【正文】 OG、OE為鄰邊作正方形OEFG．（1）如圖1，若正方形OEFG的對角線交點為M，求證：四邊形CDME是平行四邊形．（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，得到正方形OE′F′G′，如圖2，連接AG′，DE′，求證：AG′=DE′，AG′⊥DE′；（3）在（2）的條件下，正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊相交于點N，如圖3，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0176。＜α＜180176。），若△AON是等腰三角形，請直接寫出α的值．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）176?；?5176。176?；?35176。176。．【解析】【分析】（1）由四邊形OEFG是正方形，得到ME=GE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到CD∥GE，CD=GE，求得CD=GE，即可得到結(jié)論；（2）如圖2，延長E′D交AG′于H，由四邊形ABCD是正方形，得到AO=OD，∠AOD=∠COD=90176。，由四邊形OEFG是正方形，得到OG′=OE′，∠E′OG′=90176。，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠G′OD=∠E′OC，求得∠AOG′=∠COE′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，即可得到結(jié)論；（3）分類討論，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形OEFG是正方形，∴ME=GE，∵OG=2OD、OE=2OC，∴CD∥GE，CD=GE，∴CD=GE，∴四邊形CDME是平行四邊形；（2）證明：如圖2，延長E′D交AG′于H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AO=OD，∠AOD=∠COD=90176。，∵四邊形OEFG是正方形，∴OG′=OE′，∠E′OG′=90176。，∵將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，得到正方形OE′F′G′，∴∠G′OD=∠E′OC，∴∠AOG′=∠COE′，在△AG′O與△ODE′中，∴△AG′O≌△ODE′∴AG′=DE′，∠AG′O=∠DE′O，∵∠1=∠2，∴∠G′HD=∠G′OE′=90176。，∴AG′⊥DE′；（3）①正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊AD相交于點N，如圖3，Ⅰ、當(dāng)AN=AO時，∵∠OAN=45176。，∴∠ANO=∠AON=176。，∵∠ADO=45176。，∴α=∠ANO∠ADO=176。；Ⅱ、當(dāng)AN=ON時，∴∠NAO=∠AON=45176。，∴∠ANO=90176。，∴α=90176。45176。=45176。；②正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊AB相交于點N，如圖4，Ⅰ、當(dāng)AN=AO時，∵∠OAN=45176。，∴∠ANO=∠AON=176。，∵∠ADO=45176。，∴α=∠ANO+90176。=176。；Ⅱ、當(dāng)AN=ON時，∴∠NAO=∠AON=45176。，∴∠ANO=90176。，∴α=90176。+45176。=135176。，Ⅲ、當(dāng)AN=AO時，旋轉(zhuǎn)角a=∠ANO+90176。=+90=176。，綜上所述：若△AON是等腰三角形時，176?；?5176。176。或135176。176。．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)的綜合運用，有一定的綜合性，分類討論當(dāng)△AON是等腰三角形時，求α的度數(shù)是本題的難點．11．在中，BD為AC邊上的中線，過點C作于點E，過點A作BD的平行線，交CE的延長線于點F，在AF的延長線上截取，連接BG，DF．求證：；求證：四邊形BDFG為菱形；若，求四邊形BDFG的周長．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）8【解析】【分析】利用平行線的性質(zhì)得到，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得證，利用平行四邊形的判定定理判定四邊形BDFG為平行四邊形，再利用得結(jié)論即可得證，設(shè)，則，利用菱形的性質(zhì)和勾股定理得到CF、AF和AC之間的關(guān)系，解出x即可．【詳解】證明：，，又為AC的中點，又，證明：，四邊形BDFG為平行四邊形，又，四邊形BDFG為菱形，解：設(shè)，則，在中，解得：，舍去，菱形BDFG的周長為8．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線，勾股定理等知識，正確掌握這些定義性質(zhì)及判定并結(jié)合圖形作答是解決本題的關(guān)鍵．12．如圖1，若分別以△ABC的AC、BC兩邊為邊向外側(cè)作的四邊形ACDE和BCFG為正方形，則稱這兩個正方形為外展雙葉正方形．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖2，當(dāng)∠C=90176。時，求證：△ABC與△DCF的面積相等．（2）引申：如果∠C90176。時，（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立，請結(jié)合圖1給出證明；若不成立，請說明理由；（3）運用：如圖3，分別以△ABC的三邊為邊向外側(cè)作的四邊形ACDE、BCFG和ABMN為正方形，則稱這三個正方形為外展三葉正方形．已知△ABC中，AC=3，BC=4．當(dāng)∠C=_____176。時，圖中陰影部分的面積和有最大值是________．【答案】（1）證明見解析；（2）成立，證明見解析；（3）18.【解析】試題分析：（1）因為AC=DC，∠ACB=∠DCF=90176。，BC=FC，所以△ABC≌△DFC，從而△ABC與△DFC的面積相等；（2）延長BC到點P，過點A作AP⊥BP于點P；過點D作DQ⊥FC于點Q．得到四邊形ACDE，BCFG均為正方形，AC=CD，BC=CF，∠ACP=∠DCQ．所以△APC≌△DQC．于是AP=DQ．又因為S△ABC=BC?AP，S△DFC=FC?DQ，所以S△ABC=S△DFC；（3）根據(jù)（2）得圖中陰影部分的面積和是△ABC的面積三倍，若圖中陰影部分的面積和有最大值，則三角形ABC的面積最大，當(dāng)△ABC是直角三角形，即∠C是90度時，陰影部分的面積和最大．所以S陰影部分面積和=3S△ABC=334=18．（1）證明：在△ABC與△DFC中，∵，∴△ABC≌△DFC．∴△ABC與△DFC的面積相等；（2）解：成立．理由如下：如圖，延長BC到點P，過點A作AP⊥BP于點P；過點D作DQ⊥FC于點Q．∴∠APC=∠DQC=90176。．∵四邊形ACDE，BCFG均為正方形，∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90176。，∠DCQ+∠PCD=90176。，∴∠ACP=∠DCQ．∴，△APC≌△DQC（AAS），∴AP=DQ．又∵S△ABC=BC?AP，S△DFC=FC?DQ，∴S△ABC=S△DFC；（3）解：根據(jù)（2）得圖中陰影部分的面積和是△ABC的面積三倍，若圖中陰影部分的面積和有最大值，則三角形ABC的面積最大，∴當(dāng)△ABC是直角三角形，即∠C是90度時，陰影部分的面積和最大．∴S陰影部分面積和=3S△ABC=334=18．考點：四邊形綜合題13．在正方形ABCD中，動點E，F(xiàn)分別從D，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動．（1）如圖①，當(dāng)點E自D向C，點F自C向B移動時，連接AE和DF交于點P，請你寫出AE與DF的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，當(dāng)E，F(xiàn)分別移動到邊DC，CB的延長線上時，連接AE和DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（請你直接回答“是”或“否”，不須證明）（3）如圖③，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC的延長線上移動時，連接AE，DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；（4）如圖④，