【正文】 率曲線拉成一條直線的原理計算出來的。這種頻率格紙的縱坐標仍是普通分格，但橫坐標的分劃是不相等的，中間分格較密，越往兩端分格越稀，其間距在 P=50%的兩端是對稱的。 18 1答：皮爾遜Ⅲ型密度曲線的特點是： （１）一端有限，一端無限的不對稱單峰型曲線； （２）該 曲線有 0, a?? （它們與 x 、 Cv、 Cs 有關）三個參數(shù)； （ 3） Cs2Cv時，最小值為負值； Cs=2Cv時，最小值為 0； Cs=0 時，為正態(tài)曲線。 1答：離均系數(shù) Φ是頻率曲線上某點相對離均差 xxx? 與 Cv的比值，即 Φ =vCxxx? 。在進行頻率計算時，由已知的 Cs 值，查 Φ值表得出不同 P 的 ΦP值，然后利用已知的 x 、 Cv值 ，通過關系式? ???? vCxx 1 即可求出各種 P 相應的 xP值，從而可繪出 x ~ P 頻率曲線。 1答：有一個 n 項水文系列 X，按大小排序為： x x x??、 xm、?? 、 xn xn 。設 m 表示系列中等于及大于 xm的項數(shù)，則 %1001??? nmP 即為系列 X 等于大于 xm的頻率，由于是用實測資料計算的，因之稱為經(jīng)驗頻率。將 xm（ m= ??、 n）及其相應的經(jīng)驗頻率 p 點繪在頻率格紙上，并通過點群中間目估繪出一條光滑曲線，即得該系列 X 的經(jīng)驗頻率曲線。 1答：對暴雨和洪水（ %50?P ）， PT 1? ；對枯水（ %50?P ）， PT ??11 ；對于 P＝ 90%的枯水年，重現(xiàn)期為 （年） 1 ???T ,它表示小于等于 P＝ 90%的枯水流量在長時期內平均 10 年出現(xiàn)一次。 1答：無窮多個同容量樣本，若同一參數(shù)的平均值可望等于總體的同一統(tǒng)計參數(shù)，則這一參數(shù)成為無偏估計值，可以證明均值是無偏估計值， Cv,Cs是有偏估計值， 用樣本無偏估計公式計算的參數(shù) Cv和Cs，嚴格說，仍是有偏的，只是近似無偏，因為我們掌握的僅僅是一個樣本。 1答： nXXXX 、 .. .321 為從隨機變量 X 中抽取的容量為 n 的樣本，其均值為 x ； E(X)為原隨機變量 X 總體的數(shù)學期望： )()]([1)](. . .)()([1). . .()(21321XExnEnXEXEXEnnXXXXExEnn??????????? 1答：權函數(shù)法使估計 Cs只用到二階矩，有降階作用，有助于提高計算精度；采用了正態(tài)概率密度函數(shù)作為權函數(shù)，顯然增加了靠近均值部位的權重，削弱了遠離均值部位的權重，從而丟失 端矩面積，提高 Cs 的計算精度。 19 1答：首先，由實測資料繪出經(jīng)驗頻率曲線，在頻率曲線上任取三個點，計算偏度系數(shù) S；其次，由 S查 S ~ Cs關系表，求得相應的 Cs值；最后，再求其它參數(shù) x 和 Cv 。 1答：由有限的樣本資料算出的統(tǒng)計參數(shù)，去估計總體的統(tǒng)計參數(shù)總會出現(xiàn)一定的誤差，這種誤差稱為抽樣誤差。加長樣本系列可以減小抽樣誤差。 答：因為樣本系列一般比較短，當設計標準很稀遇的情況下，在經(jīng)驗頻率曲線上就查不到設計值，必須將經(jīng)驗頻率曲線外延，為避免外延的任意性， 給經(jīng)驗頻率曲線選配一條理論頻率曲線，將是一種比較好的方法。其次，一個國家用同一個線型，還便于地區(qū)之間的參數(shù)比較，也便于參數(shù)的歸納和分析。 2 答：廣泛采用配線法的理由是： （ 1）用經(jīng)驗頻率公式（數(shù)學期望公式）估算實測值頻率，它在數(shù)理統(tǒng)計理論上有一定的依據(jù)，故可將經(jīng)驗頻率點作為配線的依據(jù)； （ 2）現(xiàn)行配線法有一套簡便可行的計算方法。 2答：配線法的實質認為樣本的經(jīng)驗分布反映了總體分布的一部分，因此可用配線法推求總體分布，其步驟如下： （ 1）經(jīng)過審核的實測水文資料，按變量由大到小的次序排列，以各變量的序號 m，代入%1001??? nmP 式中，計算其經(jīng)驗頻率值 P，并將（ x,p）點繪在頻率格紙上； （ 2）以實測資料為樣本，用無偏估計值公式計算統(tǒng)計參數(shù) x 、 Cv、 Cs，由于 Cs抽樣誤差太大，一般當樣本容量不夠大時，常根據(jù)經(jīng)驗估計 Cs值； （ 3）選定線型，一般采用皮爾遜Ⅲ型曲線，如配合不好，可改用其他線型，如克 ~閔型等； （ 4）按計算的 x 、 Cv及假定 Cs 的幾個值，組成幾組方案，分別查皮爾遜Ⅲ型曲線的 Φ值或 Kp 值表， 并計算出各種頻率對應的 xp，最后以 xp 為縱坐標，以 P 為橫坐標，將幾條理論頻率曲線點繪在有經(jīng)驗點據(jù)的圖上。 （ 5）經(jīng)分析比較，選一條與經(jīng)驗頻率點配合較好的曲線作為計算成果。 2答：統(tǒng)計參數(shù) x 為平均數(shù)，它為分布的中心，代表整個隨機變量的水平。當 Cv和 Cs值固定時，由于x 的不同，頻率曲線的位置也就不同， x 大的頻率曲線位于 x 小的頻率曲線之上。 Cv稱變差系數(shù)，為標準差之和與數(shù)學期望值之比，用于衡量分布的相對離散程度。當 x 和 Cs 值固定時， Cv值越大，頻率曲線越陡；反之， Cv值越小，頻率曲線越平緩。 Cs為偏差系數(shù)，用來反映分布是否對稱的特征，它表征分布的不對稱程度。當 x 和 Cv值固定時， Cs愈大，頻率曲線的中部愈向左偏，且上段愈陡，下段愈平緩；反之， Cs愈小，頻率曲線的中部愈向右 20 偏，且上段愈平緩，下段愈陡。 2答：目估配線時，一般要求理論頻率曲線要從經(jīng)驗頻率點距中央 通過，使經(jīng)驗頻率點與理論頻率配合最佳為標準。由于是目估定線，最后結果可能是因人而異。在計算機上配線時，現(xiàn)在有以縱標離差平方和為最小等定線準則。 2答：按數(shù)理統(tǒng)計方法建立依變量和自變量間近似關系或平均關系，稱為相關分析。變量間是否存在相關關系，首先應從物理成因上分析，看變量之間是否確有成因關系，并把變量間的對應觀測值點在坐標紙上，觀察點群的密集程度進行判斷，也可計算出相關系數(shù)，通過相關系數(shù)的大小和檢驗判斷。 2答：相關分析步驟：（１）從成因上分析影響倚變量的主要因素，并結合實際選擇相關變量；（ 2）建立 相關方程（或相關圖）；（ 3）檢驗相關的密切程度和可靠性；（ 4）當相關密切及關系可靠時，其相關方程（或相關圖）即可付諸使用。相關分析一般用于插補和延展水文系列及建立水文預報方案。 2答：在相關分析中，相關系數(shù)是根據(jù)樣本資料計算的，必然會有抽樣誤差，因此，為 了推斷兩變量之間是否真正存在相關關系，必須對相關系數(shù)做顯著性檢驗，檢驗是采用數(shù)理統(tǒng)計中的假設檢驗的方法，實際操作時，先給定信度 ? ，用 n2（ n 為系列長度）和 ? 查出該信度 ? 下相關系數(shù)的最低值 a? ，當計算值 a??? 時，則檢驗通過，否則認為總體不相關。 2答：相關系數(shù)是表示兩變量相關密切程度的一個指標，因為： （ 1）當 12?? 時，由 21 ?? ??yS 知，回歸線的均方誤差為 Sy=0，兩變量之間為完全相關，即函數(shù)關系。 （ 2）若 2? =0， Sy= y? ,回歸線誤差達到最大，說明兩變量沒有關系。 （ 3） 0 2? 1, 2? 越接近 1， Sy越小，點據(jù)也越靠近回歸線。 2答：有些曲線形式可通過變量代換轉化為線性關系，仍用直線相關法進行計算。如冪函數(shù)形式baxy? ，兩邊取對數(shù) xbay lglglg ?? 令 yY lg? ， aA lg? ， bB? ， xX lg? 則 BXAY ?? 對新變量而言，便是直線關系了。當計算出 A 和 B 后，再求出 ba, ，即 Aa 10? ， Bb? 。 答：回歸直線只是一條平均關系線，相關點不會都落在回歸線上，而是散布于回歸線的兩旁，這樣對 同一個 ix ，實際值 iy 與回歸線上查到值 y 不會相等，必然存在離差 )( yyi ? ,用離差平方和的均值再開方作為衡量回歸線誤差的指標，稱為均方誤，即： 2 )(2??? ? n yyS iy 均方誤 yS 與系列 y 的均方差 y? 不同， y? 是變量對系列均值 y 離差平方和的平均值再開方，即： 21 1 )(2??? ? n yyiy? 3答：由有限的樣本資料算出的統(tǒng)計參數(shù)，去估計總體的統(tǒng)計參數(shù)總會出現(xiàn)一定的誤差，這種誤差稱為抽樣誤差。而回歸線的均方誤是由觀測點與相應回歸線之間的離差計算出來的。兩者從性質上講是不同的。 二、計算題 解：已知 m=50， n=1000，代入概率計算公式，得 05010 0050 ???? nmP = 5% 已知失敗次數(shù) m=100050=950，則 q = 95010 0095 0 ???nm = 95% 或者 q =1 p =1 5% = 95% 解：每點出現(xiàn)的概率為 61 ，則 P（ 3 或 4 或 5） =P（ 3） +P（ 4） +P（ 5） = 21616161 ??? 解：擲 1 次出現(xiàn) 6 點的概率 P（ 6） =61 連擲 2 次均得 6 點的概率 P（連得 2 次 6 點） =61 61 =361 連擲 3 次均得 5 點的概率 P（連得 3 次 5 點） =61 61 61 = 2161 解：可能的取值總數(shù) n =7 每一個值出現(xiàn)的概率 P（ X=xi） = 71 大于等于 5 的值有 10， 9， 7， 5 共 4 個數(shù)，則 P（ X≥ 5） =71 +71 +71 +71 = 74 = 解：可能的取值總數(shù) n =7 每一個值出現(xiàn)的概率 P（ X=xi） = 71 小于等于 4 的值有 2， 3， 4 共 3 個數(shù)，則 P（ X≤ 4） =71 +71 +71 = 73 = 解： P（ X≤ 4） = 121 +122 = 123 = P（ X≥ 5） = 123 +123 +122 +121 = 129 = 解：為方便計，計算列于表 241。 22 表 241 統(tǒng)計參數(shù)計算表 xi ki ki－ 1 （ ki－ 1） 2 （ ki－ 1） 3 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） 10 17 8 4 9 ∑ 48 則 69548 ???? ?nxx i ? ? ????? ? 5967701 2nkC iv ?? vCx? = ? ? ??????? ? 4405 25 4801 3vis nCkC 解：為方便計，計算列表于 242。 表 242 統(tǒng)計參數(shù)計算表 xi ki ki－ 1 （ ki－ 1） 2 （ ki－ 1） 3 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） 100 170 80 40 90 ∑ 480 則 965480 ??? ?nxx i ? ? ????? ? 5967701 2nkC iv ?? vCx? 96 = 42 ? ? ??????? ? 4405 25 4801 3vis nCkC 解：已知 T=100，由公式 PT 1? ，計算出 P=1% 當 CS=0。 60、 P=1%時，由表 142 查出 Φ P=2。 75 則 ? ?Pvp CPP ??? 1 =900（ 1+ ） =1395mm 23 解：設計洪水的頻率 P＜ 50%， 100%111 ??? PT 年； 設計年徑流的頻率 P＞ 50%， 10901 11 1 ????? PT 年。 1解： ? ??? ??????41 47531411i ixnx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??????????4 1 22222 2047454341I i xx ? ? 58214 201 2 ??????? ? n xx i? 6504582 ????? xC v ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??????????4 1 33333 047454341I i xx ? ?? ? ? ? 0303333 ???? ?? ? ?? nn xxC is 1解：已知 n=5，計算列表在表 243。先累加表 243 中的第（ 1）欄，∑ xi=1000，則 20220 00511 ???? ? ixnx 再計算 xi－ x ，進而計算（ xi－ x ） 2 和（ xi－ x ） 3 ，累加得 ∑（ xi－ x ） 2 =13950 ； ∑（ xi－ x ） 3 = 828750 則 ? ? 1591513 95 012 ??????? ? n xx i? 2950200 159 ????? xC v ? ? ?? ? ? ? 0215935 8287503333 ??????? ?? ? ?n xxC is 表 243 統(tǒng)計參數(shù)計算表 xi xix （ xix ） 2 （ xix ） 3 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 300 200 185