浙江省紹興市20xx-20xx學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷word版含答案-閱讀頁(yè)
2024-12-25 16:00本頁(yè)面
【正文】 ； （Ⅲ）若 1??m ，且正實(shí)數(shù) 21,xx 滿足 )()( 21 xFxF ?? ，求證： 1321 ??? xx . 20（本小題滿分 12分） 解：（Ⅰ） )(xf 的定義域?yàn)?)0(11)(},0|{ 2 ??????? xx xxxxfxx，由 0)( ?? xf ，得 10 ??x ， 所以 f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 （ 0， 1） .2分 （Ⅱ） 0,21ln)()()( 2 ?????? xxmxxxgxfxF . 令 1)1(21ln)1()()( 2 ???????? xmmxxmxxFxG ， 則不等式 1)( ??mxxF 恒成立，即 0)( ?xG 恒成立 . x xmmxmmxxxG 1)1()1(1)( 2 ??????????.4分 ①當(dāng) 0?m 時(shí)，因?yàn)?0?x ，所以 0)( ?? xG 所以 )(xG 在 ),0( ?? 上是單調(diào)遞增函 數(shù)， 又因?yàn)?02231)1(1211ln)1( 2 ?????????? mmmG ， 所以關(guān)于 x的不等式 0)( ?xG 不能恒成立 . 6分 ②當(dāng) 0?m 時(shí)，xxmxmx xmmxxG)1)(1(1)1()( 2 ?????????? 令 0)( ?? xG ，因?yàn)?0?x ，得 mx 1? ， 所以當(dāng) )1,0( mx? 時(shí)， 0)( ?? xG ；當(dāng) ),1( ??? mx 時(shí)， 0)( ?? xG .[ 因此函數(shù) )(xG 在 )1,0( mx? 是增函數(shù)，在 ),1( ??? mx 是減函數(shù) . 7分 故函數(shù) )(xG 的最大值為 mmmmmmmmG ln2 111)1()1(211ln)1( 2 ????????? . 8分 令 mmmh ln21)( ?? ，因?yàn)?)(mh 在 ),0( ???m 上是減函數(shù)， 又因?yàn)?021)1( ??h ， 02ln41)2( ???h ，所以當(dāng) 2?m 時(shí)， 0)( ?mh . 所以整數(shù) m的最小值為 2. 10分 （Ⅲ） 1??m 時(shí)， 0,21ln)( 2 ???? xxxxxF 由 )()( 21 xFxF ?? ，得 0)()( 21 ?? xFxF ，即 021ln21ln 22221211 ?????? xxxxxx， 整理得， )l n()()(21 212121221 xxxxxxxx ????? 11分 令 021 ??? xxt ，則由 ttt ln)( ??? 得，ttt 1)( ????，可知 )(t? 在區(qū)間 )1,0( 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 ),1( ?? 上單調(diào)遞增 . 所以 1)1()( ???? t ， 所以 1)()(2121221 ???? xxxx， 解 得1313 2121 ??????? xxxx ， 因?yàn)?21,xx 為正實(shí)數(shù) ，所以 1321 ??? xx 成立 . 12分
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