【正文】 存在著逆變換，逆變換公式為:f(t)== ()式() C= 為對(duì)(t)提出的容許條件。在此需要進(jìn)一步說(shuō)明，在小波變換過(guò)程中，所采用的小波必須滿足容許條件反變換才存在，由容許條件C=可以推斷出:能用作基本小波(t)的函數(shù)至少必須滿足或者,也就是說(shuō)，必須具有帶通性質(zhì)，且必須是有正負(fù)交替的MIA波形，使得其平均值=0，這便是稱(chēng)之為“小波”的原因。另外，在實(shí)際中，對(duì)基本小波的要求往往不局限于滿足容許條件，對(duì)(t)還要施加所謂的“正則性條件”，使在頻域上表現(xiàn)出較好的局限性能。為了在頻域上有較好的局限性，要求隨a的減小，所以這就要求(t)的前n階原點(diǎn)矩為0，且n值越高越好，即（t）d(t)=0 p =1~ n ，且 n值越大越好 ()此要求在頻域內(nèi)表示就是，在=0處有高階零點(diǎn)，且階次越高越好(一階零點(diǎn)就是容許條件)，即= , n 越大越好 ()上兩式就是正則性條件。如果 用 上 述變換公式來(lái)處理圖像信息，還需要將連續(xù)小波離散化，同時(shí)將一維變換拓展到二維。在實(shí)際應(yīng)用中，為了方便計(jì)算機(jī)進(jìn)行分析、處理，信號(hào)(t )都要離散化為離散數(shù)列，a和也必須離散化，成為離散小波變換(Discrete Wavelet Transform),記為DWT.由上一節(jié)連續(xù)小波變換的概念我們知道，在連續(xù)變換的尺度a和時(shí)間值下，小波基函數(shù) 具有很大的相關(guān)性，所以一維信號(hào)f(t)做小波變換成二維的WT后，它的信息是有冗余的，體現(xiàn)在不同點(diǎn)的WT滿足重建核方程。在理想情況下，離散后的小波基函數(shù)滿足正交完備性條件，此時(shí)小波變換后的系數(shù)沒(méi)有任何冗余，這樣就大大地壓縮了數(shù)據(jù)，并且減少了計(jì)算量。為了減少小波變換的系數(shù)冗余度，我們將小波基函數(shù)=a, 限定在一些離散的點(diǎn)上取值。① 尺 度 的離散化。目前通行的辦法是對(duì)尺度進(jìn)行冪級(jí)數(shù)離散化，即令a取a=,aO,mZ，此時(shí)對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)是aj=0 ,1,2,...。② 位移的離散化。通常對(duì)進(jìn)行均勻離散取值，以覆蓋整個(gè)時(shí)間軸。為了防止信息的丟失，我們要求采樣間隔滿足Nyquist采樣定理，采樣率大于等于該尺度下頻率通常的二倍。所以每當(dāng)m增加1時(shí)，尺度a增加一倍，對(duì)應(yīng)的頻率減小一半，可見(jiàn)采樣率可以降低一半而不致引起信息的丟失(帶通信號(hào)的采樣率決定于其帶寬，而不是決定于其頻率上限)。所以在尺度j下，由于的帶寬時(shí)的a倍，因此采樣間隔可以擴(kuò)大a，同時(shí)也不會(huì)引起信息的丟失。這樣， 就改成:a ()記為離散小波變換定義為:WT= j=0,1,2...,k ()在以上的尺度以及位移均離散化的小波序列，如果取離散柵格a= 2 , =0，即相當(dāng)于連續(xù)小波只在尺度a上進(jìn)行量化，平移參數(shù)仍然連續(xù)不被離散，我們稱(chēng)這類(lèi)小波為二進(jìn)小波，表示為: =2 ()二進(jìn)小波介于連續(xù)小波和離散小波之間，由于它只是對(duì)尺度參量進(jìn)行離散化，在時(shí)間域上的平移量仍保持著連續(xù)的變化，所以二進(jìn)小波具有連續(xù)小波變換的時(shí)移共變性，這個(gè)特點(diǎn)也是離散小波不具有的。也正因?yàn)槿绱?，它在奇異性檢測(cè)、圖像處理方面都十分有用。令小波函數(shù)為(t)，其傅立葉變換為，若存在常數(shù)A,B，當(dāng)0AB，使得 () 此時(shí)，(t)才是一個(gè)二進(jìn)小波，我們稱(chēng)上式為二進(jìn)小波的魯棒性條件。定義函數(shù)f(t)的二進(jìn)小波變換系數(shù)為:WT()=f(t)= ()其中=2 ()由前面的知識(shí)可得它的小波逆變換公式是存在的。二進(jìn)小波變換的重建公式為:f(t)= ()其中， 為(t)的對(duì)偶框架，其上、下界分別為B，和A 多分辨率分析多分辨率概念是由Mallat和Meyer于1986年提出來(lái)的，它可將此前所有正交小波基的構(gòu)造統(tǒng)一起來(lái)，使小波理論產(chǎn)生突破性的進(jìn)展。同時(shí)，在多分辨率理論分析的基礎(chǔ)上，Mallat引入了一種計(jì)算柵格上小波變換的快速算法，即Mallat算法。它可以避免a值越大，對(duì)(t)的采樣就得越密的缺點(diǎn)，這一算法在小波分析中的地位很重要，相當(dāng)于快速傅立葉算法(FFT)在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。我們把平方可積的函數(shù)f(t)看成使某一逐級(jí)逼近的極限情況，每級(jí)逼近都是用某一低通平滑函數(shù)(t)對(duì)f(t)做平滑的結(jié)果，在逐級(jí)逼近時(shí)平滑函數(shù))也做逐級(jí)伸縮，這就是“多分辨率”7]，即用不同分辨率來(lái)逐級(jí)逼近待分析函數(shù)f(t)?？臻g L(R)中的多分辨率分析是指L(R)中滿足下列條件的一個(gè)空間序列： ① 單調(diào) 性 :對(duì)任意jZ，有V。② 逼近性:,。③ 伸縮性:f(t)，伸縮性體現(xiàn)了尺度的變換、逼近正交小波函數(shù)的變化和空間的變化具有一致性。④ 平移不變性:對(duì)任意kZ，有。⑤Riesz基存在性:存在,使得構(gòu)成的Riesz。為了構(gòu)造正交小波基，引用尺度函數(shù)概念:定義函數(shù)為尺度函數(shù)，若其經(jīng)過(guò)整數(shù)平移k和尺度j上的伸縮，得到一個(gè)尺度和位移均可以變化的函數(shù)集合: ()稱(chēng)每一個(gè)尺度j上的平移系列 所組成的空間V為尺度j的尺度空間：V=span k ()對(duì)于任意函數(shù)f(t)， 有 ()所以尺度函數(shù)在不同尺度下其平移系列組成了一系列的尺度空間隨著尺度的j增大，函數(shù)的定義域變大，平移的間隔()也 變大，所以它的線性組合不能表示函數(shù)小于該尺度的細(xì)微變化，所以其張成的尺度空間只能包括大尺度的緩變信號(hào)。反之，如果j減小，函數(shù)的定義域變小，平移的間隔()也變小，則它的線性組合就能表示函數(shù)的更細(xì)微的變化，所以其張成的尺度空間所包含的函數(shù)增多，包括小尺度信號(hào)和大尺度的緩變信號(hào)。：可實(shí)現(xiàn)數(shù)字水印技術(shù)的高效實(shí)用工具——Matlab Matlab簡(jiǎn)介Matlab是當(dāng)前在國(guó)內(nèi)外十分流行的工程設(shè)計(jì)和系統(tǒng)仿真軟件包。它是MathWorks公司于1982年推出的一套高性能的數(shù)值計(jì)算和可視化軟件，它集數(shù)值分析、矩陣運(yùn)算、信號(hào)處理和圖形顯示于一體，構(gòu)成了一人方便的、界面友好的用戶環(huán)境。Matlab的推出得到了各個(gè)領(lǐng)域?qū)＜摇W(xué)者的廣泛關(guān)注，其強(qiáng)大的擴(kuò)展功能為各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用提供了基礎(chǔ)。由各個(gè)專(zhuān)家學(xué)者相繼推出了MATLAB工具箱，其中的信號(hào)處理(signal processing)、控制系統(tǒng)(control system)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(neural network)、圖像處理(image processing)、魯棒控制(robust control)、非線性系統(tǒng)控制設(shè)計(jì)(nonlinear system control design)、系統(tǒng)辨識(shí)(system identification)、最優(yōu)化(optimization)、模糊邏輯(fuzzy logic)、小波(wavelet)、通信(munication)、統(tǒng)計(jì)(statistics)等工具箱，這些工具箱給各個(gè)領(lǐng)域的研究和工程應(yīng)用提供了有力的工具，借助于這些“巨人肩上的工具”，各個(gè)層次的研究人員可直觀、方便地進(jìn)行分析、計(jì)算及設(shè)計(jì)工作，從而大大地節(jié)省了時(shí)間。集成了DCT、DWT等函數(shù)有豐富的小波函數(shù)和處理函數(shù)，這不僅方便了研究人員，而且使源程序簡(jiǎn)潔明了、易實(shí)現(xiàn)。強(qiáng)大的數(shù)學(xué)運(yùn)算功能。能夠方便、高效地實(shí)現(xiàn)音頻、視頻中的大量矩陣運(yùn)算。提供了圖像處理工具箱、小波分析工具箱、數(shù)字信號(hào)處理工具箱。用來(lái)編制跨數(shù)字圖像處理技術(shù)、數(shù)字信號(hào)處理等多學(xué)科的數(shù)字水印技術(shù)是非常好的選擇。MATLAB與目前最強(qiáng)大的編程工具——Visual C++具有良好的接口。第4章 基于小波變換的數(shù)字水印算法Amold變換是Amold在遍歷理論研究中提出的一種變換，俗稱(chēng)貓臉變換原意為cat mapping。設(shè)想在平面單位正方形內(nèi)繪制一個(gè)貓臉圖像，通過(guò)如下變換=mod1 ()這個(gè)貓臉圖像將由清晰變?yōu)槟：?，這就是Arnold變換。注意到式()定義的Amold變換實(shí)際上是一種點(diǎn)的位置移動(dòng)，并且這種變換是一一對(duì)應(yīng)的。此外，這個(gè)變換可以迭代地做下去。類(lèi)似的變換還有面包師變換。對(duì)于數(shù)字圖像來(lái)說(shuō)，可以將其看成是一個(gè)函數(shù)在離散網(wǎng)格點(diǎn)處的采樣值，這樣我們就得到了一個(gè)表示圖像的矩陣，矩陣中元素的值是對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的灰度值或RGB顏色分量值。對(duì)于正方形數(shù)字圖像，我們有離散化的Amold變換:=modN,x,y ()其中N為圖像的高度和寬度。對(duì)于數(shù)字化圖像而言，我們所說(shuō)的位置移動(dòng)實(shí)際上是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的灰度值或者RGB顏色值的移動(dòng)，即將原來(lái)點(diǎn)(x,y)處象素對(duì)應(yīng)的灰度值或RGB顏色值移動(dòng)至變換后的點(diǎn)(x ,y)處。如果我們對(duì)一個(gè)數(shù)字圖像迭代地使用離散化的Amold變換，即將左端輸出的(x ,y)作為下一次Amold變換的輸入可以重復(fù)這個(gè)過(guò)程一直作下去當(dāng)?shù)侥骋徊綍r(shí)，如果出現(xiàn)的圖像符合我們對(duì)圖像的“雜亂無(wú)章”標(biāo)準(zhǔn)的要求，這即是一幅置亂了的圖像。需要注意的是，Amold變換具有周期性，即當(dāng)?shù)侥骋徊綍r(shí)，將重新得到原始圖像。Dyson和Falk分析了離散Amold變換的周期性，給出了對(duì)于任意N2,Amold變換的周期性幾T2，這也許是迄今為止最好的結(jié)果了。依據(jù)Cox的觀點(diǎn)，水印信息應(yīng)該具有不可預(yù)測(cè)的隨機(jī)性，具有與噪聲相同的特性，這不僅可以提高水印的透明性，而且可以加強(qiáng)水印抗千擾的能力，提高水印的魯棒性。但是無(wú)意義的偽隨機(jī)序列通常應(yīng)用價(jià)值不大，有意義水印可附帶許多證明信息，如原作者的個(gè)人標(biāo)志，產(chǎn)品序列號(hào)等，在版權(quán)證明上顯然較無(wú)意義水印更具有直觀性和可驗(yàn)證性。所以在本算法中，選取有特殊意義的二值圖像做為原始水印。另外 ,為了提高水印的不可見(jiàn)性和魯棒性，在水印嵌入之前，我們先對(duì)原始水印進(jìn)行Amold變換預(yù)處理，處理之后的水印圖像各像素點(diǎn)變?yōu)殡s亂均勻分布，這樣不僅提高了水印的透明性，而且加強(qiáng)水印抗干擾的能力，提高了水印的魯棒性。當(dāng)嵌有水印的圖像在網(wǎng)絡(luò)中傳播時(shí)，難免會(huì)遇到有意或無(wú)意的干擾破壞，印也會(huì)受到相應(yīng)損壞，當(dāng)經(jīng)過(guò)預(yù)處理的水印被提取出來(lái)并利用Amold變換恢復(fù)出原始水印圖像時(shí)，被損壞的部分就被分散到了全圖，對(duì)人類(lèi)視覺(jué)的影響也就不明顯了，這樣就相當(dāng)于加強(qiáng)了水印的魯棒性。同時(shí)，由于提取出的水印是一幅被置亂的圖像，只有原始嵌入者知道采用的何種變換及變換次數(shù)，從而利用Arnold變換的周期性將之恢復(fù)成原始水印圖像，而非法攻擊者面對(duì)雜亂圖像，不僅不能夠得到有用信息，并且很難進(jìn)行偽造，所以，預(yù)處理也增強(qiáng)了算法的安全性。目前的小波域水印算法,對(duì)于水印嵌入位置的選擇有不同的意見(jiàn)。一種意見(jiàn)認(rèn)為低頻子圖是圖像的平滑部分，人眼對(duì)這部分的失真比較敏感，基于水印的不可感知性考慮，應(yīng)將水印數(shù)據(jù)隱藏在圖像的高頻部分亦即小波分解后的高頻系數(shù)中，而不應(yīng)在低頻系數(shù)嵌入水印。另一種意見(jiàn)則認(rèn)為中高頻子圖的小波系數(shù)幅度一般較小，常接近于0，而低頻部分集中了圖像的大部分能量，系數(shù)的振幅比細(xì)節(jié)子圖的系數(shù)大得多，由人類(lèi)視覺(jué)特性知，背景亮度越大，嵌入信號(hào)的JND就越高，即低頻逼近子圖具有較大的感覺(jué)容量，相當(dāng)于一個(gè)強(qiáng)背景，可以容納更強(qiáng)或者更多的水印信息，只要迭加的水印信號(hào)低于JND值，視覺(jué)系統(tǒng)就無(wú)法感覺(jué)到信號(hào)的存在。這樣在圖像有一定失真的情況下，仍能保留主要成分，可保持原始載體圖像的主觀視覺(jué)質(zhì)量基本不變，于是提出水印嵌入低頻系數(shù)中。(根據(jù)小波變換的特性和小波分解系數(shù)分析可知，各級(jí)小波子圖對(duì)視覺(jué)系統(tǒng)的影響是不同的，隨著分級(jí)的增加，其重要性也隨之增加，在同一尺度下，水平、垂直子圖的重要性稍高于對(duì)角子圖，人眼對(duì)水平、垂直分量上的變化比對(duì)角線分量上的變化要敏感。)以前的很多算法不在低頻系數(shù)中加入水印，原因是避免出現(xiàn)方塊效應(yīng)，但經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)證明，不在低頻部分嵌入所有水印，只嵌入一部分水印，再在中頻部分嵌入一部分水印，既能保證不可見(jiàn)性又有很好的魯棒性。在小波域,為了使數(shù)字水印具有較好的魯棒性，用于嵌入水印的小波系數(shù)就應(yīng)該滿足以下兩個(gè)條件:小波系數(shù)不應(yīng)該過(guò)多的被信號(hào)處理和噪聲干擾所改變；具有較大的感覺(jué)容量，以便嵌入一定強(qiáng)度的水印后不會(huì)引起原始圖像視覺(jué)質(zhì)量的明顯改變3]。綜合考慮上述嵌入位置的探討以及小波分解系數(shù)的特點(diǎn)，本文將水印的嵌入位置選擇為原始圖像經(jīng)過(guò)小波三級(jí)分解后的中頻和低頻分量上。為了權(quán)衡水印不可見(jiàn)性和魯棒性，決定優(yōu)先選擇在原始圖像小波分解后的第二級(jí)分量上嵌入水印。具體嵌入位置如下:(與水印嵌入在低頻系數(shù)的比較在下節(jié)實(shí)驗(yàn)中體現(xiàn))① 將水印圖像一級(jí)小波分解后的水平分量嵌入到原始圖像小波分解后的第二級(jí)水平分量上(中頻分量):水印圖像一級(jí)小波分解后的垂直分量嵌入到原始圖像小波分解后的第二級(jí)垂直分量上；水印圖像一級(jí)小波分解后的對(duì)角分量嵌入到原始圖像小波分解后的第二級(jí)對(duì)角分量上。② 而由于人眼對(duì)對(duì)角分量上噪聲的敏感度低于水平、垂直分量上噪聲的敏感度，所以將水印經(jīng)一級(jí)小波分解后的低頻分量嵌入到原始圖像小波分解后的第三級(jí)對(duì)角分量上。