北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)13全稱量詞與存在量詞、邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”(已改無錯(cuò)字)
2022-12-31 18:07:29 本頁面
【正文】 ， x22 x ＋ 1 C ．存在 x ∈ R ， x2＋ x ＝－ 1 D ．任意的 x ∈ (π2， π) ， tan x sin x [ 答案 ] B [ 解析 ] sin x ＋ c os x ＝ 2 sin( x ＋π4) ，當(dāng) x ∈ [0 ，π2] 時(shí)， 2 sin( x＋π4) ∈ [1 ， 2 ] ，所以 A 錯(cuò)；當(dāng) x 3 時(shí)， x2－ 2 x － 1 ＝ ( x － 1)2－2 0 ，所以 B 正確；對(duì)方程 x2＋ x ＋ 1 ＝ 0 的判別式 Δ ＝ 12－ 4 ＝－ 3 0 ，所以不存在 x ∈ R 使 x2＋ x ＝－ 1 ，故 C 錯(cuò)；當(dāng) x ∈ (π2，π) 時(shí)， sin x 0 ， tan x 0 故 D 錯(cuò) . 全稱命題與特稱命題的否定 寫出下列命題的否定，并判斷其真假． ( 1) p ： ? x ∈ R ， x2－ x ＋14≥ 0 ； ( 2) q ：所有的正方形都是矩形； ( 3) r ： ? x0∈ R ， x20＋ 2 x0＋ 2 ≤ 0 ； ( 4) s ：至少有一個(gè)實(shí)數(shù) x0，使 x30＋ 1 ＝ 0. [ 思路分析 ] 改變量詞 ，否定結(jié)論，寫出命題的否定；判斷命題的真假． [ 規(guī)范解答 ] (1) 綈 p ： ? x0∈ R ， x20－ x0＋140 ，假命題． (2) 綈 q ：至少存在一個(gè)正方形不是矩形，假命題． (3) 綈 r ： ? x ∈ R ， x2＋ 2 x ＋ 2 0 ，真命題． (4) 綈 s ： ? x ∈ R ， x3＋ 1 ≠ 0 ，假命題． [ 方法總結(jié) ] ( 1) 全 ( 特 ) 稱命題的否定與命題的否定有著一定的區(qū)別，全 ( 特 ) 稱命題的否定是將其全稱量詞改為存在量詞 ( 或存在量詞改為全稱量詞 ) ，并把結(jié)論否定；而命題的否定則是直接否定結(jié)論即可． ( 2) 要判斷 “ 綈 p ” 命題的真假，可以直接判斷，也可以判斷 p 的真假，因?yàn)?p 與 綈 p 一真一假． ( 3) 常見詞語的否定形式有： 原語句 是 都是 至少有一個(gè) 至多有一個(gè) 對(duì)任意 x ∈ A使 p ( x ) 真 否定 形式 不是 不都是 ≤ 一個(gè)也沒有 至少有兩個(gè) 存在 x0∈ A使 p ( x0) 假 寫出下列命題的否定，并判斷真假． ( 1) p ： ? x ∈ R ， x 不是 3 x － 5 ＝ 0 的根． ( 2) q ：有些合數(shù)是偶數(shù)． ( 3) r ： ? x0∈ R ， | x0－ 1 | 0. [ 解析 ] ( 1) 綈 p ： ? x0∈ R ， x0是 3 x － 5 ＝ 0 的根，真命題． ( 2) 綈 q ：每一個(gè)合數(shù)都 不是偶數(shù)，假命題． ( 3) 綈 r ： ? x ∈ R ， | x － 1| ≤ 0 ，假命題 . 邏輯聯(lián)結(jié)詞、全 ( 特 ) 稱命題有關(guān)的參數(shù)問題 已知 a 0 ，設(shè)命題 p ：函數(shù) y ＝ ax在 R 上單調(diào)遞增；命題 q ：不等式 ax2－ ax ＋ 1 0 對(duì)任意 x ∈ R 恒成立．若 p且 q 為假， p 或 q 為真，求 a 的取值范圍． [ 思路分析 ] 可先求每個(gè)命題為真時(shí)，相應(yīng) a 的取值范圍，再根據(jù) p 、 q 之間的關(guān)系確定 a 的取值范圍． [ 規(guī)范解答 ] ∵ y ＝ ax在 R 上單調(diào)遞增， ∴ p ： a 1 ； 又不等式 ax2－ ax ＋ 1 0 對(duì) ? x ∈ R 恒成立， ∴ Δ 0 ， 即 a2－ 4 a 0 ， ∴ 0 a 4 ， ∴ q ： 0 a 4. 而命題 p 且 q 為假， p 或 q 為真，那么 p 、 q 中有且只有一個(gè)為真，一個(gè)為假． ( 1) 若 p 真， q 假，則 a ≥ 4 ； ( 2) 若 p 假， q 真，則 0 a ≤ 1. 所以 a 的取值范圍為
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