【正文】 一象限，且與坐標(biāo)軸交于 D， E，當(dāng) DE 長(zhǎng)最小時(shí)，求直線 l 的方程； （ 3）設(shè) M， P 是圓 O 上任意兩點(diǎn)，點(diǎn) M 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 N，若直線 MP、NP 分別交于 x 軸于點(diǎn)（ m， 0）和（ n， 0），問(wèn) mn 是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 JE：直線和圓的方程的應(yīng)用； J8：直線與圓相交的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）求出 O 點(diǎn)到直線 x﹣ y+1=0 的距離，進(jìn)而可求圓 O 的半徑，即可得到圓 O 的方程； （ 2）設(shè)直線 l 的方程，利用直線 l 與圓 O 相切，及基本不等式，可求 DE 長(zhǎng)最小時(shí)，直線 l 的方程； （ 3）設(shè) M（ x1， y1）， P（ x2， y2），則 N（ x1，﹣ y1）， ， ，求出直線 MP、 NP 分別與 x 軸的交點(diǎn)，進(jìn)而可求 mn 的值． 【解答】 解：（ 1）因?yàn)?O 點(diǎn)到直線 x﹣ y+1=0 的距離為 ， 所以圓 O 的半徑為 ， 故圓 O 的方程為 x2+y2=2． （ 2）設(shè)直線 l 的方程為 ，即 bx+ay﹣ ab=0， 由直線 l 與圓 O 相切，得 ，即 ， ， 當(dāng)且僅當(dāng) a=b=2 時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線 l 的方程為 x+y﹣ 2=0． （ 3）設(shè) M（ x1， y1）， P（ x2， y2），則 N（ x1，﹣ y1）， ， ， 直線 MP 與 x 軸交點(diǎn) ， ， 直線 NP 與 x 軸交點(diǎn) ， ， = ==2， 故 mn 為定值 2． 19．已知函數(shù) f（ x） =alnx（ a∈ R）． （ Ⅰ ）若函數(shù) g（ x） =2x+f（ x）的最小值為 0，求 a 的值； （ Ⅱ ）設(shè) h（ x） =f（ x） +ax2+（ a2+2） x，求函數(shù) h（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ Ⅲ ）設(shè)函數(shù) y=f（ x）與函數(shù) u（ x） = 的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)為 P，若過(guò)點(diǎn) P有且僅有一條公切線，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)及實(shí)數(shù) a 的值． 【考點(diǎn)】 6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的 最值； 6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 【分析】 （ Ⅰ ）函數(shù)整理為 g（ x） =alnx+2x，求導(dǎo)，由題意可知，函數(shù)的最小值應(yīng)在極值點(diǎn)處取得，令 f′（ x） =0，代入求解即可； （ Ⅱ ）函數(shù)整理為 h（ x） =alnx+ax2+（ a2+2） x，求導(dǎo)得 h′（ x），對(duì)參數(shù) a 進(jìn)行分類討論，逐一求出單調(diào)區(qū)間； （ Ⅲ ）設(shè)出公共點(diǎn)坐標(biāo) P（ m， n）的坐標(biāo)，求出坐標(biāo)間的關(guān)系，得到 lnm﹣ m+1=0，通過(guò)討論函數(shù) ω（ x） =lnm﹣ m+1 的單調(diào)性解方程即可． 【解答】 解：（ Ⅰ ） g（ x） =f（ x） +2x=alnx+2x，（ x＞ 0）， g′（ x） = +2， a≥ 0 時(shí)， g′（ x） ＞ 0，函數(shù)在（ 0， +∞ ）遞增，無(wú)最小值， a＜ 0 時(shí)， g′（ x） = ，令 g′（ x） ＞ 0，解得： x＞ ﹣ ，令 g′（ x） ＜ 0，解得：0＜ x＜ ﹣ ， ∴ 函數(shù) g（ x） =f（ x） +2x 在（ 0，﹣ ）遞減，在（﹣ ， +∞ ）遞增， 故函數(shù)在 x=﹣ 處取得最小值， ∴ aln（﹣ ）﹣ a=0，解得： a=﹣ 2e； （ Ⅱ ） h（ x） =f（ x） +ax2+（ a2+2） x =alnx+ax2+（ a2+2） x， ∴ h′（ x） = ， 當(dāng) a=0 時(shí)， h（ x） =2x，定義域內(nèi)遞增； 當(dāng) a≠ 0 時(shí)， 令 h′（ x） =0， ∴ x=﹣ 或 x=﹣ ， 當(dāng) a＞ 0 時(shí)， h′（ x） ＞ 0， h（ x）定義域內(nèi)遞增； 當(dāng) a＜ 0 時(shí)，當(dāng) a＞ ﹣ 時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為（ 0，﹣ ），（﹣ ， +∞ ），減區(qū)間 為（﹣ ，﹣ ）； 當(dāng) a＜ ﹣ 時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為（ 0，﹣ ），（﹣ ， +∞ ），減區(qū)間為（﹣ ，﹣ ）； 當(dāng) a=﹣ 時(shí)，定義域內(nèi)遞增． （ Ⅲ ） a= 符合題意，理由如下：此時(shí) P（ 1， 0） 設(shè)函數(shù) f（ x）與 u（ x）上公共點(diǎn) P（ m， n）， 依題意有 f（ m） =u（ m）， f′（ m） =u′（ m）， 即 ， ?得到 lnm﹣ m+1=0，構(gòu)造函數(shù) ω（ x） =lnm﹣ m+1， （ x＞ 0） ω′（ x） = ，可得函數(shù) ω（ x）在（ 0， 1）遞增，在（ 1， +∞ ）遞減，而 ω（ 1）=0 ∴ 方程 lnm﹣ m+1=0 有唯一解，即 m=1， a= 20．已知數(shù)列 {an}， {bn}的首項(xiàng) a1=b1=1，且滿足（ an+1﹣ an） 2=4， |bn+1|=q|bn|，其中 n∈ N*．設(shè)數(shù)列 {an}， {bn}的前 n 項(xiàng)和分別為 Sn， Tn． （ Ⅰ ）若不等式 an+1＞ an 對(duì)一切 n∈ N*恒成立，求 Sn； （ Ⅱ ）若常數(shù) q＞ 1 且對(duì)任意的 n∈ N*，恒有 |bk|≤ 4|bn|，求 q 的值； （ Ⅲ ）在（ 2）的條件下且同時(shí)滿足以下兩個(gè) 條件： （ ⅰ ）若存在唯一正整數(shù) p 的值滿足 ap＜ ap﹣ 1； （ ⅱ ） Tm＞ 0 恒成立．試問(wèn)：是否存在正整數(shù) m，使得 Sm+1=4bm，若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 8E：數(shù)列的求和； 8H：數(shù)列遞推式． 【分析】 （ I） {an}是公差為 2 的等差數(shù)列，代入求和公式即可得出 Sn； （ II）用 q 表示出 |bk|和 4|bn|，根據(jù) q 的范圍及恒等式得出 q﹣ 2=0； （ III）利用條件可得 {an}， {bn}的通項(xiàng)，求出 Sm+1， 4bm，從而得出 m 的存在性． 【解答】 解：（ I） ∵ （ an+1﹣ an） 2=4， an+1＞ an， ∴ an+1＞ an=2， ∴ {an}是以 a1=1 為首項(xiàng)，以 2 為公差的等差數(shù)列， ∴ an=1+2（ n﹣ 1） =2n﹣ 1． ∴ Sn= =n2． （ II） ∵ |bn+1|=q|bn|， ∴ |bn|=q|bn﹣ 1|=q2|bn﹣ 2|=qn﹣ 1|b1|=qn﹣ 1． |bk|=1+q+q2+… +qn= ， ∵ 常數(shù) q＞ 1 且對(duì)任意的 n∈ N*，恒有 |bk|≤ 4|bn|， ∴ ≤ 4qn﹣ 1，即 1﹣ qn+1≥ 4qn﹣ 1﹣ 4qn， ∴ qn﹣ 1（ q2﹣ 4q+4） ≤ 1，即 qn﹣ 1（ q﹣ 2） 2≤ 1 恒成立， ∴ q=2． （ III）由 （ II）可知 {|bn|}是以 1 為首項(xiàng)，以 2 為公比的等比數(shù)列， ∵ Tm＞ 0， ∴ {bn}是以 1 為首項(xiàng)，以 2 為公比的等比數(shù)列，即 bn=2n﹣ 1， ∵ （ an+1﹣ an） 2=4， ∴ an+1﹣ an=2 或 an+1﹣ an=﹣ 2， ∵ 存在唯一正整數(shù) p 的值滿足 ap＜ ap﹣ 1， ∴ 當(dāng) n≤ p﹣ 1 或 n≥ p 時(shí)， {an}是公差為 2 的遞增數(shù)列， ∴ p≥ 2， ① 若 p=2，則 an= ， ∴ Sm=（ m﹣ 2） 2， ∴ Sm+1=（ m﹣ 1） 2，而 4bm=4?2m﹣ 1=2m+1， ∴ 4bm﹣ Sm+1=2m+1﹣（ m﹣ 1） 2＞ 0， 下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明 ： 當(dāng) m=1 時(shí)，結(jié)論顯然成立， 假設(shè) m=k 時(shí)，結(jié)論成立，即 2k+1﹣（ k﹣ 1） 2＞ 0， 則 2k+2﹣ k2＞ 2?2k+1﹣（ k﹣ 1） 2＞ 2k+1