【正文】 的最大公約數(shù)是15，最小公倍數(shù)是90，求這兩個(gè)數(shù)分別是多少 ？五年級(jí)奧數(shù)集訓(xùn)專題講座（七）——包含與排除主講：譚發(fā)佳包含與排除問(wèn)題其實(shí)也叫容斥問(wèn)題。即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了不重復(fù)的計(jì)數(shù)，應(yīng)從他們的和中排除重復(fù)部分。如：集合A加集合B組成一個(gè)新的集合C，再計(jì)算C的元素時(shí)為：C=A+BAB A AB B （韋恩圖）例1：一個(gè)班有 48 人，班主任在班會(huì)上問(wèn)：“誰(shuí)做完語(yǔ)文作業(yè)？請(qǐng)舉手！”有 37 人舉手。又問(wèn)：‘誰(shuí)做完數(shù)學(xué)作業(yè)？請(qǐng)舉手！”有 42 人舉手。最后問(wèn)：“誰(shuí)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)沒(méi)有做完？”沒(méi)有人舉手。求這個(gè)班語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)?！舅悸穼?dǎo)航】如圖所示，完成語(yǔ)文作業(yè)的有 37 人，完成數(shù)學(xué)作業(yè)的有 42 人，一共有 37 + 42 = 79 （人），多于全班人數(shù)，這是因?yàn)檎Z(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)在統(tǒng)計(jì)做完語(yǔ)文作業(yè)的人數(shù)時(shí)算過(guò)一次，在統(tǒng)計(jì)做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)時(shí)又算了一次，這樣就多算了一次。所以，這個(gè)班語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的有： 79－48 = 31（人） 37 + 42－48=31（人） 答：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的有 31 人。想一想：下面算式有何道理？( l ) 37－（48 －42 ) = 31 （人） ( 2 ) 42 －（ 48 － 37 ）= 31 （人）【瘋狂操練】：(1）五年級(jí)有 122 名學(xué)生參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績(jī)。其中語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的有 65 人，數(shù)學(xué)優(yōu)秀的有 87 人。語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人？ ( 2）四年級(jí)一班有 54 人，訂閱 《 小學(xué)生優(yōu)秀作文 》 和 《 數(shù)學(xué)大世界 》 兩種讀物的有 13 人，訂 《 小學(xué)生優(yōu)秀作文 》 的有 45 人，每人至少訂一種讀物，訂 《 數(shù)學(xué)大世界 》 的有多少人？ ( 3）學(xué)校文藝組每人至少會(huì)演奏一種樂(lè)器，已知會(huì)拉手風(fēng)琴的有 24 人，會(huì)彈電子琴的有 17 人，其中兩種樂(lè)器都會(huì)演奏的有 8 人。這個(gè)文藝組一共有多少人？例2：某班有 36 個(gè)同學(xué)在一項(xiàng)測(cè)試中，答對(duì)第一題的有 25 人，答對(duì)第二題的人有 23 人，兩題都答對(duì)的有 15 人。問(wèn)多少個(gè)同學(xué)兩題都答得不對(duì)？【思路導(dǎo)航】如圖所示，已知答對(duì)第一題的有 25 人，兩題都答對(duì)的有 15 人，可以求出只答對(duì)第一題的有 25－15＝ 10 （人）。又已知答對(duì)第二題的有 23 人，用只答對(duì)第一題的人數(shù)，加上答對(duì)第二題的人數(shù)就得到至少有一題答對(duì)的人數(shù)10 + 23 = 33（人）。所以，兩題都答得不對(duì)的有 36－33 = 3 （人）。 36－［( 25 －15 ) + 23］=3（人）想一想：下面算式有何道理。 (l) 36－［( 23－15 ) + 25］ = 3 （人） (2) 36 －［( 25－ 15 ) + ( 23 － 15 ) + 15 ］＝ 3 （人）【瘋狂操練】：( l）五（ 1 ）班有 40 個(gè)學(xué)生，其中有 25 人參加數(shù)學(xué)小組， 23 人參加科技小組，有 19 人兩個(gè)小組都參加了。那么，有多少人兩個(gè)小組都沒(méi)有參加？( 2）一個(gè)班有 55 名學(xué)生，訂閱 《 小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào) 》 的有 32 人，訂閱 《 中國(guó)少年報(bào) 》 的有 29 人，兩種報(bào)紙都訂閱的有 25 人。兩種報(bào)紙都沒(méi)有訂閱的有多少人？( 3 ）某校選出 50 名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學(xué)比賽，結(jié)果 3 人兩項(xiàng)比賽都獲獎(jiǎng)了，有 27 人兩項(xiàng)比賽都沒(méi)有獲獎(jiǎng)，已知作文比賽獲獎(jiǎng)的有 14 人，問(wèn)數(shù)學(xué)比賽獲獎(jiǎng)的有多少人？例3：某班有 56 人，參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有 28 人，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有27人，如果兩科都沒(méi)有參加的有 25 人，那么同時(shí)參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩科競(jìng)賽的有多少人？ 【思路導(dǎo)航】：要求兩科競(jìng)賽同時(shí)參加的人數(shù)，應(yīng)先求出至少參加一科競(jìng)賽的人數(shù)56－25 =31（人），再求兩科競(jìng)賽同時(shí)參加的人數(shù)：28 + 27 －31 = 24 （人）。28 + 27－（ 56－ 25 ) = 24 （人） 答：同時(shí)參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩科競(jìng)賽的有 24 人。想一想：下面算式有何道理 ( l ) 28－（56 －25－27 ）= 24（人） ( 2 ) 27 －（56－25－28 ）= 24 （人）【瘋狂操練】： ( 1）一個(gè)旅行社有 36 人，其中會(huì)英語(yǔ)的有 24 人，會(huì)法語(yǔ)的有 18 人，兩樣都不會(huì)的有 4 人，兩樣都會(huì)的有多少人？ ( 2）一個(gè)俱樂(lè)部有 103 人，其中會(huì)下中國(guó)象棋的有 69 人，會(huì)下國(guó)際象棋的 52 人，這兩種棋都不會(huì)下的有 12 人。問(wèn)這兩種棋都會(huì)下的有多少人？ ( 3）三年級(jí)一班參加合唱隊(duì)的有 40 人，參加舞蹈隊(duì)的有 20 人，既參加合唱隊(duì)又參加舞蹈隊(duì)的有 14 人。這兩隊(duì)都沒(méi)有參加的有 10 人。請(qǐng)算一算，這個(gè)班共有多少人？例4：光明小學(xué)舉辦學(xué)生書法展覽。學(xué)校的櫥窗里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書法作品，其中有 24 幅不是五年級(jí)的，有 22 幅不是六年級(jí)的，五、六年級(jí)參展的書法作品共有 10 幅，其他年級(jí)參展的書法共有多少幅？【思路導(dǎo)航】由題意知， 24 幅作品是一、二、三、四、五、六年級(jí)參展作品的總數(shù)； 22 幅作品是一、二、三、四、五年級(jí)參展作品的總數(shù)。24 + 22 =46〔幅），這是一個(gè)五、六年級(jí)和兩個(gè)一、二、三、四年級(jí)參展的作品數(shù)，從其中去掉五、六年級(jí)的共參展的 10 幅即得到兩個(gè)一、二、三、四年級(jí)參展作品的總數(shù)．再除以2，即可求出其它年級(jí)參展的作品。(24+22－10)247。2=18（幅）答：其他年級(jí)參展的作品共有 18 幅。( l ）科技節(jié)那天，學(xué)校的科技室里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的科技作品，其中有 110 件不是一年級(jí)的，有 100 件不是二年級(jí)的，一、二年級(jí)參展的作品共有32 件。其他年級(jí)參展的作品共有多少件？ ( 2 ）六（ 1 ）兒童節(jié)那天，學(xué)校的畫廊里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的圖畫作品，其中有 25 幅畫不是三年級(jí)的，有19幅畫不是四年級(jí)的，三、四年級(jí)參展的畫共有 8 幅，其他年級(jí)參展的畫共有多少幅？ ( 3 ）實(shí)驗(yàn)小學(xué)舉辦學(xué)生書法展。學(xué)校的櫥窗里展出每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書法作品，其中有 28 幅不是五年級(jí)的，有 24幅不是六年級(jí)的，五、六年級(jí)參展的書法作品共有 20 幅。一、二年級(jí)參展的作品總數(shù)比三、四年級(jí)參展作品的總數(shù)少4幅。一、二年級(jí)參展的書法作品共有多少幅？五年級(jí)奧數(shù)集訓(xùn)專題講座（八）——邏輯推理主講：譚發(fā)佳解答推理問(wèn)題常用的方法有：排除法、假設(shè)法、反證法。一般可以從以下幾方面考慮： 1 、選準(zhǔn)突破口，分析時(shí)綜合幾個(gè)條件進(jìn)行判斷。 根據(jù)題中條件，在推理過(guò)程中，不斷排除不可能的情況，從而得出要求的結(jié)論。 對(duì)可能出現(xiàn)的情況作出假設(shè)，然后再根據(jù)條件推理，如果得到的結(jié)論和條件不矛盾，說(shuō)明假設(shè)是正確的。遇到比較復(fù)雜的推理問(wèn)題，可以借助圖表進(jìn)行分析。例1：有三個(gè)小朋友在談?wù)撜l(shuí)做的好事多。冬冬說(shuō)：“蘭蘭做的比靜靜多?！碧m蘭說(shuō)：“冬冬做的比靜靜多”靜靜說(shuō)：“蘭蘭做的比冬冬少 。”這三位小朋友中，誰(shuí)做的好事最多？準(zhǔn)做的好事最少？【思路導(dǎo)航】 我們用“ ”來(lái)表示每個(gè)小朋友之間做好事多少的關(guān)系。蘭蘭＞靜靜 冬冬＞靜靜 冬冬＞蘭蘭 所以，冬冬＞蘭蘭＞靜靜，冬冬做的好事最多，靜靜做的最少 答：冬冬做的最多，靜靜做的最少?！警偪癫倬殹? l ）盧剛，丁飛和陳瑜一位是工程師，一位是醫(yī)生，一位是飛行員。現(xiàn)在只知道：盧剛和醫(yī)生不同歲；醫(yī)生比丁飛年齡?。魂愯け蕊w行員年齡大。請(qǐng)問(wèn)，誰(shuí)是工程師，誰(shuí)是醫(yī)生，誰(shuí)是飛行員？ 〔 2 ）小李、小徐和小張是同學(xué)，大學(xué)畢業(yè)后分別當(dāng)了教師，數(shù)學(xué)家和工程師。小張年齡比工程師大；小李和數(shù)學(xué)家不同歲；數(shù)學(xué)家比小徐年齡小。想一想，誰(shuí)是教師，誰(shuí)是數(shù)學(xué)家，誰(shuí)是工程師。 ( 3 ）江波、劉曉、吳萌三位老師，其中一位教語(yǔ)文，一位教數(shù)學(xué)，一位教英語(yǔ)。已知：江波和語(yǔ)文老師是鄰居；吳萌和語(yǔ)文老師不是鄰居；吳萌和數(shù)學(xué)老師是同學(xué)。請(qǐng)問(wèn)：三位老師分別教什么科目？例2：有一個(gè)正方體，每個(gè)面分別寫上漢字：數(shù)學(xué)奧林匹克。三個(gè)人從不同角度觀察的結(jié)果如下圖所示。問(wèn)這個(gè)正方體的每個(gè)漢字的對(duì)面各是什么字？ 【思路導(dǎo)航】想想某個(gè)漢字的對(duì)面不是什么字。從圖（ l ）中可知，“奧”的對(duì)面不是“林”、“匹”，從圖（ 2 ) 中可知：“奧”的對(duì)面不是‘?dāng)?shù)’、“學(xué)”，所以，“奧”的對(duì)面一定是“克”。從圖（ 2 ）中可知：“數(shù)”的對(duì)面不