屆總復(fù)習(xí)-走向清華北大--44空間幾何體的表面積與體積(已改無錯字)
2023-02-18 18:02:03 本頁面
【正文】 ] (1)直觀圖如圖所示 . (2)解法一 :由三視圖可知該幾何體是長方體被截去一個角 ,且該幾何體的體積是以 A1A,A1D1,A1B1為棱的長方體的體積的 在直角梯形 AA1B1B中 ,作 BE⊥ A1B1, 則 AA1EB是正方形 , ∴ AA1=BE=1 在 Rt△ BEB1中 ,BE=1,EB1=1 ∴ BB1= 3,42∴ 幾何體的表面積 S=S正方形 AA1D1D+2S梯形 AA1B1B+S矩形BB1C1C+S正方形 ABCD+S矩形 A1B1C1D1=1+2 (1+2) 1+1 +1+1 2=7+ (m2). ∴ 幾何體的體積 V= 1 2 1= (m3), ∴ 該幾何體的表面積為 (7+ )m2,體積為 m3. 122234322 32解法二 :幾何體也可以看作是以 AA1B1B為底面的直四棱柱 ,其表面積求法同解法一 , V直四棱柱 D1C1CD— A1B1BA=Sh= (1+2) 1 1 = (m2). ∴ 幾何體的表面積為 (7+ )m2,體積為 m3. 1232232 [反思感悟 ] (1)由三視圖畫幾何體的直觀圖 ,掌握“長對正、寬相等 ,高平齊”的規(guī)則 ,是確定幾何體特征的關(guān)鍵 . (2)把不規(guī)則幾何體分割成幾個規(guī)則幾何體或者是補(bǔ)上一部分使之成為規(guī)則幾何體 ,是求不規(guī)則幾何體常用方法 . 錯源一 問題考慮不全 【 典例 1】 是否存在這樣的球 ,在該球內(nèi)有距離為 3的兩個平行截面且截面的面積分別為 5π和 8π?若存在 ,求出球面的表面積 。若不存在 ,請說明理由 . [錯解 ] 假設(shè)存在滿足題意的球 ,過圓心與截面的圓心作球的軸截面 ,如圖 .圓 O是球的大圓 ,A1B1,A2B2分別是兩個平行截面圓的直徑 ,C1,C2分別是兩個截面圓的圓心 ,設(shè)兩截面圓的半徑分別為 r1,r2,(r1r2),由題意可得 又 此方程無解 ,所以滿足題意的球不存在 . ,??2212r 8 r 52 2 2 221 3,R r R r? ? ? ? [剖析 ] 錯解只考慮了兩個平行截面都在球心同一側(cè)的情形 ,事實(shí)上兩個平行截面不一定都在球心的同一側(cè) . [正解 ] 假設(shè)存在滿足題意的球 . (1)如果兩個平行截面都在球心的同一側(cè) ,則解法同錯解 .(2)如果兩個平行截面在球心兩側(cè) ,過圓心與截面的圓心作球的軸截面 ,如圖 .圓 O是球的大圓 ,A1B1,A2B2分別是兩個平行截面圓的直徑 ,C1,C2分別是兩個截面圓的圓心 ,設(shè)兩截面圓的半徑分別為 r1,r2(r1r2).由題意可得 又 解得 R2=9, 所以球的表面積 S=4πR2=36π. 綜上可得 ,存在滿足題意的球 ,該球的表面積為 36π. ,??2212r 8 r 52 2 2 221 3,R r R r? ? ? ?錯源二 對三視圖的形成認(rèn)識不清 【 典例 2】 設(shè)某幾
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