【正文】 交于 ， 兩點，當(dāng)圓 的半徑最長l lCAB是，求 。|AB 請考生在第（22） 、 （23 ） 、 （24）三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用 2B 鉛筆在答題卡上將所選題號后的 方框涂黑。（22 ） （本小題滿分 10 分）選修 4—1：幾何證明選講 如圖，直線 為圓的切線，切點為 ，點 在圓上，ABBC的角平分線 交圓于點 ， 垂直 交圓于點 。C?EDED （Ⅰ）證明： ；DC? （Ⅱ）設(shè)圓的半徑為 ， ，延長 交 于點 ，13BCABF求 外接圓的半徑。BCF? （23 ） （本小題 10 分）選修 4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)） ，以坐標(biāo)原點為極點， 軸的正半軸1C5cos,inxty????? x為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 的極坐標(biāo)方程為 。22i???（Ⅰ）把 的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；1（Ⅱ）求 與 交點的極坐標(biāo)（ ） 。C20,???? （24 ） （本小題滿分 10 分）選修 4—5：不等式選講已知函數(shù) ， 。()|21||fxxa???()3gx??（Ⅰ）當(dāng) 時，求不等式 的解集；a()f?（Ⅱ）設(shè) ，且當(dāng) 時， ，求 的取值范圍。?[,2x?()fx?a 2022 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文） （北京卷）本試卷滿分 150 分，考試時 120 分鐘，考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效，第一部分（選擇題 共 40 分）一、選擇題（共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要 求的一項）1．已知集合 ， ，則 （ ）??1,0A???|1Bx????AB??A． B． C． D．,?0,1??1,0?2．設(shè) ， ， ，且 ，則（ ）abcR?ab?A． B． C． D．?1?2ab?3ab?3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間 上單調(diào)遞減的是（ ）(0,)??A． B． C． D．1yx?xye??21yx???lgyx?4．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 對應(yīng)的點位于（ ）(2)i?A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 5．在 中， ， ， ，則 （ ）ABC?3a?5b1sin3A?sinBA． B． C． D．19516．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 值為（ ）SA． B． 123C． D．326109877． 雙曲線 的離心率大于 的充分必要條件是21yxm??2A． B．?1m?C． D．12? 8．如圖，在正方體 中， 為對角線 的三等分點，則 到1ABCD?P1BDP各頂點的距離的不同取值有（ ）A． 個 B． 個 C． 個 D．345個6第二部分（選擇題 共 110 分）二、填空題（共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分）9．若拋物線 的焦點坐標(biāo)為 ，則 ，準(zhǔn)線方程為 。2ypx?(1,0)p? 10．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為 。 11．若等比數(shù)列 滿足 ， ，則公比 ；前 項和??na240??3540aq?n 。nS?12．設(shè) 為不等式組 所表示的平面區(qū)域，區(qū)域 上的點與點 之間的距離的D023xy????????D(1,0) 最小值為 。13．函數(shù) 的值域為 。12log,()xf????????14．向量 ， ， ，若平面區(qū)域 由所有滿足 （(1,)A?(3,0)B(2,1)CDAPBC????????， ）的點 組成，則 的面積為 。2????P 三、解答題（共 6 小題，共 80 分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明，演算步驟）15． （本小題共 13 分） 已知函數(shù) 21()cos)incos42fxx???（1 ）求 的最小正周期及最大值。（2 ）若 ，且 ，求 的值。(,)2???()2f?? 16． （本小題共 13 分） 下圖是某市 3 月 1 日至 14 日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于 100 表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于 200 表示空氣重度污染。某人隨機選擇 3 月 1 日至 14 日中的某一天到達該市，并停留 2 天。（1 ）求此人到達當(dāng)日空氣重度污染的概率。（2 ）求此在在該市停留期間只有一天空氣重度污染的概率。（3 ）由圖判斷，從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）17． （本小題共 14 分）如圖，在四棱錐 中， ， ， ，平面 底面PABCD?/ABD?2CAB?PD?， ， 和 分別是 和 的中點，求證：ABCD?EFP（1 ） 底面（2 ） 平面/（3 ）平面 平面 PCD 18． （本小題共 13 分）已知函數(shù) 2()sincofxx??（1 ）若曲線 在點 處與直線 相切，求 與 的值。y(,)afyb?ab（2 ）若曲線 與直線 有兩個不同的交點，求 的取值范圍。)fxyb19． （本小題共 14 分）直線 （ ） ： 相交于 ， 兩點， 是坐標(biāo)原點ykxm??0?W214xy??ACO（1 ）當(dāng)點 的坐標(biāo)為 ，且四邊形 為菱形時，求 的長。B(,1)OB（2 ）當(dāng)點 在 上且不是 的頂點時，證明四邊形 不可能為菱形。20． （本小題共 13 分）給定數(shù)列 ， ， ， 。對 ，該數(shù)列前 項的最大值記為 ，后1a2? ? na1,23,in??? iiA項 ， ， ， 的最小值記為 ， 。ni?i?i? ? iBiiidA（1 ）設(shè)數(shù)列 為 ， ， ， ，寫出 ， ， 的值。??n347123（2 ）設(shè) ， ， ， （ ）是公比大于 的等比數(shù)列，且 ，證明 ， ，1a2? ? na?10a?1d2， 是等比數(shù)列。? ? nd?（3 ）設(shè) ， ， ， 是公差大于 的等差數(shù)列，且 ，證明 ， ， ，12? ? 1nd?01d12? ?是等差數(shù)列。na?2022 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)（文） （北京卷）參考答案一、選擇題（共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分）1． B 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．B 二、填空題（共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分）9． ， 10． 11． ，x??321n??12． 13． 14．25(,2)??3三、解答題（共 6 小題，共 80 分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明，演算步驟）15． （本小題共 13 分） 解：（1） 21()cos)incos42fxx??? 1si4cs2xin()???所以，最小正周期 42T當(dāng) （ ），即 （ ）時42xk??Z?16kx???Z? max()f?（2 ）因為 22()sin(4)f??? 所以 si1? 因為 ，所以2??9174??? 所以 ，即54??616． （本小題共 13 分）解：（1）因為要停留 2 天，所以應(yīng)該在 3 月 1 日至 13 日中的某天到達，共有 13 種選擇，其間重度污染的有兩天， 所以概率為 123P?（2 ）此人停留的兩天共有 13 種選擇，分別是： ， ， ， ， ，(1,2),3(,4),5(,6)， ， ， ， ， ， ，(6,7),8(,9),0)(1,) 1其中只有一天重度污染的為 ， ， ， ，共 4 種，456(7,8),9所以概率為 213P?（3 ）因為第 5，6 ，7 三天的空氣質(zhì)量指數(shù)波動最大，所以方差最大。17． （本小題共 14 分）證明：（1）因為 ，平面 底面 且平面 底面PAD?PA?BCDPA?BCDA? 所以 底面 BC（2 ）因為 和 分別是 和 的中點，所以 ，EF/EF而 平面 ， 平面 ，所以 平面??（3 ）因為 底面 ， 平面PA?DABCD 所以 ，即CP因為 ， ，所以B//而 平面 ， 平面 ，且??PA??所以 平面D?A因為 ，所以 ，所以四邊形 是平行四邊形，/C2B?BED所以 ，而 平面 ， 平面BE?所以 平面 ，同理 平面 ，/P/EFPA而 平面 ， 平面 且F??? 所以平面 平面 ， 所以 平面/ADC?/BEF 又因為 平面C所以平面 平面BE?P18． （本小題共 13 分）解：（1） 39。()2cos(2cs)fxxx???因為曲線 在點 處的切線為yf,afyb? 所以 ，即 ，解得39。()0fab????2cos0inaab?????01a????（2 ）因為 cosx?? 所以當(dāng) 時 ， 單調(diào)遞增039。()f()fx 當(dāng) 時 ， 單調(diào)遞減x?39。 所以當(dāng) 時， 取得最小值 ，?()fx(0)1f? 所以 的取值范圍是b1,??19． （本小題共 14 分）解：（1）線段 的垂直平分線為 ，OB2y? 因為四邊形 為菱形，AC所以直線 與橢圓的交點即為 ， 兩點12y?AC對橢圓 ，令 得4x?12y3x??所以 23AC?（2 ）方法一：當(dāng)點 不是 的頂點時，BW 聯(lián)立方程 得214ykxm??????22(4)840kxm???設(shè) ， ，1(,)Axy12(,)C則 ， ，12284km???214xk??? 121y2()kx2814m???2k 若四邊形 為菱形，則 ，即OABCAOC?22?所以 221xy??即 22121()()yy???因為點 不是 的頂點，所以 ，BW0x?所以 1212xy???即 ，即2841km?4k所以 0k?此時，直線 與 軸垂直，所以 為橢圓的上頂點或下頂點，與已知矛盾，ACyB所以四邊形 不可能為菱形OB方法二：因為四邊形 為菱形，所以 ，AOC?設(shè) （ ）ACr?1?則 ， 兩點為圓 與橢圓 的交點22xyr??214xy??聯(lián)立方程 得2214y????2()3?所以 ， 兩點的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)。AC因為點