【正文】 2 并聯(lián)機構(gòu)彈性動力學(xué)建模與分析 引言 目前，人們對并聯(lián)機構(gòu)的研究 主要集中于其運動學(xué)和剛體動力學(xué)，而對其彈性動力學(xué)方面的研究很少。并聯(lián)機器人的一些輕質(zhì)構(gòu)件在高速運動時會發(fā)生彈性變形，這種彈性變形會影響機構(gòu)的運動精度，并產(chǎn)生沖擊和噪音等，所以必須開展并聯(lián)機構(gòu)的彈性動力學(xué)研究。 本文以 4UPS/UPU 空 間并聯(lián)機構(gòu)為研究對象，根據(jù)并聯(lián)機構(gòu)由多個獨立運動支鏈、動平臺和定 平臺構(gòu)成的特點，將機構(gòu)劃分為若干個子構(gòu)件并分別建立動力學(xué)方程，然后將子構(gòu)件的動力學(xué)方程組合成系統(tǒng)的動力學(xué)方程。在并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)建模中，將由輕質(zhì)細(xì)長桿件構(gòu)成的運動支鏈視為 彈性支鏈，將剛度較高的動平臺和定 平臺視為剛 體。為驗證方法的有效性，本章 最后 將以并聯(lián)機構(gòu) 4UPS/UPU的一運動軌跡為算例分析其動態(tài)特性。通過對動平臺的運動誤差、驅(qū)動桿應(yīng)力和系統(tǒng)頻率等動態(tài)特性的分析，深入 研究了 并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)性能。在滿足分析精度的前提下研究各彈性支鏈的變形對機構(gòu)性能的影響，本文將應(yīng)用機構(gòu)運動彈性動力學(xué)（ KioElasto Dynamics,簡稱 KED）法建立機構(gòu)的彈性動力學(xué)模型。下圖為 4UPSUPU空間并聯(lián)機構(gòu)的模型和機構(gòu)簡圖： 圖 4UPS/UPU 空間并聯(lián)機構(gòu)模型 圖 4UPS/UPU 空間并聯(lián)機構(gòu) 簡圖 Fig Model of 4UPS/UPU SPM Fig Mechanism diagram of 4UPS/UPU SPM 山東科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 并聯(lián)機構(gòu)彈性動力學(xué)建模與分析 7 單元彈性動力學(xué)方程的建立 空間有限元模型的建立 考慮到并聯(lián)機構(gòu)中的構(gòu)件主要是桿件，因此本文中彈性構(gòu)件選用矩形空間截面梁單元模型。在梁單元模型上建立局部坐標(biāo)系。各單元長度均為 l ，在單元的兩側(cè)截面各有一個節(jié)點 A、 B， AB 為局部坐標(biāo)系 x 軸的正方向，將 x 軸正方向沿逆時針轉(zhuǎn) ?90 為 z 軸正方向，同時垂直于 x、 z并按右手定則確定 y 軸正方向。梁單元模型如下圖： 圖 空間梁單元模型 Fig Model of spatial beam element 在空間梁單元模型中， 13~??、 10 12~??， 46~??、 13 15~??， 79~??、 16 18~?? 分別表示 A、 B 兩節(jié)點處在三坐標(biāo)軸方向的彈性位移、彈性轉(zhuǎn)角和曲率的廣義坐標(biāo)，則梁單元的廣義坐標(biāo)為 1 2 1 7 1 8[ , , , , ]T? ? ? ? ?? 。雖然應(yīng)用單元坐標(biāo)有利于分析單元結(jié)點變形和節(jié)點力間的關(guān)系，但各單元的坐標(biāo)系不統(tǒng)一，不便于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的整體性研究 ，因此應(yīng)該建立統(tǒng)一的坐標(biāo)系。本文所有單元的坐標(biāo)定義為定坐標(biāo)系 A A A AO X Y Z? 下的坐標(biāo)。 空間梁單元位移型函數(shù) 當(dāng)并聯(lián)機構(gòu)運動時，空間梁單元可能在 x y z、 、 方向上發(fā)生位移以及彈性變形。梁單元上各點位移及彈性轉(zhuǎn)角可以用廣義坐標(biāo)向量 ? 的函數(shù)式表示。空間梁單元的位移以及彈性變形描述如圖 所示， 、、 yzyx uuu ?? xz? 為單元上任意一點 C 在 x y z、 、軸方向上的彈性位移和彈性轉(zhuǎn)角。根據(jù)并聯(lián)機構(gòu) 4UPS/UPU 的特性和精度要求，軸向位山東科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 并聯(lián)機構(gòu)彈性動力學(xué)建模與分析 8 移（即 xu ）為線性分布，橫向位移（即 zy uu、 ）采用五次多項式描述，繞軸向的彈性角位移（即 x? ）表示為三次多項式。則單元上任一點的位移函數(shù)如下： 圖 空間梁單元彈性變形 Fig Elastic deformation of spatial beam element xcctxux 21),( ?? （ ） 5847362543),( xcxcxcxcxcctxu y ?????? （ ） 514413312211109),( xcxcxcxcxcctxu z ?????? （ ） 3182171615),( xcxcxcctxx ????? （ ） 4143132121110 5432),( xcxcxcxcctxy ?????? （ ） 48372654 5432),( xcxcxcxcctxz ?????? （ ） 式中 1821 , ccc ? 為未知系數(shù)，可以根據(jù)單元的邊界條件確定這些未知系數(shù)。根據(jù)單元 A、 B 節(jié)點處的邊界條件得函數(shù)式如下： ????????????????????????987654321),0(),0(),0(),0(),0(),0),0(),0(),0(???????????????tttttttututuzyxzyxzyx??? ????????????????????????181716151413121110),(),(),(),(),(),(),(),(),(???????????????tltltltltltltlutlutluzyxzyxzyx??? （ ） 山東科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 并聯(lián)機構(gòu)彈性動力學(xué)建模與分析 9 將式（ ）代入式（ ） — （ ）得到關(guān)于未知數(shù) 1821 , ccc ? 的方程組，此方程組由 18 個方程組成，將方程組求得的解代入式（ ） — （ ）后化簡為 1( , ) Txu x t N?? （ ） 2( , ) Tyu x t N ?? （ ） 3( , ) Tzu x t N?? （ ） 4( , ) Tx x t N??? （ ） 33( , ) Ty Nx t Nx? ? ??????????? （ ） 2 2( , ) Tz Nx t Nx? ? ??????????? （ ） 上式中， 4321 NNNN 、 為插值向量，在此令 ? ?4321 NNNNN ? ，其具體表達(dá)式如下： ? ?TN 000000000000000011 ???? ? ?TN 6543212 000000000000 ??????? ? ?TN 000000000000 6543213 ??????? ? ?TN 00000000000000 109874 ????? 5431 615101 ???? ???? )386( 5432 ????? ???? l )33( 543223 ????? ???? l 5434 61510 ???? ??? )374( 5435 ???? ???? l )2( 54326 ???? ??? l 327 231 ??? ??? )2( 328 ???? ???l 329 23 ??? ?? )( 3210 ??? ??? l 其中， 1021 , ??? ? —— 空間梁單元的位移型函數(shù)； ? —— 相對坐標(biāo)， lx?? 。 相對于單元的運動位移，彈性位移量 非常小。在研究剛體運動與彈性變形運動的耦山東科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 并聯(lián)機構(gòu)彈性動力學(xué)建模與分析 10 合作用時，可以忽略不計，因此可以認(rèn)為絕對速度等于剛體運動速度與彈性變形速度代數(shù)和；絕對加速度等于剛體運動加速度與彈性變形加速度代數(shù)和。即單元任一截面上節(jié)點處的線速度和轉(zhuǎn)角速度表達(dá)式如下 ),(),(),( txutxutxu xrxax ??? ?? （ ） ),(),(),( txutxutxu yryay ??? ?? （ ） ),(),(),( txutxutxu zrzaz ??? ?? （ ） ),(),(),( txtxtx xrxax ??? ??? ?? （ ） 式中 ),(),(),( txutxutxu azayax ??? —— 單元結(jié)點處 x、 y、 z方向上的絕對速度； ),(),(),( txutxutxu rzryrx ??? —— 單元結(jié)點處 x、 y、 z方向上的剛體運動速度； ),(),(),( txutxutxu zyx ??? —— 單元結(jié)點處 x、 y、 z方向上的彈性變形速度； ),(),(),( txtxtx zrxax ??? ??? —— 單元結(jié)點處 x方向的絕對角速度，剛體角速度和彈性變形角速度。 上式中剛體運動速度和彈性變形速度為 rTrx Ntxu ??? 1),( ? （ ） rTry Ntxu ??? 2),( ? （ ） rTrz Ntxu ??? 3),( ? （ ） rTrx Ntx ?? ?? 4),( ? （ ） ??? Tx Ntxu 1),( ? （ ） ??? Ty Ntxu 2),( ? （ ） ??? Tz Ntxu 3),( ? （ ） ?? ?? Tx Ntx 4),( ? （ ） 其中， ?? 和 r?? 分別為 T][ 181 ??? ????? （ ） 山東科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 并聯(lián)機構(gòu)彈性動力學(xué)建模與分析 11 0 0 0 0 0 0 Tr A A A x y z B B B x y zx y z x x x? ? ? ? ? ? ???? ?? （ ） 式中 AAA zx ??? 、 y —— 單元節(jié)點 A 處在 x、 y、 z方向的剛體線性速度； zy ??? ??? 、x —— 繞 x、 y、 z軸的剛體角速度； BBB zx ??? 、 y —— 單元節(jié)點 B 處在 x、 y、 z方向的剛體線性速度。 梁單元的動能分析 由于本文 認(rèn)為單 元各個截面上的質(zhì)量集中在各截面的質(zhì)心處，因此單元的轉(zhuǎn)動動能可以 忽略 不計 。則單元的動能表達(dá)式如下： ?? ??????????????? ??????????????????????? l axpl azayax dxdt txdIdxdt txdudt txdudt txduxmT 0 20 222 ),(21),(),(),()(21 ??（ ） 式中 ?—— 梁單元材料的質(zhì)量密度； A—— 梁單元的橫截面面積： pI —