線性代數(shù)考試復(fù)習(xí)范圍指南[小編推薦]-閱讀頁(yè)
2024-10-17 19:02本頁(yè)面
【正文】 和同解（列向量個(gè)數(shù)相同）,則：①它們的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng),從而秩相等；②它們對(duì)應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性；③它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系.√判斷是的基礎(chǔ)解系的條件：①線性無(wú)關(guān)；②是的解；③.①零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實(shí)向量正交.②單個(gè)零向量線性相關(guān)；單個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān).③部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無(wú)關(guān),部分必?zé)o關(guān).④原向量組無(wú)關(guān),接長(zhǎng)向量組無(wú)關(guān)；接長(zhǎng)向量組相關(guān),原向量組相關(guān).⑤兩個(gè)向量線性相關(guān)對(duì)應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無(wú)關(guān).⑥向量組中任一向量≤≤都是此向量組的線性組合.⑦.⑧維列向量組線性相關(guān)；維列向量組線性無(wú)關(guān).⑨.⑩若線性無(wú)關(guān)，而線性相關(guān),則可由線性表示,且表示法惟一.?.?矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,：矩陣等價(jià)：?矩陣與等價(jià)作為向量組等價(jià),即：矩陣與等價(jià).?向量組可由向量組線性表示≤.?向量組可由向量組線性表示,且，,且可由線性表示,則≤.?向量組可由向量組線性表示,且,則兩向量組等價(jià)；?任一向量組和它的極大無(wú)關(guān)組等價(jià).?向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià),且這兩個(gè)組所含向量的個(gè)數(shù)相等.?若兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組等價(jià),則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等.?若是矩陣,則,若，的行向量線性無(wú)關(guān)；若，的列向量線性無(wú)關(guān),即：向量式矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：矩陣可逆的性質(zhì)：伴隨矩陣的性質(zhì)：線性方程組解的性質(zhì)：√設(shè)為矩陣,若,則,一定不是唯一解.,.√矩陣的秩的性質(zhì)：①②≤③≤④⑤⑥≥⑦≤⑧⑨⑩且在矩陣乘法中有左消去律:標(biāo)準(zhǔn)正交基個(gè)維線性無(wú)關(guān)的向量,兩兩正交,每個(gè)向量長(zhǎng)度為1..是單位向量.√內(nèi)積的性質(zhì)：①正定性：②對(duì)稱性：③雙線性：施密特線性無(wú)關(guān),單位化：正交矩陣.√是正交矩陣的充要條件：的個(gè)行（列）向量構(gòu)成的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.√正交矩陣的性質(zhì)：①；②；③是正交陣,則（或）也是正交陣；④兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣；⑤.的特征多項(xiàng)式.的特征方程.√上三角陣、下三角陣、對(duì)角陣的特征值就是主對(duì)角線上的各元素.√若,則為的特征值,且的基礎(chǔ)解系即為屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量.√√若,則一定可分解為=、,從而的特征值為：,.√若的全部特征值，是多項(xiàng)式,則:①的全部特征值為；②當(dāng)可逆時(shí),的全部特征值為,的全部特征值為.√√與相似（為可逆陣）記為：√相似于對(duì)角陣的充要條件：,為的特征向量拼成的矩陣，為對(duì)角陣,主對(duì)角線上的元素為的特征值.√可對(duì)角化的充要條件：為的重?cái)?shù).√若階矩陣有個(gè)互異的特征值,（為正交矩陣）√相似矩陣的性質(zhì)：①若均可逆②③（為整數(shù)）④,從而有相同的特征值,:是關(guān)于的特征向量,是關(guān)于的特征向量.⑤從而同時(shí)可逆或不可逆⑥⑦√數(shù)量矩陣只與自己相似.√對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：①特征值全是實(shí)數(shù),特征向量是實(shí)向量；②與對(duì)角矩陣合同；③不同特征值的特征向量必定正交；④重特征值必定有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；⑤必可用正交矩陣相似對(duì)角化（一定有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,可能有重的特征值,重?cái)?shù)=）.可以相似對(duì)角化：（稱是的相似標(biāo)準(zhǔn)型）√若為可對(duì)角化矩陣,則其非零特征值的個(gè)數(shù)（重?cái)?shù)重復(fù)計(jì)算）.√設(shè)為對(duì)應(yīng)于的線性無(wú)關(guān)的特征向量,則有：.√若，則：.√若,則,.二次型為對(duì)稱矩陣與合同.記作：（）√兩個(gè)矩陣合同的充分必要條件是：它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù).√兩個(gè)矩陣合同的充分條件是：√兩個(gè)矩陣合同的必要條件是：√經(jīng)過(guò)化為標(biāo)準(zhǔn)型.√二次型的標(biāo)準(zhǔn)型不是惟一的,與所作的正交變換有關(guān),但系數(shù)不為零的個(gè)數(shù)是由惟一確定的.√當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù)為1，1或0時(shí),則為規(guī)范形.√實(shí)對(duì)稱矩陣的正（負(fù)）慣性指數(shù)等于它的正（負(fù)）特征值的個(gè)數(shù).√任一實(shí)對(duì)稱矩陣與惟一對(duì)角陣合同.√用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形:①求出的特征值、特征向量；②對(duì)個(gè)特征向量單位化、正交化；③構(gòu)造（正交矩陣）,；④作變換,新的二次型為,不全為零，.正定矩陣正定二次型對(duì)應(yīng)的矩陣.√合同變換不改變二次型的正定性.√成為正定矩陣的充要條件（之一成立）：①正慣性指數(shù)為；②的特征值全大于；③的所有順序主子式全大于；④合同于，即存在可逆矩陣使；⑤存在可逆矩陣，使（從而）；⑥存在正交矩陣，使（大于）.√成為正定矩陣的必要條件：；.第五篇：線性代數(shù)寫(xiě)書(shū)指南線性代數(shù)寫(xiě)書(shū)指南簡(jiǎn)化行列式、去掉高階行列式和Cramer法則應(yīng)用將矩陣的運(yùn)算、分塊、初等變換、秩等內(nèi)容集中，強(qiáng)調(diào)：（1）性質(zhì)的三個(gè)方面：發(fā)現(xiàn)性質(zhì)的途徑、判斷所發(fā)現(xiàn)“性質(zhì)”的正確性的方法、（所用發(fā)現(xiàn)性質(zhì)的途徑）還能找到哪些性質(zhì)。（3）矩陣秩的性質(zhì)及其作用（方程組解的判別，秩子式與極大無(wú)關(guān)組的關(guān)系）（4）最后矩陣方程AX=B解的判別分章寫(xiě)：向量組；方程組；特征問(wèn)題；二次型。利用AX=B解的判別方程組中：重計(jì)算
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