高中數(shù)學(xué)必修五海倫公式探究-閱讀頁
2025-10-22 20:46本頁面
【正文】 +b+c)/2, pb=(ab+c)/2,pc=(a+bc)/2,上式=√[(a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c)/16]=√[p(pa)(pb)(pc)]所以，三角形ABC面積S=√[p(pa)(pb)(pc)]第四篇：海倫公式原理簡介原理簡介我國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)”，它與海倫公式基本一樣。——————————————————————————————————————————————由于任何n邊的多邊形都可以分割成n2個三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。編輯本段證明過程 證明（1）與海倫在他的著作“Metrica”(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。它與海倫公式基本一樣，其實在《九章算術(shù)》中，已經(jīng)有求三角形公式“底乘高的一半”，在實際丈量土地面積時，由于土地的面積并不是的三角形，要找出它來并非易事。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個數(shù)，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。所謂“實”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p為“隅”，q為“實”。S=√1/4{a^2*c^2[(a^2+c^2b^2)/2 ]^2}.其中cb，我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運算。編輯本段海倫公式在解題中有十分重要的應(yīng)用。證二：斯氏定理如右圖。證明：要證明S =則要證S === absinC此時S = absinC/2為三角形計算公式，故得證。p = 故得證。由于三角形內(nèi)接于圓，所以猜想海倫公式的推廣為：在任意內(nèi)接與圓的四邊形ABCD中，設(shè)p= ,則S四邊形=現(xiàn)根據(jù)猜想進(jìn)行證明。設(shè)EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180176。 ∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD ∴ = = =解得： e = ① f = ②由于S四邊形ABCD = S△EAB將①，②跟b = 代入公式變形④，得到： ∴S四邊形ABCD = 所以，海倫公式的推廣得證。解：設(shè)BC = x 由海倫公式的推廣，得：(4－x)(2＋x)2 =27x4－12x2－16x＋27 = 0x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)= 0(x－1)(x3＋x2－11x－27)= 0 x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0 當(dāng)x = 1時，AD = BC = 1 ∴ 四邊形可能為等腰梯形。s), ,“三角形面積” 在VC中實現(xiàn)include include main()int a,b,c,s。scanf(“%d”,amp。printf(“輸入第二邊n”)。b)。scanf(“%d”,amp。s=(a+b+c)/2。C版：using System。using 。(“輸入第一條邊的長度：n”)。(“輸入第二條邊的長度：n”)。(“輸入第三條邊的長度：n”)。p =(a+b+c)/2。(“我算出來的面積是{0}”, s)。第五篇：1．1．2余弦定理蘄春三中劉芳蘄春三中劉芳（一）教學(xué)目標(biāo)1．知識與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。（二）教學(xué)重、難點重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；難點：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。從而利用余弦定理的第二種形式由已知三角形的三邊確定三角形的角 教學(xué)用具：投影儀、計算器（四）教學(xué)設(shè)想[復(fù)習(xí)回顧]正弦定理；abc===2RsinAsinBsinC可以解決兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知兩角和任一邊。[提出問題]聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。A uurruurruurrrrrrr如圖1．15，設(shè)CB=a，CA=b，AB=c，那么c=ab，則bcrrrrrr=cc=ababrrrrrr=abbr2arbCar2a+r2=a+b2abr2()()從而c2=a2+b22abcosC(圖1．15)同理可證a2=b2+c22bccosAb2=a2+c22accosB于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角7的余弦的積的兩倍。思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？（由學(xué)生總結(jié)）若DABC中，C=900，則cosC=0，這時c2=a2+b2由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。=,∴a＜c，即00＜A＜900,∴A=：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。,A187。； c2+a2b2cosB=+ =2180。187。32053162。 C=1800(A+B)187。+32053)162。B=300，求角A，角C和邊a。（答案：A=1200）[課堂小結(jié)]（1）利用余弦定理解三角形①．已知三邊求三角；②．已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。③《名師一號》相
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