【正文】 S 21,2 ??? ???? nn 上述二階系統(tǒng)的數(shù)學模型中有兩個特征參數(shù) n??和 ，其中比振蕩頻率。稱為二階系統(tǒng)的無阻尼，稱為二階系統(tǒng)的阻尼比 n?? 上述二階系統(tǒng)的特征根表達式中，隨著阻尼比的不同值，特征根 S 有不同類型的值，或者說特征根 S在 S平面上位于不同的位置，共有以下五種情況。 圖 31 不同阻尼比二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) ? 1，特征根為一對不相等的負實根，位于 S 平面的負實軸上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為過阻尼的，過阻尼系統(tǒng)的階躍響應(yīng)其調(diào)節(jié)時間最長，進入穩(wěn)態(tài)很慢； 重慶郵電大學移通學院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 9 頁 共 54 頁 ? =1，特征根為一對相等的負實根，也是位于 S 平面的負實軸上，系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為臨界阻尼的，臨界阻尼系統(tǒng)的階躍響應(yīng)沒有超調(diào)量，且響應(yīng)速度比過阻尼時要快； 時，10 ??? 特征根為一對帶有負實部的共 軛復數(shù)跟，位于 S 平面的左半平面上，使得系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為欠阻尼的，欠阻尼系統(tǒng)上升時間比較快，調(diào)節(jié)時間也比較短，但是響應(yīng)曲線有超調(diào)量 ? =0 時，特征根為一對純虛根，位于 S 平面的虛軸上，系統(tǒng)的響應(yīng)表現(xiàn)為無阻尼的，無阻尼系統(tǒng)的階躍響應(yīng)以最快的速度達到穩(wěn)態(tài)值，但是曲線是等幅震蕩的； ? 0時，特征根位于 S平面的右半平面上，系統(tǒng)的響應(yīng)是發(fā)散的。 圖 32 阻尼比參量根軌跡 阻尼比的大小決定了閉環(huán)極點在根平面的位置，反映了解的性質(zhì)；極點的實部的大小，決定了指數(shù)衰減的快慢；極點虛部的大小，則決定了系統(tǒng)響應(yīng)振蕩的快慢。 第一節(jié) 穩(wěn)定性分析 頻率穩(wěn)定性判據(jù)有代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)和 Nyquist 穩(wěn)定性判據(jù)。代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)是基于控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程的判別方法，基本上提供的是控制系統(tǒng)絕對穩(wěn)定性的信息，對于系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性信息提供較少。頻域文獻判據(jù)所依據(jù)的是控制系統(tǒng)的開環(huán)頻域特性，也就是僅僅利用系統(tǒng)的開環(huán)信息，不僅可以確定系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且還可以提供相對穩(wěn) 定性的信息。 重慶郵電大學移通學院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 10 頁 共 54 頁 判據(jù) 負反饋系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在 G(s)H(s)平面上， Nyquist 圍線的象曲線逆時針繞 (1,j0)點的圈數(shù) R 與 G(s)H(s)在右半平面極點的個數(shù) P相同。 即：系統(tǒng)在右半 s閉環(huán)極點個數(shù) Z = P – R = 0 由于 G(s)H(s)曲線的對稱性，因此可以用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線 G(jw)H(jw)對 (1,j0)的包圍情況來判斷。 設(shè)特性曲線 G(jw)H(jw)對 (1,j0)的逆時針包圍次數(shù)為 N 則 R=2N（注意補充積分環(huán)節(jié)Nyquist 圍線上小 1/4 圓的象） 也可用 G(jw)H(jw)曲線對 (∞, 1)實軸段的穿越計算 N N+ 正穿越 (由上到下 ) N 負穿越 (由下到上 ) 閉合曲線 Γ F包圍原點圈數(shù)的計算 根據(jù) Γ GH包圍（ 1,j0）的圈數(shù)，計算 勞斯判據(jù)運用說明：已知線性定常系統(tǒng)的特征方程為 121 2 1 0( ) 0n n nn n nD s a s a s a s a s a????? ? ? ? ? ? ? 首先做勞斯表，將方程的各系數(shù)間隔的填入前兩行中，如下表： )(22 ?? ??? NNNR 重慶郵電大學移通學院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 11 頁 共 54 頁 624171 3 523421041 2 341 2 334121211nnn n nnnn n nnnnas a a aas a a abs b b bcs c c cdds d ds e esfsg?????? ? ???? 依照下列各式計算出其余的項 21311nnnnnaaaaba?????? ，41512nnnnnaaaaba?????? 13121 1nnaabbc b???? ，151321nnaabbcb???? 121211bbccdc?? ， 131321bbccdc?? 將計算各項依照上述法則全部計算完畢，填入勞斯表中。計算勞斯表呈三角形，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為： 勞斯表中， I ： 如果第一列中的數(shù)據(jù)全部大于零，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的；否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 II： 勞斯陣列的第一列系數(shù)出現(xiàn)了 0，則出現(xiàn)臨界穩(wěn)定，該系統(tǒng)具有純虛根，系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的。 III：勞斯陣列的第一列系數(shù)出現(xiàn)了負數(shù)，則出現(xiàn)系統(tǒng)不穩(wěn)定，該系統(tǒng)存在右極 點。 IV： 勞斯陣列的第一列系數(shù)出現(xiàn)的符號變換次數(shù)為右極點的個數(shù)。 III：勞斯陣列的第一列系數(shù)出現(xiàn)了負數(shù)，則出現(xiàn)系統(tǒng)不穩(wěn)定，該系統(tǒng)存在右極點。 IV：勞斯陣列的第一列系數(shù)出現(xiàn)的符號變換次數(shù)為右極點的個數(shù)。 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 0. 5KS0. 05SSD 2 ???）（ 重慶郵電大學移通學院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 12 頁 共 54 頁 作勞斯表： 2s 1s 1 0 0s K 根據(jù)勞斯判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性的要求是第一列的數(shù)據(jù)全部大于零，所以 K0. 由系統(tǒng)參數(shù)得知， 由于 ?fR （ 0401 R10~R10 ）； 且 0f KRR ? 所以， 110 K 410 第二節(jié) 穩(wěn)定（靜態(tài)）精度分析 單位階躍信號輸入時，由于 0 型系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù) PK 等于開環(huán)增益的大小 0K ，所以 0 型系統(tǒng)在階躍信號輸入作用時的穩(wěn)態(tài)誤差也為常數(shù)。 0 型系統(tǒng)施加斜坡信號，當時間趨于無窮大時，其穩(wěn)態(tài)誤差的值是趨于無窮大的。也就說， 0 型系統(tǒng)不能跟隨等速率信號。 1 型系統(tǒng)施加斜坡信號時，當時間趨于無窮大時，其穩(wěn)態(tài)誤差趨于常數(shù)值，且大小等于系統(tǒng)的開環(huán)增益 0K 的倒數(shù)。也就說， 1 型系統(tǒng)有跟蹤速率信號的能力，但是在跟隨過程中，只能實現(xiàn)有差跟蹤。 當輸入信號為加速度信號時， 0 型， 1型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤 差都是無窮大，只有 2型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差等于常數(shù)，且與系統(tǒng)開環(huán)增益的大小成反比，有限地實現(xiàn)對于加速度信號的跟蹤。 經(jīng)分析， 系統(tǒng)為Ⅰ型Ⅱ 階 系統(tǒng)，對于Ⅰ系統(tǒng)而言，它可以完全跟隨位置（階躍）信號，此時誤差為 0；也可以跟隨速度（斜坡）信號，但存在一個恒定的誤差。 重慶郵電大學移通學院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 13 頁 共 54 頁 誤差計算 表（ 1） 穩(wěn)態(tài)誤差分析簡表 由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)得知，此系統(tǒng)是 1 型 2 階系統(tǒng)， 所以 在輸入信號 x(t)=5+t 作用下 靜態(tài)精度誤差 ?2 . 5 . 5 K1102???????KRReee fsvspss 所以，綜上所述： K 410 所以 k10000,滿足穩(wěn)定性要求 ,令 k=150 用 MATLAB 判定系統(tǒng)穩(wěn)定性 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 75S0 .0 5 S 75G ( S)2 ??? num=[0 0 75]。 den=[ 1 75]。 G=tf(num,den) %得到傳遞函數(shù) Transfer function: 75 s^2 + s + 75 重慶郵電大學移通學院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 14 頁 共 54 頁 p=eig(G) p = %求系統(tǒng)的特征根 + p1=pole(G) p1 = %求系統(tǒng)的極點 + r=roots(den) r = %求系統(tǒng)特征方程的根 + 分析：系統(tǒng)特征根全部位于 S平面的左半平面，很顯然該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 第三節(jié) 動態(tài)性能分析 性能指標，是在分析一個控制系統(tǒng)的時候，評價系統(tǒng)性能好壞的標準。 系統(tǒng)性能的描述，又可以分為動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。粗略地說，系統(tǒng)的全部響應(yīng)過程中，系統(tǒng)的動態(tài)性能表現(xiàn)在過渡過程完結(jié)之前的響應(yīng)中，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能表現(xiàn)在過渡過程完結(jié)之后的響應(yīng)中。系統(tǒng)性能的描述，又可以準確的定量方 式來描述稱為系統(tǒng)的性能指標。本次研究二階系統(tǒng)。，其主要性能指標如下： 重慶郵電大學移通學院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 15 頁 共 54 頁 圖 331 二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) （ 1） 上升時間 rt 上升時間 rt 指階躍響應(yīng) C(t)上升至穩(wěn)態(tài)值所需要的時間?？紤] 到不敏感區(qū)或者允許誤差，有時取為從穩(wěn)態(tài)值的 10%上升至 90%時所需要的時間。在二階系統(tǒng)中， drt ????? ，其中 圖 332 阻尼比參量根軌跡 ???21arc tan ?? ， 故增大自然振蕩角頻率或減小阻尼比，都將減小上升時間。 （ 2） 峰值時間 pt 峰值設(shè)計 pt 指階躍響應(yīng) C（ t)從運動開始至到達第一峰值的時間。 dpt ??? ， 即峰值時間 pt 為阻尼振蕩周期的一半。 （ 3） 超調(diào)量 pM 超調(diào)量 pM 指系統(tǒng)響應(yīng)的第一峰值超出穩(wěn)態(tài)值的部分，將其取百分比，可以表為 重慶郵電大學移通學院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 16 頁 共 54 頁 %100)( )()(CM P ?? ??? C Ct p = %10021 ???? ??e 最優(yōu)值），響應(yīng)速度越快系統(tǒng)震蕩越劇烈響應(yīng)速度越慢系統(tǒng)越平穩(wěn)%(54 . 3 %M0 . 7 0 721M%)25%,(Mppp????????????????????PpMM 圖 333 超調(diào)量與阻尼比關(guān)系曲線 系統(tǒng)超調(diào)量僅與 ? 有關(guān)， ? 越小，超調(diào)量越大。超調(diào)量的數(shù)值直接說明了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。 （ 4） 調(diào) 節(jié)時間 st 調(diào)節(jié)時間 st 指階躍響應(yīng) C（ t)達到穩(wěn)態(tài)值的時間。 圖 334 衰減振蕩曲線的包絡(luò)線 重慶郵電大學移通學院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 第 17 頁 共 54 頁 調(diào)整時間與閉環(huán)極點與虛軸的距離成反比，極點離虛軸越遠，調(diào)整時間越短。 n