。線性加權法的缺點是各目標的權重完全由主觀確定，而權重的選取對決策結果起著十分關鍵的作用。 優(yōu)點 ?方便直觀，簡單易行 ?可以利用豐富的單目標決策方法和軟件 缺點 ?權重的確定完全靠決策者主觀判斷 ?對不同量綱的目標，合成以后的目標實際意義不明 線性加權法的優(yōu)缺點 層次分析法 （ AHP） 層次分析法是由 T. L. Saaty提出的一種確定多目標決策中各目標的權重的方法，不僅在多目標決策中有重要作用，在管理以外的其它學科也有許多應用。 在多目標決策中，各目標的權重對分析結果具有重要影響，但權重的確定比較困難。層次分析法的基礎是目標的分層和對同一層次的各目標的重要性進行兩兩比較，使確定各目標的權重的任務具有可操作性。 矩陣的特征向量和特征根 設 A是 nn非奇異的矩陣，如果存在一個實數 ??0和一個 n1的非零向量 V，滿足 AV= ?V，則稱 V為矩陣 A的特征向量， ?為矩陣 A的一個特征根。 ?????????3254A的特征根。是矩陣的特征向量是矩陣A21A25V11V2121?????????????????????111 V11111113254AV ????????????????????????????????? ??? ???????????????? 25V11V21對于向量 112 V2524102532 54 ?????????????????? ???????????????? ???由線性代數可知，方程組 AV= ?V 即 (A ? I)V=0有非零解的條件是系數行列式 | A ? I |=0。其中 I 為單位矩陣。 例如 展開行列式 (4 ?)(3 ?)+10=0， ?2＋ ?－ 2＝ 0 求解二次方程，得到矩陣的特征根 ?1＝ 1， ?2＝－ 2 對于高階矩陣，用行列式計算特征根需要求解高次方程，計算比較復雜，可以采用疊代法。 ?????? ???3254A 0325410013254|IA| ???????????????矩陣特征根的計算 判斷矩陣特征向量和特征根的疊代算法 ??????????????????????????13/4424/3132/34/13/112/12/13/221A??????????????????????????4/14/14/14/1W 0???????????????????????????????????????????????????AW 01 歸一化為任取一個初始 n1向量 計算 112 WAWW ????????????????????????????????????????已經收斂。因此判斷矩陣的特征向量 ?????????????W并且 ?max=1 ??????????????????????????14/132/1415/123/1513/122/131A??????????????????????????4/14/14/14/1W 0???????????????????????????????????????????????????AWW 01 歸一化為???????????????????????????????????????????????????AWW 12 歸一化為???????????????????????????????????????????????????AWW 23 歸一化為???????????????????????????????????????????????????AWW 34 歸一化為??????????????????????????wwwwW4321特征向量為 求特征向量和特征根的近似方法 將每一列相加，得到： ????????????????????????????????????????????????????????????????1421531321???????????????????????????????????????????????????14/132/1415/123/1513/122/131A??????????????????????????wwwwW4321特征向量為 歸一化 層次分析法原理 ???n1iiwW顯然， n個物體歸一化重量之和等于 1。 如果已知這 n個物體總量兩兩比較的值，能否求出它們（歸一化）的重量？ 設 n個物體，重量分別為 w1， w2， …， wn，總重量為 n,2,1iWww ii ???將每一個物體的重量除以 n個物體的總重量稱為這個物體的 “歸一化 ”重量。 設 n個物體重量的兩兩比較矩陣如下 ?????????????nn2n1nn22212n12111w/ww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/wA????????????????????13/4424/3132/34/13/112/12/13/221A例如，四個物體的重量為 w1=2, w2=1, w3=3,w4=4（公斤） 它們的總重量 W=10公斤 四個物體兩兩比較的判斷矩陣為 這個矩陣具有以下特點： ? 對角線上的元素 aii=1 （ i=1,2,…,n ） ? 以對角線對稱的元素互為倒數 aij=1/aji （ i,j=1,2,…,n ） ? 各物體之間的相對重量比值是一致的 aij=aik/ajk （ i,j=1,2,…,n ） ? n個物體歸一化的重量組成的向量是判斷矩陣的一個特征向量，對應的最大特征根 ?max=n。 Wnwwwnwnwnwnwwww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/ww/wWAnnnnnnnnn??????????????????????????????????????????????????????????????????????212121212221212111因此，只要給出判斷矩陣，就可以求出 n個物體的歸一化重量。 同樣，在多目標決策中，如果能給出各目標重要性兩兩比較的判斷矩陣，就可以求出這些目標（歸一化）的相對重要性。 設目標 C由 n個元素 A1， A2， … ， An組成，對這 n個元素相對于目標 C的重要性作兩兩比較，構成以下判斷矩陣： C A1 A2 … An A1 a11 a12 … a1n A2 a21 a22 … a2n … … … … …