【正文】 列的逆序數(shù)，記為 )( 21 niii ?? ，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。 定義 4 余子式與代數(shù)余子式 — 把行列式nnnnnnaaaaaaaaaD???????212222111211? 中元素ija 所在的 i 行元素和 j 列元素去掉，剩下的 1?n 行和 1?n 列元素按照元素原來的排列次序構(gòu)成的1?n 階行列式，稱為元素 ija 的余子式，記為 ijM ，稱 ijjiij MA ??? )1( 為元素 ija 的代數(shù)余子式。 上（下）三角行列式 — 稱 nnnnaaaaaa???????000 22211211及nnnn aaaaaa???????21222111000為上三角行列式和下三角行列式，它們都等于主對角線上的元素之積。 三、行列式的性質(zhì) （一）把行列式轉(zhuǎn)化為特殊行列式的性質(zhì) 行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等，即 TDD? 。 行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。 （ 2）行列式某兩行（或列）相同， 行列式為零。 行列式的某行（或列）的每個(gè)元素皆為兩數(shù)之和時(shí)，行列式可分解為兩個(gè)行列式，即nnnniniinnnnniniinnnnnininiiiinaaabbbaaaaaaaaaaaaaaabababaaaa?????????????????????????????????21211121121211121121221111211?????。 （二）行列式降階的性質(zhì) 行列式等于行列式某行（或列）元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式之積的和，即 ),2,1(2211 niAaAaAaD ininiiii ?? ????? ， ),2,1(2211 njAaAaAaD njnjjjjj ?? ????? 。 四、行列式的應(yīng)用 — 克萊姆法則 對方程組???????????????????000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa???? （ I ） 及 ???????????????????nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa????22112222212111212111 （ II ） 其中 )(II 稱為非齊方程組， )(I 稱為 )(II 對應(yīng)的齊次方程組或 )(II 的導(dǎo)出方程組。 定理 2 )(II 有唯一解的充分必要條件是 0?D ，且 ),2,1( niDDx ii ???；當(dāng) 0?D 時(shí)，)(II 要么無解，要么有無窮多個(gè)解。 設(shè) 321 , ????? 為 4維列向量 ,且 4|,||| 321 ?? ????A ， 21|,3,||| 321 ?? ????B ， 求 || BA? 。 第二講 矩陣 一 、基本概念及其運(yùn)算 矩陣 — 形如??????????????mnmmnnaaaaaaaaa???????212222111211稱為 m 行 n 列的矩陣，記為 nmijaA ?? )( ，行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣稱為方陣，元素全為零的矩陣稱為零矩陣。 （ 2）對 nmijaA ?? )( ，若 nm? ，稱 A 為 n 階方陣。 （ 4）同型矩陣及矩陣相等 — 若兩個(gè)矩陣行數(shù)與列數(shù)相同，稱兩個(gè)矩陣為同型矩陣，若兩個(gè)矩陣為同型矩陣，且對應(yīng)元素相同，稱兩個(gè)矩陣相等。 24 轉(zhuǎn)置矩陣 — 設(shè)???????????????mnmmnnaaaaaaaaaA???????212222111211，記???????????????mnnnmmTaaaaaaaaaA???????212221212111，稱 TA 為矩陣 A 的轉(zhuǎn)置矩陣。 矩陣的四則運(yùn)算 （ 1）矩陣加減法 — 設(shè)???????????????mnmmnnaaaaaaaaaA???????212222111211，???????????????mnmmnnbbbbbbbbbB??????212222111211，則 ????????????????????????mnmnmmmmnnnnbababababababababaA???????221122222221211112121111。 2）矩陣與矩陣的乘法： 設(shè)???????????????mnmmnnaaaaaaaaaA???????212222111211，???????????????nsnnssbbbbbbbbbB??????212222111211，則 25 ???????????????msmmnscccccccccC???????212222111211，其中 ???nk kjikij bac 1（ sjmi ,2,1。 [注解 ]（ 1） OBOA ?? , 推不出 OAB? ，如 OBOA ???????????????????? 10 10,01 01， OAB? 。 （ 3）矩陣多項(xiàng)式可進(jìn)行因式分解的充分必要條件是矩陣乘法可交換。 （ 4）方程組的三種形式 形式一： 方程組的基本形式 ???????????????????.0,0,0221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa???? （ I ）與???????????????????.,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxabxaxaxa????（ II ）， （ I ）（ II ）分別稱為齊次與非齊線性方程組。 （ 2）當(dāng) 0,0 ?? ba 時(shí)，方程 bax? 的解為一切實(shí)數(shù)。 設(shè) A 為 n 階矩陣，對方程組 bAX? ，若存在 n 階矩 陣 B ，使得 EBA? ，則在方程組 bAX? 兩邊左乘 B ，得 BbBAX? ，于是 BbX? 。 （三）兩個(gè)問題 問題 1 設(shè) A 為 n 階矩陣， A 何時(shí)可逆？ 問題 2 若 A 可逆，如何求 1?A ？ （四）逆陣存在的充分必要條件 定理 設(shè) A 為 n 階矩陣，則矩陣 A 可逆的充分必要條件是 0|| ?A 。 （ 2）初等變換法 )|()|( 1?AEEA 初等行變換 。 第二步，矩陣的三種初等行變換 （ 1）對調(diào)矩陣的兩行； （ 2）矩陣的某行乘以非零常數(shù)倍； （ 3）矩陣某行的倍數(shù)加到另一行， 以上三種變換稱為矩陣的三種初等行變換。 第三步，三個(gè)初等矩陣及性質(zhì) 27 ijE — 將 E 的第 i 行與第 j 行或者單位矩陣 E 的第 i 列與第 j 列對調(diào)所得到的矩陣，如23010100001E??????????? 。 )0)(( ?ccEi — 將 E 的第 i 行乘以非零常數(shù) c 或 E 的第 i 列乘以非零常數(shù) c 所得到的矩陣，如 )5(5000100013 ?????????????E。 )(kEij — 將 E 第 j 行的 k 倍加到第 i 行或 E 的第 i 列的 k 倍加到第 j 列所得到的矩陣。 第四步，三個(gè)問題 問題 1 設(shè) A 是 n 階可逆矩陣， A 可都經(jīng)過有限次初等行變換化為 E ？ 問題 2 設(shè) A 是 n 階不可逆矩陣， A 是否可以經(jīng)過有限次初等行變換化為 ???????? OO OEr？ 問題 3設(shè) A 是 n 階不 可逆矩陣， A 是否可以經(jīng)過有限次初等變換化為 ???????? OO OEr？ 第五步，逆陣計(jì)算理論 28 問題 1的答案是肯定的，于是有 定理 1 設(shè) A 是 n 階可逆矩陣，則 A 經(jīng)過有限次初等行變換化為 E ，且)()( 1?? AEEA ?? 。 （七）逆矩陣的性質(zhì) （ 1） AA ??? 11)( 。 （ 3） 111)( ??? ? ABAB ，更進(jìn)一步 11111121 )( ????? ? AAAAAA nnn ?? 。 三、矩陣的秩 （一）問題背景 方程組 bAX? 的解的情況有如下三種情形： 情形一： A 是 n 階可逆矩陣，由 bAX? ，得 bAX 1?? ； 情形二： A 是 n 階不可 逆矩陣 情形三： A 是 nm? 矩陣且 nm? 。 （三）矩陣秩的求法 將 A 用初等行變換化為階梯矩陣，階梯矩陣的非零行數(shù)即為矩陣 A 的秩。 （ 2） )()()( BrArBAr ??? ； （ 3） )}(),(mi n{)( BrArABr ? ，等價(jià)于??? ?? )()( )()( BrABr ArABr，即矩陣的乘法不會(huì)使矩陣的秩升高。 （ 7） )()( BrArBAr ?????????? ； （ 8） 1） OAAr ??? 0)( 。 （ 3）若矩陣 A 至少有兩行不成比例，則 2)( ?Ar 。 [注解 ]（ 1）矩陣轉(zhuǎn)置性質(zhì) 1） AA TT ?)( 。 3） TTT BABA ??? )( 。 （ 2）矩陣對應(yīng)的行列式的性質(zhì) 1）設(shè) BA, 為同階方陣，則 |||||| BAAB ? 。 3） |||| AkkA n? 。 5）設(shè)矩陣 A 可逆，則|| 1|| 1 AA ??。 設(shè)?????????????100110111A ，且 EABA ??2 ，求 B 。 （ 1）證明： B 可逆；（ 2）求 1?AB 。 設(shè) OEAA ??? 22 ，證明： nEArEAr ???? )()2( 。 設(shè) A 是 nm? 矩陣， B 是 mn? 矩陣， mn? 且 EAB? ，證明： mBr ?)( 。 第三講 向量 一、向量基本概念 向量 — n 個(gè)實(shí)數(shù) naaa , 21 ? 所構(gòu)成的一個(gè)數(shù)組稱為向量，其中 ),( 21 naaa ? 稱為 n維行向量，??????????naa?1 稱為 n 維列向量，構(gòu)成向量的所有元素皆為零的向量稱為零向量。 [注解 ]（ 1） ?????? T?? ),(),( ； （ 2） 212 ||),( ??? ?? ??ni ia； （ 3） ),(),(),( ??????? ??? ； （ 4） ),(),(),( ?????? kkk ?? 。 線性相關(guān)與線性無關(guān) 對齊次線性方程組 Oxxx nn ???? ??? ?2211 ， （ 1） Oxxx nn ???? ??? ?2211 當(dāng)且僅當(dāng) 021 ???? nxxx ? 時(shí)成立，即齊次線性方程組只有零解，稱向量組 n??? , 21 ? 線性無關(guān)； 31 （ 2）若有不全為零的常數(shù) nkkk , 21 ? ，使得 Okkk nn ???? ??? ?2211 成立，即齊次線性方程組有非零解，稱 n??? , 21 ? 線性相關(guān)。 向量組的秩與矩陣的 秩的概念 （ 1）向量組的極大線性無關(guān)組與向量組的秩 — 設(shè) n??? , 21 ? 為一個(gè)向量組，若n??? , 21 ? 中存在 r 個(gè)線性無關(guān)的子向量組，但任意 1?r 個(gè)子向量組（如果有）線性相關(guān)，稱 r 個(gè)線性無關(guān)的子向量組為向量組 n??? , 21 ? 的一個(gè)極大線性無關(guān)組， r稱為 向量組 n??? , 21