【正文】 即可．【詳解】證明：，又為AC的中點(diǎn)，又，證明：，四邊形BDFG為平行四邊形，又，四邊形BDFG為菱形，解：設(shè)，則，在中，解得：，舍去，菱形BDFG的周長(zhǎng)為8．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線，勾股定理等知識(shí)，正確掌握這些定義性質(zhì)及判定并結(jié)合圖形作答是解決本題的關(guān)鍵．12．如圖1，若分別以△ABC的AC、BC兩邊為邊向外側(cè)作的四邊形ACDE和BCFG為正方形，則稱這兩個(gè)正方形為外展雙葉正方形．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖2，當(dāng)∠C=90176。DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因?yàn)椤螩DF+∠ADF=90176。．∴AE⊥DF；（4）如圖：由于點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APD=90176。判斷出當(dāng)∠1=∠2時(shí)，∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180176?！?=∠2，∴∠AGO=∠PGC， 又∵∠AGO=∠AGD， ∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180176。=3=，∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），CG=3﹣， 在Rt△PCG中，PC===3（﹣1），∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，3﹣3 ）， 設(shè)直線PE的解析式為：y=kx+b， 則，解得：， ∴直線PE的解析式為y=x﹣3．(4)①如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在x軸的負(fù)半軸上時(shí)， ∵AG=MG，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，3），∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，﹣3）．②如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在EP的延長(zhǎng)線上時(shí)， 由（3），可得∠AGO=∠PGC=60176?！唷?=∠2=90176。 ∴∠DAG+∠DAP=45176。），得到正方形ADEF，ED交線段OC于點(diǎn)G，ED的延長(zhǎng)線交線段BC于點(diǎn)P，連AP、AG．（1）求證：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度數(shù)；并判斷線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明理由；（3）當(dāng)∠1=∠2時(shí)，求直線PE的解析式；（4）在（3）的條件下，直線PE上是否存在點(diǎn)M，使以M、A、G為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）∠PAG =45176。．在△ADE和△DCF中，∴△ADE≌△DCF（SAS）．∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90176。BC=FC，所以△ABC≌△DFC，從而△ABC與△DFC的面積相等；（2）延長(zhǎng)BC到點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BP于點(diǎn)P；過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥FC于點(diǎn)Q．得到四邊形ACDE，BCFG均為正方形，AC=CD，BC=CF，∠ACP=∠DCQ．所以△APC≌△DQC．于是AP=DQ．又因?yàn)镾△ABC=BC?AP，S△DFC=FC?DQ，所以S△ABC=S△DFC；（3）根據(jù)（2）得圖中陰影部分的面積和是△ABC的面積三倍，若圖中陰影部分的面積和有最大值，則三角形ABC的面積最大，當(dāng)△ABC是直角三角形，即∠C是90度時(shí)，陰影部分的面積和最大．所以S陰影部分面積和=3S△ABC=334=18．（1）證明：在△ABC與△DFC中，∵，∴△ABC≌△DFC．∴△ABC與△DFC的面積相等；（2）解：成立．理由如下：如圖，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BP于點(diǎn)P；過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥FC于點(diǎn)Q．∴∠APC=∠DQC=90176?；?5176。；Ⅱ、當(dāng)AN=ON時(shí)，∴∠NAO=∠AON=45176?！唳?90176。∵四邊形OEFG是正方形，∴OG′=OE′，∠E′OG′=90176。），若△AON是等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出α的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）176?！郃E⊥GC．(3)如圖3中，作CM⊥DG于G，GN⊥CD于N，CH⊥FG于H，則四邊形CMGH是矩形，可得CM＝GH，CH＝GM．∵BE＝CE＝1，AB＝CD＝2，∴AE＝DE＝CG═DG＝FG＝，∵DE＝DG，∠DCE＝∠GND，∠EDC＝∠DGN，∴△DCE≌△GND(AAS)，∴GCD＝2，∵S△DCG＝?CD?NG＝?DG?CM，∴22＝?CM，∴CM＝GH＝，∴MG＝CH＝＝，∴FH＝FG﹣FG＝，∴CF＝＝＝．故答案為．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．8．（問(wèn)題情境）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P為BC所在直線上的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F．當(dāng)P在BC邊上時(shí)（如圖1），求證：PD+PE＝CF．證明思路是：如圖2，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE＝CF．（不要證明）（變式探究）（1）當(dāng)點(diǎn)P在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，其余條件不變（如圖3），試探索PD、PE、CF之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；請(qǐng)運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法完成下列兩題：（結(jié)論運(yùn)用）（2）如圖4，將長(zhǎng)方形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，點(diǎn)P為折痕EF上的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分別為G、H，若AD＝16，CF＝6，求PG+PH的值．（遷移拓展）（3）在直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝x+8與直線l2：y＝﹣2x+8相交于點(diǎn)A，直線ll2與x軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C．點(diǎn)P是直線l2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線l1的距離為2．求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】【變式探究】證明見(jiàn)解析【結(jié)論運(yùn)用】8【遷移拓展】（﹣1，6），（1，10）【解析】【變式探究】連接AP，同理利用△ABP與△ACP面積之差等于△ABC的面積可以證得；【結(jié)論運(yùn)用】過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥BC，垂足為Q，根據(jù)勾股定理和矩形的性質(zhì)解答即可；【遷移拓展】分兩種情況，利用結(jié)論，求得點(diǎn)P到x軸的距離，再利用待定系數(shù)法可求出P的坐標(biāo)．【詳解】變式探究:連接AP，如圖3： ∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC＝S△ACP﹣S△ABP，∴AB?CF＝AC?PE﹣ AB?PD．∵AB＝AC，∴CF＝PD﹣PE；結(jié)論運(yùn)用:過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥BC，垂足為Q，如圖④，∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90176。﹣∠3；∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，∠5＝∠4；又∵∠5+∠6＝90176。DE＝DG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE，CG，∠1＝∠2∵∠2+∠3＝90176。＝4，∴S＝；當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到直線DE上時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)移動(dòng)到F39。中，＝＝，t=7，S=15（157）=120.【詳解】（1）設(shè)直線DE的直線解析式y(tǒng)＝kx+b，將點(diǎn)E（30，0），點(diǎn)D（0，40），∴，∴，∴y＝﹣x+40，直線AB與直線DE的交點(diǎn)P（21，12），由題意知F（30，15），∴EF＝15；（2）①易求B（0，5），∴BF＝10，∴當(dāng)點(diǎn)F1移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，t＝10＝10；②當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到直線DE上時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)移動(dòng)到F39。=10；②F點(diǎn)移動(dòng)到F39。（2）求證:。在△AGE與△AFE中，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a．將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。得到△ABG(如圖①)，求證：△AEG≌△AEF；(2)若直線EF與AB，AD的延長(zhǎng)線分別交于