【正文】 理”是《普通高中課程標準數(shù)學教科書為什么要研究正弦定理？正弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒有回答，而確實又是學生所關心的問題。因此，做好“正弦定理”的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點，而且通過對定理的探究，能使學生體驗到數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，進而培養(yǎng)學生提出問題、解決問題等研究性學習的能力。正弦定理是關于任意三角形邊角關系的重要定理之一，《課程標準》強調在教學中要重視定理的探究過程，并能運用它解決一些實際問題，可以使學生進一步了解數(shù)學在實際中的應用，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，也為學習正弦定理提供一種親和力與認同感。如何培養(yǎng)學生學會學習、學會探究呢？建構主義認為：“知識不是被動吸收的，而是由認知主體主動建構的。本節(jié)“正弦定理”的教學，將遵循這個原則而進行設計。過程與方法：讓學生從已有的知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察、歸納、猜想、證明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。五、教學重點與難點重點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導 難點：正弦定理的推導六、教學過程設計（一）設置情境利用投影展示：如圖1，一條河的兩岸平行，河寬d=1km。已知船在靜水中的速度v1=5km/h，水流速度v1=3km/h。待各小組將問題交給老師后，老師篩選了幾個問題通過投影向全班展示，經大家歸納整理后得到如下的五個問題：船應開往B處還是C處？船從A開到B、C分別需要多少時間？船從A到B、C的距離分別是多少？船從A到B、C時的速度大小分別是多少？船應向什么方向開，才能保證沿直線到達B、C？【設計意圖】通過小組交流，提供一定的研究學習與情感交流的時空，培養(yǎng)學生合作學習的能力；問題源于學生，突出學生學習的主體性，能激發(fā)學生學習的興趣；問題通過老師的篩選，確定研究的方向，體現(xiàn)教師的主導作用。題4，問題4與問題5是兩個相關問題。師：請同學們根據(jù)平行四邊形法則，先在練習本上做出與問題對應的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。37176。AED=208。還需求208。師：請大家思考，這兩個問題的數(shù)學實質是什么？ 部分學生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。師：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？ 生3：不知道。但圖2中DADE是直角三角形，而圖3中DADE不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用邊角的關系求解。生5：能，過點D作DG^AE于點G（如圖4），\|DG|=|v1|sin208。AED|AG|=|v1|cos208。AEDF圖 4\sin208。AED|v1|=3sin45176。但在生活中有許多三角形不是直角三角形，如果每個三角形都劃分為直角三角形求解，很不便。（三）解決問題正弦定理的引入師：請同學們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？ 眾學生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法。師：如果一般三角形具有某種邊角關系，對于特殊的三角形——直角三角形也是成立的，因此我們先研究特例，請同學們對直角三角形進行研究，尋找一般三角形的各邊及其對角之間有何關系？同學們可以參與小組共同研究。（2）展示學生研究的結果。師：請說出你研究的結論？ 生7：asinA=bsinB=csinC師：你是怎樣想出來的？生7：因為在直角三角形中，它們的比值都等于斜邊c。）師：asinA=bsinB=csinC對一般三角形是否成立呢？眾學生：不一定，可以先用具體例子檢驗，若有一個不成立，則否定結論：若都成立，則說明這個結論很可能成立，再想辦法進行嚴格的證明。那么生9：成立。正弦定理的探究（1）實驗探究正弦定理師：借助于電腦與多媒體，利用《幾何畫板》軟件，演示正弦定理教學課件。結論：asinA=bsinB=csinC對于任意三角形都成立。師：利用上述結論解決情境問題中圖3的情形，并檢驗與生5的計算結果是否一致。師：如果上述結論成立，則在三角形中利用該結論解決“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。【設計意圖】與情境設置中的問題相呼應，間接給出了正弦定理的簡單應用，并強化學生學習探究、應用正弦定理的心理需求。探究方案：直角三角形——已驗證； 銳角三角形——課堂探究； 鈍角三角形——課后證明。課堂只讓學生探究銳角三角形的情形，有助于在不影響探究進程的同時，為探究銳角三角形的情形騰出更多的時間。師：請你（生11）到講臺上，講講你的證明思路？生11：（走上講臺），設法將問題轉化成直角三角形中的問題進行解決。注意： csinB=bsinC表示的幾何意義是三角形同一邊上的高不變。師：在三角形中還有哪些可以作為證明基礎的等量關系呢？ 學生七嘴八舌地說出一些等量關系，經討論后確定如下一些與直角三角形有關的等量關系可能有利用價值：①三角形的面積不變；②三角形外接圓直徑不變。則有AD=bsin208。BACCF=asin208。bcsin208。ABC12\SDABC=\a12absin208。ABC=Asin208。ACBcBa證法三：如圖7，設BD=2r是DABC外接圓的直徑，則208。208。ADB=BD=2rsin208。BACsin208。ACB=\asin208。ABC=csin208。uuuruuur、BC、CA間有什么關系？ 師：前面我們學習了平面向量，能否運用向量的方法證明呢？uuur師：任意DABC中，三個向量ABuuuruuuruuurr生12：AB+BC+CA=0uuuruuuruuurr師：正弦定理體現(xiàn)的是三角形中邊角間的數(shù)量關系，由AB+BC+CA=0轉化成數(shù)量關系？uuuruuuruuurruuuruuuruuurr師：在AB+BC+CA兩邊同乘以向量j,有(AB+BC+CA)j=0,這里的向量rrj可否任意？又如何選擇向量j?r生14：因為兩個垂直向量的數(shù)量積為0，可考慮讓向量j與三個向量中的一uuur個向量（如向量BC）垂直，而且使三個項的關系式轉化成兩個項的關系式。師：還是先研究銳角三角形的情形，按以上思路，請大家具體試一下，看還有什么問題？教師參與學生的小組研究，同時引導學生注意兩個向量的夾角，最后讓學生通過小組代表作完成了如下證明。uuuruuuruuurr因為AB+BC+CA=0，uuuruuuruuurr所以(AB+BC+CA)j=0 uuurruuurr即ABj+CAj=0 Buuurruuurruuurruuurr|AB||j|cosAB,j+|CA||j|cosCA,j=0 rrc|j|cos(90176。C)=0 rrc|j|(sinB)+b|j|sinC=0AcrjbaC圖 8 向量所以bsinB=csinC，同理可得asinA=bsinB師：能否簡化證法四的過程？（留有一定的時間給學生思考）uuurruuurr師：ABj+CAj=0有什么幾何意義？uuurruuurruuurruuurr生15：把ABj+CAj=0移項可得CAj=BAjuuurruuur義可知CA與BA在j方向上的投影相等。B)=|AC||AD|cos(90176。（學生16上臺板書自己的證明方法。（四）小結師：本節(jié)課我們是從實際問題出發(fā)，通過猜想、實驗，歸納等思維方法，最后發(fā)現(xiàn)了正弦定理，并從不同的角度證明了它。我們不僅收獲著結論，而且整個探索過程我們也掌握了研究問題的一般方法。【設計意圖】為保證學生有充足的時間來完成觀察、歸納、猜想、探究和證明，小結的時間花得少且比較簡單，這將在下一節(jié)課進行完善，因此作業(yè)的布置也為下節(jié)課做一些必要的準備。我想到了“情境——問題”教學模式，即構建一個以情境為基礎，提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進的“情境——問題”學習鏈，并根據(jù)上述精神，結合教學內容，具體做出了如下設計：①創(chuàng)設一個現(xiàn)實問題情境作為提出問題的背景（注：該情境源于《普通高中課程標準數(shù)學教科書然后引導學生抓住問題的數(shù)學實質，將過渡性問題引伸成一般的數(shù)學問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角及第三邊。總之，整個過程讓學生通過自主探索、合作交流，親身經歷了“情境思考”——“提出問題”——“研究特例”——“歸納猜想”——“實驗探究”——“理論探究”——“解決問題”——“反思總結”的歷程，使學生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，從而使三維教學目標得