北師大版九下從梯子的傾斜程度談起2課時(已改無錯字)
2023-01-21 08:29:42 本頁面
【正文】 角的對邊與鄰邊之比定義了正切 . 現(xiàn)在 我們提出兩個問題： [問題 1]當直角三角形中的銳角確定之后，其他邊之間的比也確定嗎 ? [問題 2]梯子的傾斜程度與這些比有關(guān)嗎 ?如果有，是怎樣的關(guān)系 ? Ⅱ .講授新課 、余弦及三角函數(shù)的定義 多媒體演示如下內(nèi)容： 想一想：如圖 (1)直角三角形 AB1C1 和直角三角形 AB2C2有 什么關(guān)系 ? (2) 2111 22BACABACA 和 有什么 關(guān)系 ? 211 2BABCBABC 和 呢 ? (3)如果改變 A2在梯子 A1B上的位置呢 ?你由此可 得出 什么結(jié)論 ? (4)如果改變梯子 A1B的傾斜角的 大小呢 ?你由此又可得出什么結(jié)論 ? 請同學們討論后回答 . [生 ]∵ A1C1⊥ BC1， A2C2⊥ BC2， ∴ A1C1//A2C2. ∴ Rt△ BA1C1∽ Rt△ BA2C2. 2111 22BACABACA 和 211 2BABCBABC 和 (相似三角形對應邊成比例 ). 由于 A2是梯子 A1B上的任意 — 點，所以，如果改變 A2在梯子 A1B上的位置，上述 結(jié)論仍成立 . 由此我們可得出結(jié)論：只要梯子的傾斜角確定，傾 斜角的對邊 .與斜邊的比值，傾斜角 的鄰邊與斜邊的比值隨之確定 .也就是說，這一比值只與傾斜角有關(guān)，而與直角三角形大 小無關(guān) . [生 ]如果改變梯子 A1B的傾斜角的大小，如虛線的位置，傾斜角的對邊與斜邊的比 值，鄰邊與斜邊的比值隨之改變 . [師 ]我們會發(fā)現(xiàn)這是一個變化的過程 .對邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值都隨著傾斜角的改變而改變，同時，如果給定一個傾斜角的值，它的對邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值是唯一確定的 .這是一種什么關(guān)系呢 ? [生 ]函數(shù)關(guān)系 . [師 ]很好 !上面我們有了和定 義正切相同的 基礎，接著我們類比正切還可以有如下定義： (用多媒體演示 ) 在 Rt△ ABC 中，如果銳角 A確定，那么∠ A 的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定 .如圖，∠ A的對邊與鄰邊的比叫做∠ A的正弦 (sine)，記作 sinA，即 sinA＝斜邊的對邊A? ∠ A的鄰邊與斜邊的比叫做∠ A的余弦 (cosine)，記作 cosA，即 cosA=斜邊的鄰邊A? 銳角 A的正弦、余弦和正切都是∠ A的三角函數(shù) (trigonometricfunction). [師 ]你能用自己的語言解 釋一下你是如何理解“ sinA、 cosA、 tanA都是之 A 的三角函數(shù)”呢 ? [生 ]我們在前面已討論過，當 直角三角形中的銳角 A確定時 .∠ A的對邊與斜邊的比值，∠ A的鄰邊與斜邊的比值，∠ A的對邊與鄰邊的比值也都唯一確定 .在“∠ A的三角函數(shù)”概念中，∠ A 是自變量，其取值范圍是 0176。 A90176。；三個比值是因變量 .當∠ A 變化時，三個 比值也分別有唯一確定的值與之對應 . sinA和 cosA的關(guān)系 [師 ]我 們上一節(jié)知道了梯子的傾斜程度與 tanA 有關(guān)系： tanA 的值越大，梯子越陡 .由此我們想到梯子的傾斜程度是否也和 sinA、 cosA有關(guān)系呢 ?如果有關(guān)系，是怎樣的關(guān)系 ? [生 ]如圖所示， AB＝ A1B1， 在 Rt△ ABC中， sinA=ABBC ，在 Rt△ A1B1C中， sinA1=111BACB . ∵ ABBC ＜111BACB , 即 sinAsinA1，而梯子 A1B1比梯子 AB陡， 所以梯子的傾斜程度與 sinA有關(guān)系 .sinA的值越大，梯子越陡 .正弦值也能反映梯子的傾斜程度 . [生 ]同樣道理 cosA=ABAC cosA1＝111BACA , ∵ AB=A1B1 ABAC ＞111BACA 即 cosAcosA1， 所以梯子的傾斜程度與 cosA也有關(guān)系 .cosA的值越小，梯子越陡 . [師 ]同學們分析得很棒，能夠結(jié)合圖形分析就更為妙哉 !從理論上講正弦和余弦都可以刻畫梯子的傾斜程度，但實際中通常使用正切 . 多媒體演示 . [例 1]如圖，在 Rt△ ABC 中，∠ B=90176。， AC＝ ＝ ，求 BC 的長 . 分析： sinA 不是“ sin”與“ A”的乘積， sinA 表示∠ A 所在直角三角形它的對邊與斜邊的比值，已知 sinA＝ ， ACBC ＝ . 19 解：在 Rt△ ABC中，∠ B＝ 90176。， AC＝ 200. sinA＝ ，即 =ACBC， BC＝ AC ＝ 200 =120. 思考： (1)cosA＝ ? (2)sinC＝？ cosC＝ ? (3)由上面計算，你能猜想出什么結(jié)論 ? 解：根據(jù)勾股定理，得 AB＝ 2222 120200 ??? BCAC =160. 在 Rt△ ABC中， CB＝ 90176。 . cosA＝ 54202160 ??ACAB ＝ ，
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