【正文】 的多樣性，而變形的依據(jù)是不等式的性質(zhì)，不等式的性分類(lèi)羅列如下： 不等式的性質(zhì)：a179。ab0,ab219。ba（對(duì)稱性）（2）ab219。acbc。acbc.（4）ab0222。N*).對(duì)兩個(gè)以上不等式進(jìn)行運(yùn)算的性質(zhì).（1）ab,bc222。a+cb+d.（3）ab,cd222。含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：（1）|x|163。x2163。a163。a.（2）|x|179。x2179。x179。a.（3）||a||b||163。b|163。|a1|+|a2|+L+|an|.ab,ad 證明不等式的常用方法有：比較法、放縮法、變量代換法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、?？伞坝梢?qū)Ч被颉皥?zhí)果索因”.前者我們稱之為綜合法；，分析問(wèn)題時(shí)，我們往往用分析法，而整理結(jié)果時(shí)多用綜合法，這兩者并非證明不等式的特有方法，具體地證明一個(gè)不等式時(shí)， 1．a(chǎn),b,c0,求證：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)179。(abc)+b2b2+c2c2+a2a3b3c3++163。R,求證a+b+c163。N*，且各不相同，求證：1+++L+12131aa3an163。ab+bc+．已知a+b=1,a,b179。7．利用排序不等式證明Gn163。2ab,同理b2+c3179。2ca；：（1）利用基本不等式時(shí)，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項(xiàng)、++L+179。256a2b2c3(a,b,c0)時(shí)，+b2a2+b2)163。0\ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)179。ab+bc+ca時(shí)，可將a2+b21(ab+bc+ca)配方為[(ab)2+(bc)2+(ca)2]，亦可利用a2+b2179。2bc,c2+a2179。b179。R+，且ab,，(abc)a+b+c3=a2abc3b2bac3c2cab3=aab3aac3bba3bbc3cca3ccb3ab3a=()bb()cbc3a()cac3179。(a1a2Lan)a1+a2+L+ann.（3）本題還可用其他方法得證。abba，同理bbcc179。caac，另aabbcc179。b179。0,則lga179。+blgb179。algb+blgc+clga179。a2163。an,b1163。L163。a1bj1+a2bj2+L+anbjn（亂序和）179。R+時(shí),a3+b3+c3179。a2a+b2b+c2ca2b2c2111111179。++179。a2+b2+c2179。179。a2+b2+c2（逆序和），同理a2+b2+c2（亂序和）abccab111179。179。b179。b179。b179。b+++L+122222n2323nb3bnb11故b1179。2,L,bn179。1++L+2222n23n所以a1+評(píng)述：排序不等式應(yīng)用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，a2+b2179。a2b+b2c+c2a=aab+bbc+cca179。2ab,同理b2+c3179。2ca；：（1）利用基本不等式時(shí)，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項(xiàng)、++L+179。256a2b2c3(a,b,c0)時(shí)，+b2a2+b2)163。1，如何也轉(zhuǎn)化為a、b的4次811,即證a4+b4179。0,求證：x1 +x211133求證：x1x2+x2x3 +x3179。0，此處可以把0理解為(x1+x2+x3)，（2）基本不等式實(shí)際上是均值不等式的特例.（一般地，對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1,a2,Lan)調(diào)和平均Hn=n111++L+a1a2an 幾何平均Gn=na1a2Lan 算術(shù)平均An=a1+a2+L+ann22a12+a2+L+an平方平均Qn=2這四個(gè)平均值有以下關(guān)系：Hn163。An163。x1=n，\aa+a2+L+ana1a2++L+n179。L,各數(shù)利用算術(shù)平均大于等于幾何平均即可得，Gn163。(1+n)123n1111+++L++n123n 219。(1+n)nn34n+12+++L+23n219。n1n1n(1+111111++L+)(1)+(1)+L+(1)23n219。 n1nn1（**）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號(hào)成立.第五篇：不等式證明不等式證明：比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它可分為作差法、作商法（1）作差比較：①理論依據(jù)ab0ab。aba⑴作差：對(duì)要比較大小的兩個(gè)數(shù)（或式）作差。⑶判斷差的符號(hào)：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào)。（2）作商法：①要證AB(B0),只要證。常見(jiàn)的基本不等式有 ｜a｜≥0, a2+b2179。ab 2，ab163。a+b 分析法：從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法叫分析法，分析法的思想是“執(zhí)果索因”：即從求證的不等式出發(fā)，探求使結(jié)論成立的充分條件，直至已成立的不等式。反證法：先假設(shè)所要證明的不等式不成立，即要證的不等式的反面成立，如要證明不等式MN，由題設(shè)及其他性質(zhì)，推出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定M具體放縮方式有公式放縮和利用某些函數(shù)的單調(diào)性放縮。放縮法的方法有：⑴添加或舍去一些項(xiàng)，如：a2+1a；n(n+1)n ⑵將分子或分母放大（或縮?。抢没静坏仁?，如：lg3lg5(n+(n+1)2⑷利用常用結(jié)論： n(n+1)lg3+lg5)=lg15lg16=lg4 2Ⅰ、k+1k=1k+1+k12k；Ⅱ、1111； =k2k(k1)k1k1111（程度大）=2k(k+1)kk+1kⅢ、12k11111==()；（程度?。?k1(k1)(k+1)2k1k+17 換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。1，可設(shè)x=rcosq,y=rsinq(0163。1)；x2y2已知2+2=1，可設(shè)x=acosq,y=bsinq；abx2y2已知22=1，可設(shè)x=asecq,y=btanq；ab判別式法：判別式法是根據(jù)已知或構(gòu)造出來(lái)的一元二次方程，一元二次不等式，二次函數(shù)的根、解集、函數(shù)的性質(zhì)等特征確定出其判別式所應(yīng)滿足的不等式，從而推出欲證的不等式的方法