【正文】 式逼近，在該區(qū)間中心附近一個(gè)小波變換系數(shù)接近于零，這個(gè)性質(zhì)用于小波圖像編碼意味著一個(gè)相當(dāng)平坦的區(qū)域附近小波系數(shù)接近零，這樣會(huì)提高壓縮效率。消失矩表明了小波變換后能量的集中程度，消失矩階數(shù)很大時(shí)，精細(xì)尺度下的高頻部分?jǐn)?shù)值有許多是小得可以忽略的(奇異點(diǎn)除外)因此用消失矩越大的小波基進(jìn)行分解后，圖像的能量就越集中，壓縮的空間就越大。(6)平滑性關(guān)系到頻率分辨率的高低，如果平滑性差，則隨著變換級(jí)數(shù)的增加，原來平滑的輸入信號(hào)將很快出現(xiàn)不連續(xù)性，導(dǎo)致重建時(shí)失真。(7)小波基的時(shí)頻窗及其面積[]時(shí)頻窗面積只與小波母函數(shù)有關(guān)，而與參數(shù)(a，b)毫無關(guān)系，窗面積愈小，的時(shí)頻域局部化能力愈強(qiáng)，亦即其聚焦能力愈強(qiáng)；小波變換的時(shí)頻窗雖然面積不變，但時(shí)窗和頻窗的寬度是可變的，它在高頻時(shí)使用短時(shí)窗和寬頻窗，在低頻時(shí)使用寬時(shí)窗和短頻窗，故小波具有自適應(yīng)分辨分析性能。(8)斜對(duì)稱在信號(hào)分析中，尺度函數(shù)和小波能夠作為濾波函數(shù)，如果濾波器具有線性相位或至少?gòu)V義線性相位，則能夠避免信號(hào)在小波分解和重構(gòu)時(shí)的失真【】。(9)線性相位在對(duì)圖像進(jìn)行處理時(shí)，線性相位是很重要的，對(duì)圖像邊緣做對(duì)稱邊界延拓時(shí)，重構(gòu)圖像邊緣部分失真較小，有利于獲得高質(zhì)量的重構(gòu)圖像。在限定失真編碼的情況下，線性相位對(duì)恢復(fù)圖像中的邊緣信息非常重要。但線性相位FIR的正交小波分解濾波器是不存在的，于是Cohen和Daubechies等放寬了小波基的規(guī)范正交性要求，引入了雙正交小波基。要完全滿足上述特性是十分困難的，緊支性與平滑性不可兼得，緊支集正交小波又使對(duì)稱性成為不可能，(Haar系小波除外)因此只能尋找一種合理的折衷方案。就圖像處理而言，如果是用于無損壓縮，對(duì)稱性與平滑性就很重要；如果是邊緣檢測(cè)、紋理分析和去噪，那就需要選擇小波基與待處理圖像的感興趣分量具有相似性。 常用小波函數(shù)特征1．Haar小波Haar小波是所有已知小波中最簡(jiǎn)單的，如圖5．1所示。Haar小波為正交，對(duì)稱，支撐長(zhǎng)度為1，消失矩長(zhǎng)度為l的小波。對(duì)于t的平移，Haar小波是正交的。對(duì)于一維Haar小波可以看成是完成了差分運(yùn)算，即給出與觀測(cè)結(jié)果的平均值不相等的部分的差。其表達(dá)式為： Haar小波在時(shí)域上是不連續(xù)的，所以作為基本小波性能不是特別好。但它也有自己的優(yōu)點(diǎn)，如：(1)計(jì)算簡(jiǎn)單：(2)不但與正交，而且與自己的整數(shù)位移正交，即k∈Z。 haar小波波形圖因此，在a=2j的多分辨率系統(tǒng)中Haar小波構(gòu)成一組簡(jiǎn)單的正交歸一的小波族。2．Daubechies(dbN)小波Daubechies小波是由世界著名的小波分析學(xué)者Inrid Daubechies構(gòu)造的小波函數(shù)，一般記為dbN，N是小波的階數(shù)。小波和尺度函數(shù)中的支撐區(qū)為2N1，的消失矩為N。除N=I外，dbN不具有對(duì)稱性(即非線性相位)，沒有明確的表達(dá)式。Daubechies小波具有以下特點(diǎn)：(1) 在時(shí)域上是有限支撐的，即長(zhǎng)度有限。而且其高階原點(diǎn)矩p=0~N；N值越大，的長(zhǎng)度越長(zhǎng)。(2) 在頻域在彩=0處有Ⅳ階零點(diǎn)。(3)和它的整數(shù)位移正交歸一，即 Daubechies小波函數(shù)(4)小波函數(shù)可以由所謂“尺度函數(shù)為低通函數(shù)，長(zhǎng)度有限，支撐域在t=0~(2N一1)范圍內(nèi)。Mexico草帽小波是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，即 （）系數(shù)主要是保證ψ(t)的歸一化，即。這個(gè)小波使用的是高斯平滑函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，由于波形與墨西哥草帽（Mexican Hat）拋面輪廓線相似而得名。它在視覺信息加工研究和邊緣檢測(cè)方面獲得了較多的應(yīng)用，因而也稱做Marr小波。 （a）實(shí)部 （b）虛部 Morlet復(fù)值小波的波形圖 小波基函數(shù)選擇的原則從理論上講，正交小波變換由分解后的信號(hào)可以準(zhǔn)確地恢復(fù)到原信號(hào)，但并不是每個(gè)分解都能滿足圖像壓縮的要求，對(duì)同一幅圖像，用不同的小波基進(jìn)行分解所得到的變換系數(shù)，其壓縮效果是不相同的。在圖像壓縮中，希望經(jīng)小波分解后的變換系數(shù)在三個(gè)方向的細(xì)節(jié)分量有高度的局部相關(guān)性，同時(shí)又希望整體相關(guān)性被大部分杰出甚至全部解除。不同于傅里葉分析，小波基不是唯一的，顯然難點(diǎn)在于如何選擇最優(yōu)的小波基用于圖像編碼，一般情況下需考慮以下幾個(gè)因素：１） 小波基的正則性和消失矩；２） 小波基的線性相位；３） 所處理圖像與小波基的相似性；４） 小波函數(shù)的能量集中性；５） 綜合考慮壓縮效率和計(jì)算復(fù)雜度。正則性是函數(shù)光滑性的一種描述，也反映了函數(shù)頻域能量集中的程度。正則性對(duì)圖像壓縮效果有一定的影響，如圖像大部分是光滑的，一般選擇正則性好的小波。如haar小波是不連續(xù)的，會(huì)造成復(fù)原圖像中出現(xiàn)方塊效應(yīng)，而采用其他光滑的小波基則方塊效應(yīng)會(huì)消除。如果小波基有較大的消失矩，待分析函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)能夠用一個(gè)同階多項(xiàng)式逼近，在該區(qū)間中心附近小波變換系數(shù)接近于零。這個(gè)性質(zhì)用于小波圖像編碼意味著，在一個(gè)相當(dāng)平坦的區(qū)域附近小波系數(shù)接近零，這會(huì)提高壓縮效率。但正則性則對(duì)圖像重構(gòu)有重要的意義，因?yàn)榇嬖诹炕`差的小波系數(shù)用正則性高的綜合熊小波重構(gòu)后，失真比較平滑，視覺效果好，Antonini等人驗(yàn)證，綜合小波基的正則性對(duì)圖像壓縮效果影響更大，這意味著應(yīng)可能選正則性好的重構(gòu)小波基。如果進(jìn)行時(shí)頻分析，則要選擇光滑的連續(xù)小波，因?yàn)闀r(shí)域越光滑的基函數(shù)，在頻域的局部化特性越好。如果進(jìn)行信號(hào)檢測(cè)，則應(yīng)盡量選擇與信號(hào)波形相近似的小波。 小波變換的特點(diǎn)信號(hào)分析的主要目的是尋找一種簡(jiǎn)單有效的信號(hào)變換方法，以便突出信號(hào)中的重要特性，簡(jiǎn)化運(yùn)算的復(fù)雜度。大家熟知的傅里葉變換就是一種刻畫函數(shù)空間，求解微分方程，進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的主要方法和有效的數(shù)學(xué)工具。它可把許多常見的微分、積分和卷積運(yùn)算簡(jiǎn)化為代數(shù)運(yùn)算。從物理意義上理解，一個(gè)周期振動(dòng)信號(hào)可看成是具有簡(jiǎn)單頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加。傅里葉展開正是這一物理過程的數(shù)學(xué)描述 傅里葉變換的特點(diǎn)是域變換，它把時(shí)域和頻域聯(lián)系起來，把時(shí)域內(nèi)難以顯現(xiàn)的特征在頻域中十分清楚地顯現(xiàn)出來。頻譜分析的本質(zhì)就是對(duì)F(ω)的加工和處理?；谶@一基本原理，現(xiàn)代譜分析已研究與發(fā)展了多種行之有效的高效、多分辨率的分析算法。在實(shí)際過程中，時(shí)變信號(hào)是常見的，如語音信號(hào)、地震信號(hào)、雷達(dá)回波等。在這些信號(hào)的分析中，希望知道信號(hào)在突變時(shí)刻的頻率成份，顯然利用傅里葉變換處理這些信號(hào)，這些非平穩(wěn)的突變成份往往被傅里葉變換的積分作用平滑掉了。由于 ，因此，頻譜F(ω)的任一頻率成份的值是由時(shí)域過程f(t)在(∞，+∞)上的貢獻(xiàn)決定的，而過程f(t)在任一時(shí)刻的狀態(tài)也是由F(ω)在整個(gè)頻域(∞，+∞)的貢獻(xiàn)決定的。該性質(zhì)可由δ(t)函數(shù)來理解，即時(shí)域上的一個(gè)沖激脈沖在頻域中具有無限伸展的均勻頻譜。f(t)與F(ω)間的彼此的整體刻畫，不能反映各自在局部區(qū)域上的特征。因此，不能用于局部分析。在實(shí)際應(yīng)用中，也不乏不同的時(shí)間過程卻對(duì)應(yīng)著相同的頻譜的例子。小波變換是科恩類變換，其基本思想是將函數(shù)在核函數(shù)上展開，核函數(shù)具有時(shí)間與頻率分辨率，因而小波變換也具有時(shí)間和頻率分辨率。但是小波變換的頻率并不是真正意義上的頻率，只有具有相當(dāng)于頻率的一種比率。第5章 系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn) 系統(tǒng)功能介紹 本系統(tǒng)功能主要包括圖片的選取打開，保存，以及程序的退出；工具方面主要是DCT變換和小波變換，下面主要從這兩方面來講解下系統(tǒng)功能。 離散余弦變換模塊 圖像的二維離散余弦變換(Discrete Cosine Transform)簡(jiǎn)稱DCT變換是最小均方誤差條件下得出的次最佳正交變換，且已獲得廣泛應(yīng)用，大多數(shù)情況下，DCT用于壓縮圖像，并成為許多圖像編碼國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)的核心，JPEC圖像格式的壓縮算法采用的就是DCT變換算法。DCT變換的變換核為余弦函數(shù)，計(jì)算速度較快，有利于圖像壓縮和其他處理。2．離散余弦變換算法分析與改進(jìn)。離散余弦變換的傳統(tǒng)算法是基于FFT的快速算法，這里引入一種新的變換方法——基于DCT變換矩陣算法。變換矩陣方法非常適合做8*8或16*16的圖像塊的DCT變換，主要利用dctmtx函數(shù)來計(jì)算變換矩陣。設(shè)A是一個(gè)MN大小的矩陣，則D*A表示A的列向量的一維離散余弦變換，而D*A(D’表示D的轉(zhuǎn)置)表示A的列向量的一維逆離散余弦變換。要實(shí)現(xiàn)A的二維離散余弦變換，只需計(jì)算D*A*D’。這種計(jì)算有時(shí)會(huì)比利用函數(shù)dct2更快，特別是計(jì)算大量小的相同尺寸DCT時(shí)，矩陣D只需計(jì)算一次，因而速度快。例如，在實(shí)現(xiàn)JPEG壓縮時(shí)，要多次實(shí)現(xiàn)大小為8X8的圖像塊的DCT，為了實(shí)現(xiàn)這種變換，首先采用函數(shù)dctmtx得到矩陣D，即利用語句D=dctmtx(8)，然后，對(duì)每一個(gè)圖像塊執(zhí)行運(yùn)算B=D*A*D’。由于變換矩陣D是實(shí)正交矩陣，為此二維逆離散余弦變換為A=D’*B*D。這種實(shí)現(xiàn)方法比調(diào)用函數(shù)dct2要快很多。3．離散余弦變換的處理步驟步驟l：選擇一個(gè)處理算法，是基于FFT快速算法的還是基于DCT變換矩陣的算法，選擇一種，進(jìn)行步驟2步驟4步驟2：導(dǎo)入原始圖像并顯示；步驟3：進(jìn)行離散余弦變換并顯示結(jié)果；步驟4：進(jìn)行逆交換并顯示結(jié)果4. 基于DCT變換矩陣算法的離散余弦變換的實(shí)現(xiàn)首先讀取圖像文件，然后利用dctmtx函數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行離散余弦變換，采用函數(shù)dctmtx得到矩陣T，即利用語句D=dctmtx(8)，然后，對(duì)每一個(gè)圖像塊執(zhí)行運(yùn)算B=T*矩陣T*x*T’。然后利用二值掩膜壓縮DCT的系數(shù)，這里只保留DCT變換的lO個(gè)系數(shù)。最后在對(duì)圖像進(jìn)行逆離散余弦變換，顯示圖像重構(gòu)的結(jié)果。整個(gè)算法的處理過程如下圖所示。導(dǎo)入圖片利用dctmtx函數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行離散余弦變換，得到矩陣T對(duì)圖像每個(gè)不同88數(shù)據(jù)塊應(yīng)用矩陣式T*x*T’進(jìn)行處理顯示變換后的二維變換譜利用二維掩膜只保留DCT變換的10個(gè)系數(shù)逆DCT變換，重構(gòu)圖像顯 示 圖 像 基于DCT變換矩陣算法的離散余弦變換的處理過程 首先要設(shè)計(jì)GUI界面中的打開按鈕，設(shè)計(jì)打開按鈕選取圖片，代碼如下：[filename, pathname] = uigetfile( ... {39。*.bmp。*.jpg。*.png。*.jpeg39。, 39。Image Files (*.bmp, *.jpg, *.png, *.jpeg)39。 ... 39。*.*39。, 39。All Files (*.*)39。}, ... 39。Pick an image39。)。fpath=[pathname filename]。然后用imread讀取圖片： [I,map]=imread(fpath)。 subplot(221)。 image(I)。然后把圖像變成灰度圖像，并進(jìn)行DCT變換。代碼如下：imwrite(rgb2gray(I),39。39。,39。jpg39。)。D = dct2(rgb2gray(I))。 %dct變化subplot(222)。imshow(D)。title(39。經(jīng)過dct變換后的圖像39。)。imwrite(D,39。39。,39。jpg39。)。D(90:100,23:50) = 0。 %丟棄部分高頻分量subplot(223)。imshow(D)。title(39。丟棄部分高頻分量39。)。I2 = idct2(D)。 %頻譜進(jìn)行逆變換subplot(224)。imshow(mat2gray(I2))。title(39。頻譜進(jìn)行逆變換后的圖像39。)。imwrite(mat2gray(I2),39。39。,39。jpg39。)。 原始圖像及進(jìn)行DCT變換后的圖片 小波變換模塊小波變換是時(shí)間(空間)頻率的局部化分析，它通過伸縮平移運(yùn)算對(duì)信號(hào)(函數(shù))逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化，最終達(dá)到高頻處時(shí)間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，能自動(dòng)適應(yīng)時(shí)頻信號(hào)分析的要求，從而可聚焦到信號(hào)的任意細(xì)節(jié)，解決了傅里葉變換的困難問題，成為繼傅里葉變換以來在科學(xué)方法上的重大突破。有人把小波變換稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。2．小波變換算法分析在上一節(jié)中，我介紹了基于離散余弦變換的圖像壓縮算法，其基本思想是在頻域?qū)π盘?hào)進(jìn)行分解，去除信號(hào)點(diǎn)之間的相關(guān)行，并找出重要系數(shù)，濾去次要系數(shù)，以達(dá)到壓縮的效果，但該方法在處理過程中并不能提供時(shí)域的信息，在我們比較關(guān)系時(shí)域特性的時(shí)域顯得無能為力。但是這種應(yīng)用的需求是很廣泛的，比如遙感測(cè)控圖像，要求在整幅圖像有很高的壓縮比的同時(shí)，對(duì)熱點(diǎn)部分的圖像要有較高的分辨率，例如醫(yī)療圖像，需要對(duì)某個(gè)局部的細(xì)節(jié)部分有很高的分辨率，單純的頻域分析的辦法顯然不能達(dá)到這個(gè)要求，雖然可以通過對(duì)圖像進(jìn)行分塊分解，然后對(duì)每塊作用不同的閾值或掩膜來達(dá)到這個(gè)要求，但分塊大小相對(duì)固定，有失靈活。在這個(gè)方面，小波分析的就有優(yōu)勢(shì)多了，由于小波分析固有的時(shí)頻特性，我們可以在時(shí)頻兩個(gè)方向?qū)ο禂?shù)進(jìn)行處理，這樣就可以對(duì)我們感興趣的部分提供不同的壓縮精度。3．小波變換實(shí)現(xiàn)壓縮編碼的處理步驟：(forward discrete cosine transform，F(xiàn)DCT)把空間域表示的圖變換成頻率域表示的圖。 ，這個(gè)加權(quán)函數(shù)對(duì)于人的視覺系統(tǒng)是最佳的。 。 4. 基于小波變換矩陣算法的實(shí)現(xiàn)首先讀取圖像文件，然后利用wavedec2函數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行小波分解，采用函數(shù)appcoef2函數(shù)從分解系數(shù)中取近似系數(shù)，即利用語句cal=appcoef2(c,s,39。39。,1)。再具體對(duì)水平、垂直和斜線方向進(jìn)行提取，然后利用提取的系數(shù)，顯示壓縮后的圖像，并顯示出壓縮后圖像的大小。整個(gè)算法的處理過程如下圖所示：導(dǎo)入圖片利用wavedec2函數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行小波分解，得到分解系數(shù)顯示分解后低頻和高頻信息對(duì)圖像再進(jìn)行一次分解，得到第一次壓縮的信息，并顯示出來利用圖像分解系數(shù)，得到第二次壓縮的信息，