羅默高級宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)(第3版)課后習(xí)題詳解(第1章索洛增長模型)(已改無錯字)
2023-04-25 07:19:04 本頁面
【正文】 （1）令，則上式可以簡化為： （2）方程（2）表明，在平衡增長路徑附近，移向的速度幾乎與和之間的距離成比例。也就是說，的增長率近似于一個固定的常數(shù)，這意味著 （3）其中，是的初始值。其次，確定的值。對生產(chǎn)函數(shù)兩端關(guān)于時間求導(dǎo)數(shù)可得： （4）而教材中資本積累的方程為： （5）由方程（4）和（5）可得： （6）方程（6）兩端對求導(dǎo)可得： （7）在平衡增長路徑上，因而方程（7）可以表示為： （8）由于，其中，從而有： （9）由方程（8）和（9）可得：綜上可得： （10）因?yàn)樵谄胶庠鲩L路徑上，從而方程（10）可以表示為： （11）又由于，所以方程（11）可以簡化為：綜上所述，在平衡增長路徑附近，以近似于的不變速度收斂于平衡增長路徑值。 物化（embodied）的技術(shù)進(jìn)步（索洛，1960；薩托，1966）。有關(guān)技術(shù)進(jìn)步的一種觀點(diǎn)是，在時刻建立的資本品的生產(chǎn)力依存于時刻的技術(shù)狀態(tài)，并且不受后續(xù)技術(shù)進(jìn)步的影響。這便是眾所共知的物化的技術(shù)進(jìn)步（技術(shù)進(jìn)步在其可提高產(chǎn)出之前，必須“物化”在新資本中）。這個習(xí)題要求去探討其效應(yīng)。（a）作為一個前提，把基本的索洛模型修改為技術(shù)進(jìn)步是資本增加型的而非勞動增加型的，使得一個平衡增長路徑存在。假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)是柯布—道格拉斯型的。假設(shè)以如下的速率增長：。證明經(jīng)濟(jì)收斂于平衡增長路徑，并且求出平衡增長路徑上的與的增長率。（提示：證明可把寫成的函數(shù)，這里，然后分析的動態(tài)學(xué)。）（b）現(xiàn)在考慮物化的技術(shù)進(jìn)步。特別地，設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為，式中是有效資本存量，的動態(tài)學(xué)為。在這個表達(dá)式中的出現(xiàn)意味著在時刻，投資的生產(chǎn)力依存時刻的技術(shù)。證明經(jīng)濟(jì)收斂于平衡增長路徑。在平衡增長路徑上，與的增長率是多少？（提示：令。然后利用像（a）一樣的分析方法，主要集中于用替代。（c）在平衡增長路徑上，產(chǎn)出關(guān)于的彈性是什么？（d）在平衡增長路徑鄰近區(qū)域，經(jīng)濟(jì)怎樣快速地收斂于平衡增長路徑？（e）將（c）與（d）中得出的結(jié)論與課文中基本的索洛模型得出的相應(yīng)結(jié)論進(jìn)行比較。答：（a）以的形式進(jìn)入，則技術(shù)進(jìn)步為哈羅德中性的；以的形式進(jìn)入，則技術(shù)進(jìn)步為資本增加型的；以的形式進(jìn)入，則技術(shù)進(jìn)步為希克斯中性的。本題為第二種情況。資本增進(jìn)型的技術(shù)進(jìn)步的生產(chǎn)函數(shù)的形式為： （1）在方程（1）左右兩邊同時除以，可得：上式再簡化為：定義：，及，代入上式，可得： （2）為求的動態(tài)學(xué)，將）兩邊求導(dǎo)數(shù)得：即：將，及代入上式，可得： （3）總資本存量的動態(tài)方程式為： （4）將方程（4）代入（3），可得：將方程（2）代入上式，可得： （5）方程（5）與索洛模型（勞動增進(jìn)型）中的資本動態(tài)方程非常相似。不過，本模型用而不是用有效勞動）來衡量資本。圖111是的變化圖。圖111 收斂于當(dāng)每單位的實(shí)際投資超過每單位的持平投資時，將上升趨向于；反之，當(dāng)每單位的實(shí)際投資小于每單位的持平投資時，將下降趨向于。忽略為0的情況，經(jīng)濟(jì)將在時收斂到平衡增長路徑。因?yàn)?，所以?dāng)時，也將保持不變。再分析總的情況：總資本為，由于保持不變，因此的增長率為；同理，總產(chǎn)出為，由于保持不變，因此的增長率為。由于和被假定按既定的速率增長，因此，由于所有的變量均按既定的速率增長，經(jīng)濟(jì)收斂到平衡增長路徑。（b）考慮物化的技術(shù)進(jìn)步的情況。生產(chǎn)函數(shù)的形式為： （6）定義，代入方程（6），生產(chǎn)函數(shù)的形式可以重寫為： （7）對方程（7）兩邊同時除以，得： （8）定義，及，代入方程（8），可得： （9）為分析的動態(tài)學(xué)，對兩邊取導(dǎo)數(shù)，即：將，及代入上式，可得： （10）為求得表達(dá)式，對兩邊取導(dǎo)數(shù)，即：將，及代入上式，可得：上式再簡化為： （11）將方程（11）代入（10），可得：將代入上式，可得： （12）圖112 收斂于圖112是的變化圖。忽略為0這種情況，經(jīng)濟(jì)將在時收斂。同理，由于，將保持不變，即保持在時的狀態(tài)?？偖a(chǎn)出，由于保持不變，總產(chǎn)出的增長率為。由定義可知，在經(jīng)濟(jì)收斂于平衡增長路徑時，保持不變，的增長率為。由于，所以，有效資本
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