湖南省20xx年中考數學總復習第三單元函數及其圖象課時15二次函數的綜合問題課件(已改無錯字)
2023-07-21 12:18:22 本頁面
【正文】 次函數圖象上 ,求證 :a0. 解 :(1 ) 該二次函數圖象不 x 軸有 1 個或 2 個交點 . 理由如下 : ∵ a ≠ 0, Δ =b2+ 4 a ( a+b ) = ( b+ 2 a )2≥ 0, ∴ 該二次函數圖象不 x 軸有 1 個或 2 個交點 . (2) 由表達式可得 , 圖象過 (1 ,0), 則丌經過 C (1 ,1), 即只可能經過 A , B 兩點 . 代入 A , B 的坐標得 ?? ?? ( ?? + ?? ) = 4 ,?? + ?? = 1 , ∴ ?? = 3 ,?? = 2 , ∴ y= 3 x 2 2 x 1 . 課堂互動探究 拓展 2 [2022杭州 ] 設二次函數 y=ax2+bx(a+b)(a,b是常數 ,a≠0). (3)若 a+b0,點 P(2,m)(m0)在該二次函數圖象上 ,求證 :a0. (3) 證明 : ∵ P (2, m ) 在二次函數圖象上 , ∴ m= 4 a+ 2 b ( a+b ) = 3 a+b =a+b+ 2 a. 又 ∵ a+b 0, m 0, ∴ 2 a 0, 即 a 0 . 課堂互動探究 探究二 二次函數不幾何相結合的應用 例 2 [2022婁底 ] 如圖 154,拋物線 y=ax2+bx+c不兩坐標軸相交于點 A(1,0),B(3,0),C(0,3),D是拋物線的頂點 ,E是線段 AB的中點 . (1)求拋物線的表達式 ,并寫出 D點的坐標 。 (2)F(x,y)是拋物線上的動點 , ①當 x1,y0時 ,求 △BDF的面積的最大值 。 ②當 ∠ AEF=∠ DBE時 ,求點 F的坐標 . 圖 15 4 解 :(1 ) 將 A ( 1,0 ), B (3 , 0) , C (0 ,3) 代入 y= ax 2 +bx+c , 得 ?? ?? + ?? = 0 ,9 ?? + 3 ?? + ?? = 0 ,?? = 3 , 解得 ?? = 1 ,?? = 2 ,?? = 3 , ∴ 拋物線的表達式為 y= x 2 + 2 x+ 3 . ∵ y= x 2 + 2 x+ 3 = ( x 1) 2 + 4, ∴ 頂點 D 的坐標為 (1 ,4) . 課堂互動探究 例 2 [2022婁底 ] 如圖 154,拋物線 y=ax2+bx+c不兩坐標軸相交于點 A(1,0),B(3,0),C(0,3),D是拋物線的頂點 ,E是線段 AB的中點 . (2)F(x,y)是拋物線上的動點 , ①當 x1,y0時 ,求 △BDF的面積的最大值 。 ②當 ∠ AEF=∠ DBE時 ,求點 F的坐標 . 圖 15 4 課堂互動探究 (2) ① 過點 F 作 FM ∥ y 軸 , 交 BD 于點 M , 如圖 ① 所示 . 設直線 BD 的表達式為 y= m x+ n ( m ≠ 0 ), 將 (3 ,0),(1,4) 代入 y=m x+ n , 3 ?? + ?? = 0 ,?? + ?? = 4 , 解得 ?? = 2 ,?? = 6 , ∴ 直線 BD 的表達式為 y= 2 x+ 6 . ∵ 點 F 的坐標為 ( x , x2+ 2 x+ 3), ∴ 點 M 的坐標為 ( x , 2 x+ 6), ∴ FM= x2+ 2 x+ 3 ( 2 x+ 6) = x2+ 4 x 3, ∴ S △ B D F =12FM ( x B x D ) = x2+ 4 x 3 = ( x 2)2+ 1 . ∵ 1 0, ∴ 當 x= 2 時 , S △ B D F 取最大值 , 最大值為 1 . 課堂互動探究 ② 過點 E 作 EN ∥ BD 交 y 軸于點 N , 交拋物線于點 F 1 , 在 y 軸負半軸取 ON39。=O N , 連接 EN39。 , 射線 EN39。 交拋物線于點 F 2 , 如圖 ② . ∵ EF 1 ∥ BD , ∴ ∠ AEF 1 = ∠ DBE. ∵ ON= ON39。 , EO ⊥ NN39。 , ∴ ∠ AEF 2 = ∠ AEF 1 = ∠ DBE. ∵ E 是線段 AB 的中點 , A ( 1,0 ), B (3 ,0), ∴ 點 E 的坐標為 (1 , 0) . 設直線 EF 1 的表達式為 y= 2 x+ b 1 , 將 E (1 ,0) 代入 y= 2 x+ b 1 , 得 2 +b 1 = 0, 解得 b 1 = 2, ∴ 直線 EF 1 的表達式為 y= 2 x+ 2 . 聯(lián)立直線 EF 1 、拋物線表達 式成方程組 , ?? = 2 ?? + 2 ,?? = ??2+ 2 ?? + 3 , 解得 ??1= 2 5 ,??1= 2 5 2 , ??2= 2 + 5 ,??2= 2 5 2 , ( 舍去 ) ∴ 點 F 1 的坐標為 (2 5 ,2 5 2) . 當 x= 0 時 , y=
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