第一章函數(shù)與極限-閱讀頁(yè)
2024-11-09 22:38本頁(yè)面
【正文】 義及其應(yīng)用。 3 函數(shù)極限存在的條件（4學(xué)時(shí)）教學(xué)目的：理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性。教學(xué)重點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則。教學(xué)方法：講授為主，輔以練習(xí)加深理解，掌握運(yùn)用。教學(xué)方法：講授定理的證明，舉例說(shuō)明應(yīng)用，練習(xí)。可見(jiàn)極限 第四篇：函數(shù)極限數(shù)學(xué)之美2006年7月第1期函數(shù)極限的綜合分析與理解經(jīng)濟(jì)學(xué)院 財(cái)政學(xué) 任銀濤 0511666數(shù)學(xué)不僅僅是工具，更是一種能力。例如，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際分析、彈性分析等方法。極限可以與很多的數(shù)學(xué)問(wèn)題相聯(lián)系。有鑒于函數(shù)極限的重要性，結(jié)合自己的學(xué)習(xí)心得，筆者寫(xiě)下了此文。局限于筆者的認(rèn)知水平，缺點(diǎn)和不足在所難免，歡迎批評(píng)指正。掌握這類證明對(duì)初學(xué)者深刻理解運(yùn)用極限定義大有裨益。x0的極限為例，f(x)在點(diǎn)x0以A極限的定義是：e0,$d0,使當(dāng)0xx0d時(shí)，有f(x)Ae(A為常數(shù)).問(wèn)題的關(guān)鍵在于找到符合定義要求的d，在這一過(guò)程中會(huì)用到一些不等式技巧，例如放縮法等。詳見(jiàn)附例1。常用的函數(shù)極限的性質(zhì)有函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、保序性以及函數(shù)極限的運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的極限等等。x039。即如果f(xn)174。174。165。x0）()則f(x)在x0處的極限不存在。例如對(duì)于有理分式f(x)=P(x)P(x),Q(x)均為多項(xiàng)式，Q(x)185。設(shè)P(x)的次數(shù)為n,Q(x)的Qx次數(shù)為m，當(dāng)x174。時(shí)，若nm，則f(x)174。若n=m，則f(x)174。165。x0時(shí),f(x)174。0)。一是先要用單調(diào)有界定理證明收斂，然后再求極限值，參見(jiàn)附例2。f(x)163。三、應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限掌握常用的等價(jià)無(wú)窮小很重要。x174。0）等等可ln(1+x)與x，loga(1+x)與lna以相互替換。例如lim，不能直接把sinx替換x174。x174。(x)185。當(dāng)x174。(x)，f(x)和g(x)的極限同時(shí)為0或165。39。）gxgx洛必達(dá)法則。、00、1165。0等類型則需要問(wèn)題。而對(duì)于165。、0165。則求極限。然而，對(duì)于數(shù)列，則必須轉(zhuǎn)化為函數(shù)再運(yùn)用洛必達(dá)法則。這是使用洛必達(dá)法則時(shí)必須要注意的一點(diǎn)。五、泰勒公式的運(yùn)用對(duì)于使用洛必達(dá)法則不易求出結(jié)果的復(fù)雜函數(shù)式，可以考慮使用泰勒公式。因此掌握和記憶常用基本初等函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式是十分必要的。至于展開(kāi)式展開(kāi)多少，則要與題干中的自變量x最高次項(xiàng)保持一致。0x4x4)。(a,b)，使f39。f(b)f(a),f(x)即可看成特殊的極限，用來(lái)求解。參見(jiàn)附例4。01xsinx=1，=1，=1等等。0nnx求極限的方法和技巧更多的在于實(shí)踐中的摸索和探討，上述方法只是筆者在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和練習(xí)的一些心得，求極限的方法還有很多。南開(kāi)大學(xué)張陽(yáng)和張效成老師的課堂教學(xué)給了筆者很大的啟發(fā)，在此向兩位老師表示感謝。(0,1)，總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)nN時(shí)，恒有。2e，是數(shù)列{xn}收斂于a的（）A 充分非必要條件 B必要非充分條件C充分必要條件D既非充分又非必要條件解析：這道題是1999年全國(guó)考研試卷(二)的數(shù)學(xué)選擇題，這道題直接考察了對(duì)極限定義的掌握和理解。（見(jiàn)習(xí)題冊(cè)1 ）解析：由已知條件易知，b=y1179。……179。xn+1179。x1=a，數(shù)列xn+1+yn+1，試證2文中習(xí)題冊(cè)是指南開(kāi)大學(xué)薛運(yùn)華，趙志勇主編的《高等數(shù)學(xué)習(xí)題課講義（上冊(cè)）》，為學(xué)生用數(shù)學(xué)練習(xí)冊(cè)。n174。n174。n174。A=n174。A+B,222。2例3：求lim(ntan)n的值。165。230。設(shè)f(x)=231。則對(duì)limf(x)可以運(yùn)用洛必達(dá)法則，x174。x248。且原式=limf(x)。+165。165。于是，$x206。(x)=arctanaaaarctan=2（使用微分中x+1xa+x2a)=a。x174。,則x174。,原式=limx2（x174。參考書(shū)目[1] 張效成主編，《經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）》，天津大學(xué)出版社，2005年7月 [2] 薛運(yùn)華，趙志勇主編，《高等數(shù)學(xué)習(xí)題課講義（上冊(cè)）》，南開(kāi)大學(xué) [3] 張友貴等，《掌握高等數(shù)學(xué)（理工類、經(jīng)濟(jì)類）》，大連理工出版社，2004年11月[4]《碩士研究生入學(xué)考試試題》，1984—2005※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○文中課本是指筆者使用的天津大學(xué)出版社05年7月版的《經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）》張效成主編第五篇：第一章函數(shù)與極限（本站推薦）第一章函數(shù)與極限第一節(jié) 映射與函數(shù)一、集合集合的概念集合是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念，我們先通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明這個(gè)概念。所謂集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體，組成這個(gè)集合的事物為改集合的元素（簡(jiǎn)稱元）。如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于A，記作a∈A；如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于A記作aA。表示集合的方法通常有以下兩種：一種是列舉法，就是把集合的全體元素一一列舉出來(lái)
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