論結(jié)合教學(xué)案例探析高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)(已改無錯(cuò)字)
2024-10-13 18 本頁面
【正文】 取知識、發(fā)展能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過程?！罢叶ɡ怼笔侨罩破胀ǜ呒壷袑W(xué)教科書(試驗(yàn)修訂本)數(shù)學(xué)第一冊(下)的教學(xué)內(nèi)容之一，既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延伸，也是三角函數(shù)一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運(yùn)用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。本次課的主要任務(wù)是引入并證明正弦定理，我們希望通過本課題探索情境教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用方法和效果。一、教學(xué)設(shè)計(jì)創(chuàng)設(shè)一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題情境作為提出問題的背景；啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實(shí)問題，逐步將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學(xué)問題，解決過渡性問題時(shí)需要使用正弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問題的動(dòng)機(jī)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將過渡性問題引伸成一般的數(shù)學(xué)問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角及第三邊。解決這兩個(gè)問題需要先回答目標(biāo)問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關(guān)系？為了解決提出的目標(biāo)問題，引導(dǎo)學(xué)生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后引導(dǎo)學(xué)生對猜想進(jìn)行驗(yàn)證。二、教學(xué)過程設(shè)置情境 利用投影展示：一條河的兩岸平行，河寬d=1km，因上游突發(fā)洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及人員用船轉(zhuǎn)運(yùn)到正對岸的碼頭B處或其下游1 km的碼頭C處。已知船在靜水中的速度∣vl∣= 5 km∕h，水流速度∣v2∣=3 km∕h。提出問題師：為了確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案，請同學(xué)們設(shè)身處地地考慮一下有關(guān)的問題，將各自的問題經(jīng)小組(前后4人為一小組)匯總整理后交給我。待各小組將題紙交給老師后，老師篩選幾張有代表性的題紙通過投影向全班展示，經(jīng)大家歸納整理后得到如下的5個(gè)問題：(l)船應(yīng)開往B處還是C處？(2)船從A開到B、C分別需要多少時(shí)間？(3)船從A到B、C的距離分別是多少？(4)船從A到B、C時(shí)的速度大小分別是多少？(5)船應(yīng)向什么方向開，才能保證沿直線到達(dá)B、C？ 師：大家討論一下，應(yīng)該怎樣解決上述問題？大家經(jīng)過討論達(dá)成如下共識：要回答問題(l)，需要解決問題(2)，要解決問題(2)，需要先解決問題(3)和(4)，問題(3)用直角三角形知識可解，所以重點(diǎn)是解決問題(4)，問題(4)與問題(5)是兩個(gè)相關(guān)問題，因此，解決上述問題的關(guān)鍵是解決問題(4)和(5)。師：請同學(xué)們根據(jù)平行四邊形法則，先在練習(xí)本上做出與問題對應(yīng)的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。生：船從A開往B的情況如圖2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小∣v∣及vl與v2的夾角θ：生：船從A開往C的情況如圖3，∣AD∣=∣v1∣= 5，∣DE∣=∣AF∣=∣v2∣=3，易求得∠AED = ∠EAF = 450，還需求θ及v。我不知道怎樣解這兩個(gè)問題，因?yàn)橐郧皬奈唇膺^類似的問題。師：請大家想一下，這兩個(gè)問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是什么？部分學(xué)生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。師：請大家討論一下，如何解決這兩個(gè)問題？ 生：在已知條件下，若能知道三角形中兩條邊與其對角這4個(gè)元素之間的數(shù)量關(guān)系，則可以解決上述問題，求出另一邊的對角。生：如果另一邊的對角已經(jīng)求出，那么第三個(gè)角也能夠求出。只要能知道三角形中兩條邊與其對角這4個(gè)元素的數(shù)量關(guān)系，則第三邊也可求出。生：在已知條件下，如果能知道三角形中三條邊和一個(gè)角這4個(gè)元素之間的數(shù)量關(guān)系，也能求出第三邊和另一邊的對角。師：同學(xué)們的設(shè)想很好，只要能知道三角形中兩邊與它們的對角間的數(shù)量關(guān)系，或者三條邊與一個(gè)角間的數(shù)量關(guān)系，則兩個(gè)問題都能夠順利解決。下面我們先來解答問題：三角形中，任意兩邊與其對角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？解決問題師：請同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問題時(shí)，是怎樣處理的？ 眾學(xué)生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中試探一下。師：請各小組研究在Rt△ABC中，任意兩邊及其對角這4個(gè)元素間有什么關(guān)系？多數(shù)小組很快得出結(jié)論：a／sinA = b／sinB = c／sinC。師：a／sinA = b／sinB = c／sinC在非Rt△ABc中是否成立？眾學(xué)生：不一定，可以先用具體例子檢驗(yàn)。若有一個(gè)不成立，則否定結(jié)論；若都成立，則說明這個(gè)結(jié)論很可能成立，再想辦法進(jìn)行嚴(yán)格的證明。師：這是個(gè)好主意。請每個(gè)小組任意做出一個(gè)非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各邊的長和各角的大小，用計(jì)算器作為計(jì)算工具，具體檢驗(yàn)一下，然后報(bào)告檢驗(yàn)結(jié)果。幾分鐘后，多數(shù)小組報(bào)告結(jié)論成立，只有一個(gè)小組因測量和計(jì)算誤差，得出否定的結(jié)論。教師在引導(dǎo)學(xué)生找出失誤的原因后指出：此關(guān)系式在任意△ABC中都能成立，請大家先考慮一下證明思路。生：想法將問題轉(zhuǎn)化成直角三角形中的問題進(jìn)行解決。生：因?yàn)橐C明的是一個(gè)等式，所以應(yīng)先找到一個(gè)可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系。師：在三角形中有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系呢？ 學(xué)生七嘴八舌地說出一些等量關(guān)系，經(jīng)討論后確定如下一些與直角三角形有關(guān)的等量關(guān)系可能有利用價(jià)值：三角形的面積不變；三角形同一邊上的高不變；三角形外接圓直徑不變。師：據(jù)我所知，從AC+CB=AB出發(fā)，也能證得結(jié)論，請大家討論一下。生：要想辦法將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。生：利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。生：還要想辦法將有三個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成兩個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式。生：因?yàn)閮蓚€(gè)垂直向量的數(shù)量積為0，可考慮選一個(gè)與三個(gè)向量中的一個(gè)向量(如向量AC)垂直的向量與向量等式的兩邊分別作數(shù)量積。師：同學(xué)們通過自己的努力，發(fā)現(xiàn)并證明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意兩邊與其對角的關(guān)系，請大家留意身邊的事例，正弦定理能夠解決哪些問題。三、教學(xué)總結(jié)在本課的教學(xué)中，教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問題、解決問題、應(yīng)用反思的過程，學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，知識目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實(shí)。創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境是這種教學(xué)模式的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，教師必須對學(xué)生的身心特點(diǎn)、知識水平、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)等因素進(jìn)行綜合考慮，對可用的情境進(jìn)行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。這種教學(xué)模式主張以問題為連線組織教學(xué)活動(dòng)，以學(xué)生作為提出問題的主體，因此，如何引導(dǎo)學(xué)生提
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