【正文】 315 )231(21231212 221111111nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa?????????????????????????????????? 1 1 ?? nnn bbb 與是 的等比中項 nnn bbb ??? ? 21 分時當分8 1321) 1l n (ln , )1(2301lnln 1,12911n i) 7 2411 0 ,11111111121212?????????????????????????????abbabebebbebebbbbeb n? ii)假設 *, Nkkn ?? 時不等式 13lnlnln)1(2321 ??????? kkk abbba ?成立， 則 n=k+1 時要證明 13lnlnlnln)1(2311211 ???????? ??? kkkk abbbba ? 只需證明： )13(13ln)1(23)1(23111 ???????? ??? kkkkk aabaa 即只需證明：kkkkk b 212ln2 12 111 ???? ??? ….9 分 第 14 頁 / 共 26 頁 1112112112212ln2ln ?????????????????????kkkkkkkkkkkkkbbbbbbbbbb?? ……..10 分 分分又 12 )1l n(2)1l n(2)1l n(2)1l n(ln 11 )1l n(2)1l n()1l n()1l n( 211211221????????? ???????? ???? ? bbbbb bbbbb kkkkk kkkkk ? 只需證明kkkk eb 411411)1l n(21212)1l n(2 21 ?????????? 只需證明 32)1(23)1ln( eee ????? 13 分 由 332 )1( ee ??????? 可知上面結(jié)論都成立 綜合 (i)(ii)可知 *Nn?? , 13lnlnln)1(2321 ??????? nnn abbba ?成立 …..14 分 法三： n=1 時同法一： 2?n 時左邊證明同法一 10 分 當 2?n 時，證明右邊如下： 11112312212111lnlnlnlnlnlnlnlnln)1l n ()1l n ()1l n (lnlnln lnln)1l n ()1l n (lnln ?????????????????????????????????nnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb??? 只需證明 )2(1312ln 1 ?????? nab nnn 11 分 e)l n( 1 2)1l n(2)1l n(2)1l n(2)1l n(ln 12 )1l n(2)1l n()1l n()1l n()1l n( 12112112221???????????? ???????????? ????? ? nnnnnn nnnnnnnn bbbbb bbbbbbbb ? 分又 只 需 證 明)2(2 12)1l n(12)1l n(2 11 ???????? ?? nee nnn ???? ? )2(232 12 1 nn? 只需證明 32)1(23)1ln( eee ????? 13 分 由 332 )1( ee ??????? 可知上面結(jié)論都成立 綜上所述 *Nn?? , 13lnlnln)1(2321 ??????? nnn abbba ?成立 …..14 分 注 1：nnnn bbb 211)1l n(12)1l n(2ln 111 ?????????若證必須 3?n 才行 不成立時當nbn 211)1l n(2,1 1 ???? 實際上 才有時當 ，nb 3,)1l n ( 1 ??? 成立nb 211811)1ln( 1 ????? 31212)(21 22)2(21)2(212:2 1111 ????????????????? ???? ??????? nnnnnnn aa 則設注 2022 屆理科數(shù)學三 /四 大題限時訓練（ 7） 1. （本題滿分 12 分） 解：（ 1）由向量 ,mn??共線有 ： 22 s in ( ) 2 c o s 1 3 c o s 2 ,2BA C B??? ? ??????? 2 分 BBB 2c o s3c o ss i n2 ?? ，?? 4 分 即 tan2 3B? ， ?? 5 分 又 0 2B ??? ，所以 02B ???，則 2B = 3? ，即 6B ?? ?? 7 分 （ 2）由余弦定理得 2 2 2 2 c o s ,b a c a c B? ? ? ?? 8 分 第 15 頁 / 共 26 頁 則 221 3 ( 2 3 )a c a c a c? ? ? ? ?， ?? 10 分 所以 2 3,ac?? 當且僅當 ac? 時等號成立 ?? 12 分 所以 11s in ( 2 3 )24ABCS a c B? ? ? ?． ?? 14 分 2. （本題滿分 14 分） 解：（ 1）由圖乙知輸出的 1 1 2 2 7 70S m f m f m f? ? ? ? ? ＝ 25 35 45 55 65 75 85 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 分 ＝ 47（ mg/100ml） ?? 3 分 S 的統(tǒng)計意義為 60 名酒后駕車者血液的酒精濃度的平均值 . ?? 4 分 （ 2）酒精濃度屬于 70－ 90 /100mg ml 的范圍的人數(shù)為 60 9?? ?? 5 分 ? 取值為 0， 1， 2 127)0( 2927 ???CCP ?，187)1( 291217 ???C CCP ?，361)2( 2922 ???CCP ? ?? 8 分 分布列如下： ?? 9 分 ? 0 1 2 P 127 187 361 吳、李兩位先生至少有 1 人被抽中的概率 ?P 125)2()1( ???? ?? PP ． ?? 10 分 （ 3） 判斷結(jié) 果：長期酒后喝茶與腎損傷有關(guān) . ?? 11 分 在長期酒后喝茶的條件下有腎損傷的概率為 214849492099 491 ???P ?? 12 分 在酒后不喝茶的條件下有腎損傷的概率為 781742427775 422 ???P ?? 13 分 若“酒后喝茶與腎損傷”無關(guān)，則 11 PP? ，但 214849 與 781742 相差較多，所以應該有關(guān) .?? 14 分 3. （本題滿分 12 分） 解：（ 1）依題意得 BCBBABBB ?? 11 , ，而 BCAB, 均在 ? 內(nèi)且相交， ?平面?? 1BB . ?? 2 分 分別以 1,BBBC 為 zy, 軸，如圖建立空間直角坐標系 令長方形邊長為 2，又 ??? 60ABC ，故得 ),2,0(),0,1,0(),2,0,0),0,1,3( 1 ?NMBA ?? 3 分 則 ),1,0(),2,1,3(1 ????? MNAB ?? 4 分 1 .AB MN? 得 021),1,0(),2,1,3(1 ????????? ??MNAB ?? 5 分 14121 CC????， 即 點 N 的位置在線段 C1C 的四等分點靠近 C 處 .?? 6 分 （ 2）由（ 1）得 )21,2,0(N ， )2,1,0(1 ??MB ， )23,2,0(1 ??NB 設 ),(),( 22221111 zyxnzyxn ?? 分別為平面 NABMAB 11, 的一個法向 量 . 由?????????001111MBnABn 即????? ???? 02 023 11 111zy zyx得 )1,2,0(1 ?n ?? 8 分 第 16 頁 / 共 26 頁 由?????????001212NBnABn 即???????????023202322222zyzyx 得 )34,33,5(2 ?n ?? 10 分 5151005 3436,c o s 21 2121 ?????????nnnnnn ?二面角 M—AB1—N 的余弦值 為 515 . ?? 12 分 4. （本題滿分 14 分） 解： ⑴ 由已知得14 1 4 1 2 4 1 1n n na a a? ? ? ? ? ? ?, 所以 221 21n n nb b b? ? ? , ……2 分 即 22 1 )1( ??? nn bb ，又 0?nb ， ? 1 1nnbb? ?? , ……3 分 所以數(shù)列 ??nb為等差數(shù)列 . ……4 分 ⑵ 由 ⑴ 得： 1 1nnbb? ??且 1 1b? ， nbn??， 即 2 141 4nn na n a ?? ? ? ?， ?? 5 分 24 4 1 12 ( )( 1 ) 1 ( 2 ) 2nc n n n n n? ? ? ? ?? ? ? ?， ?? 7 分 則12 1 1 1 1 12 ( 1 ) 2 ( ) 2 ( )3 2 4 2nnS c c c nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 8 分 1 1 1 2 ( 2 3 )2 ( 1 ) 32 1 2 ( 1 ) ( 2 )nn n n n?? ? ? ? ? ?? ? ? ?； ?? 9 分 ⑶ 設存在 ,mn滿足條件，則有 2222111 1 ( )44nm nmaa ??? ? ? ? ?， ?? 10 分 即 2 2 24( 1) ( 1)nm? ? ?，所以， 2 1m? 必為偶數(shù)，設為 2t ， ?? 11 分 則 2 2 2 21 1 ( ) ( ) 1n t n t n t n t? ? ? ? ? ? ? ? ?， ?有 11ntnt???? ???或 11ntnt? ???? ? ???，即 1, 0nt??， ?? 12 分 2 1 2 0 1m t m? ? ? ? ? ?與已知矛盾． ?? 13 分 ?不存在 *, ( , , )m n m n N m n??使得 1, ,mnaa三數(shù)成等比數(shù)列． ?? 14 分 2022 屆理科數(shù)學三 /四 大題限時訓練（ 8） (1)由函數(shù)的周期為 ? ，可知 2? ???，所以 2?? ?????????2 分 又 2( ) 2 , 2 s in ( ) 2 , c o s4 2 2f ?? ??? ? ? ?得 所 以 又 4),0 ???? ?? 所以 ??5 分 (2)由 63s in2 5 4 5f ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 得??????????7 分 又因 5( 0 , ) . ( , )4 4 4? ? ??