屆總復(fù)習(xí)-走向清華北大--50古典概型與幾何概型(已改無錯(cuò)字)
2023-02-18 18:01:32 本頁(yè)面
【正文】 )2≤4的點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可 . [解 ] (1)如圖 ,點(diǎn) P所在的區(qū)域?yàn)檎叫?ABCD的內(nèi)部 (含邊界),滿足 (x2)2+(y2)2≤4的點(diǎn)的區(qū)域?yàn)橐?(2,2)為圓心 ,2為半徑的圓面 (含邊界 ). (2)滿足 x,y∈ Z,且 |x|≤2,|y|≤2的點(diǎn) (x,y)有 25個(gè) ,滿足 x,y∈ Z,且(x2)2+(y2)2≤4的點(diǎn) (x,y) 有 6個(gè) ,∴ 所求的概率 P2= 類型六 生活中的幾何概型 解題準(zhǔn)備 :生活中的幾何概型常見的有人約會(huì) ?船停碼頭 ?等車等問題 ,解決時(shí)要注意 : (1)要注意實(shí)際問題中的可能性的判斷 。 (2)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型中的長(zhǎng)度 ?角度 ?面積 ?體積等常見幾何概型的求解問題 ,構(gòu)造出隨機(jī)事件 A對(duì)應(yīng)的幾何圖形 ,利用幾何圖形的度量來求隨機(jī)事件的概率 ,根據(jù)實(shí)際問題的具體情況 ,合理設(shè)置參數(shù) ,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 ,在此基礎(chǔ)上將試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果一一對(duì)應(yīng)于該坐標(biāo)系的點(diǎn) ,便可構(gòu)造出度量區(qū)域 . 【 典例 6】 兩人約定在 20∶ 00到 21∶ 00之間相見 ,并且先到者必須等遲到者 40分鐘方可離去 ,如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的 ,在 20∶ 00至 21∶ 00各時(shí)刻相見的可能性是相等的 ,求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見的概率 . [分析 ] 兩人不論誰(shuí)先到都要等遲到者 40分鐘 ,即 小時(shí) ,設(shè)兩人分別于 x時(shí)和 y時(shí)到達(dá)約見地點(diǎn) ,要使兩人在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見 ,當(dāng)且僅當(dāng) ≤xy≤ ,因此轉(zhuǎn)化成面積問題 ,利用幾何概型求解 . [解 ] 設(shè)兩人分別于 x時(shí)和 y時(shí)到達(dá)約見地點(diǎn) ,要使兩人能在約定時(shí)間范圍內(nèi)相見 , 當(dāng)且僅當(dāng) ≤xy≤ 兩人到達(dá)約見地點(diǎn)所有時(shí)刻 (x,y)的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi) (包括邊界 )的點(diǎn)來表示 ,兩人能在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見的所有時(shí)刻 (x,y)的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分 (包括邊界 )來表示 . 因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時(shí)間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小 ,也就是所求的概率為 [反思感悟 ] 此題易誤算為 原因在于把面積問題誤認(rèn)為是 (時(shí)間 )長(zhǎng)度問題 ,兩人能夠會(huì)面用圖中陰影部分表示更準(zhǔn)確 ,此處容易表示錯(cuò) . 錯(cuò)源一 對(duì)事件的幾何元素分析不清致誤 【 典例 1】 在等腰 Rt△ ABC中 ,過直角頂點(diǎn) C在 ∠ ACB內(nèi)作一條射線 CD與線段 AB交于點(diǎn) D,求 ADAC的概率 . [錯(cuò)解 ] 在線段 AB上取一點(diǎn) E,使 AE=AC,在線段 AE上取一點(diǎn)D,過 C?D作射線 CD,此時(shí) ADAC,求得概率為 [剖析 ] 上面是常見的錯(cuò)誤解法 ,原因是不能準(zhǔn)確找出事件的幾何度量 . [正解 ] 射線 CD在 ∠ ACB內(nèi)是均勻分布的 ,故 ∠ ACB=90176。 可看成試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域 ,在線段 AB上取一點(diǎn) E,使AE=AC,則 ∠ ACE=176。 可看成所求事件構(gòu)成的區(qū)域 ,所以滿足條件的概率為 [評(píng)析 ] 古典概型與幾何概型的判斷方法 古典概型 ?幾何概型以及前面復(fù)習(xí)的概率加法公式都是求解概率題目的方法 ,一個(gè)概率問題具體用什么方法求解需要去分析這一問題所描述的試驗(yàn)和事件 .因此 ,碰到概率問題時(shí) ,先確定該問題的試驗(yàn)會(huì)有哪些事件 .若試驗(yàn)包含的基本事件有有限個(gè) ,則考慮古典概型 。如果試驗(yàn)包含的基本事件有無限個(gè) ,則考慮幾何概型 .概率加法公
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